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7.如图3-1-58,在正方形网格中,要使格点$△ ABC ∽ △ PBD$,那么点P所在的位置应该是点$P_1,P_2,P_3,P_4$中的 …………【 】
A.点$P_1$处
B.点$P_2$处
C.点$P_3$处
D.点$P_4$处
图3-1-58
A.点$P_1$处
B.点$P_2$处
C.点$P_3$处
D.点$P_4$处
图3-1-58
答案
7. B.
解析
【分析】要解决这道题，首先回忆相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。首先观察两个三角形的夹角，可得出∠ABC=∠PBD，接下来只要计算对应边的长度，根据相似比例求出PB的长度，即可匹配到对应P点的位置。
【解析】设每个小正方形的边长为1：
1. 计算△ABC的边长：
AB的长度为2；
由勾股定理得：$BC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 计算BD的长度：
由勾股定理得：$BD=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
3. 判定等角：
可证$∠ ABC=∠ PBD$，两个钝角的补角正切值均为$\frac{1}{2}$，故角度相等。
4. 代入相似比例求解：
若$△ ABC ∽ △ PBD$，则夹等角的两边对应成比例，即$\frac{AB}{PB}=\frac{BC}{BD}$。
代入数值：$\frac{2}{PB}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，解得$PB=4$。
观察网格中各点到B的距离，仅$P_2$到B的长度为4，故点P在$P_2$处。
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定、勾股定理
【点评】本题是网格类的相似三角形判定题，解题核心是先找到相等的夹角，再通过勾股定理计算边长，利用比例关系求出未知线段长度，即可确定点的位置，解题时要注意对应边不要混淆。
【难度系数】0.65
【解析】设每个小正方形的边长为1：
1. 计算△ABC的边长：
AB的长度为2；
由勾股定理得：$BC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 计算BD的长度：
由勾股定理得：$BD=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
3. 判定等角：
可证$∠ ABC=∠ PBD$，两个钝角的补角正切值均为$\frac{1}{2}$，故角度相等。
4. 代入相似比例求解：
若$△ ABC ∽ △ PBD$，则夹等角的两边对应成比例，即$\frac{AB}{PB}=\frac{BC}{BD}$。
代入数值：$\frac{2}{PB}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，解得$PB=4$。
观察网格中各点到B的距离，仅$P_2$到B的长度为4，故点P在$P_2$处。
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定、勾股定理
【点评】本题是网格类的相似三角形判定题，解题核心是先找到相等的夹角，再通过勾股定理计算边长，利用比例关系求出未知线段长度，即可确定点的位置，解题时要注意对应边不要混淆。
【难度系数】0.65
8.一个三角形木架的三条边长分别是100cm,75cm,120cm,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为60cm和120cm的两根木条,要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有 ……………………【 】
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
答案
8. C.
解析
【分析】
解题时首先结合三角形三边关系确定可用作完整边的木条：若选120cm木条作为完整边，另两边需从60cm木条截取，两边之和最大为60cm，小于第三边120cm，不符合三角形三边关系，因此只能以60cm木条为完整边，将120cm木条截为两段。再根据相似三角形对应边成比例的性质，分三种情况讨论60cm边对应原三角形的三条边，分别计算另外两边的长度，验证两边之和是否≤120cm，符合条件的即为可行截法。
【解析】
解：首先排除将120cm木条作为完整一边的情况：若120cm为一边，另两边从60cm木条截取，两边之和最大为60cm，小于第三边120cm，不符合三角形三边关系，因此仅能以60cm木条为完整边，将120cm木条截为两段，设两段长分别为$x\mathrm{cm}$、$y\mathrm{cm}$（$x＞0,y＞0,x+y≤120$）。
两三角形相似，对应边成比例，分三种情况讨论：
1. 当60cm边对应原三角形100cm边时，相似比$k=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$
则另外两边长为：$75×\frac{3}{5}=45\mathrm{cm}$，$120×\frac{3}{5}=72\mathrm{cm}$
$45+72=117≤120$，符合要求，该截法可行。
2. 当60cm边对应原三角形75cm边时，相似比$k=\frac{60}{75}=\frac{4}{5}$
则另外两边长为：$100×\frac{4}{5}=80\mathrm{cm}$，$120×\frac{4}{5}=96\mathrm{cm}$
$80+96=176＞120$，不符合要求，该截法不可行。
3. 当60cm边对应原三角形120cm边时，相似比$k=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$
则另外两边长为：$100×\frac{1}{2}=50\mathrm{cm}$，$75×\frac{1}{2}=37.5\mathrm{cm}$
$50+37.5=87.5≤120$，符合要求，该截法可行。
综上，共有2种不同的截法。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论
【点评】
本题考查相似三角形性质的实际应用，解题时要先结合三角形三边关系排除不符合的情况，再对对应边的可能情况分类讨论，验证是否符合用料要求，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合三角形三边关系确定可用作完整边的木条：若选120cm木条作为完整边，另两边需从60cm木条截取，两边之和最大为60cm，小于第三边120cm，不符合三角形三边关系，因此只能以60cm木条为完整边，将120cm木条截为两段。再根据相似三角形对应边成比例的性质，分三种情况讨论60cm边对应原三角形的三条边，分别计算另外两边的长度，验证两边之和是否≤120cm，符合条件的即为可行截法。
【解析】
解：首先排除将120cm木条作为完整一边的情况：若120cm为一边，另两边从60cm木条截取，两边之和最大为60cm，小于第三边120cm，不符合三角形三边关系，因此仅能以60cm木条为完整边，将120cm木条截为两段，设两段长分别为$x\mathrm{cm}$、$y\mathrm{cm}$（$x＞0,y＞0,x+y≤120$）。
两三角形相似，对应边成比例，分三种情况讨论：
1. 当60cm边对应原三角形100cm边时，相似比$k=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$
则另外两边长为：$75×\frac{3}{5}=45\mathrm{cm}$，$120×\frac{3}{5}=72\mathrm{cm}$
$45+72=117≤120$，符合要求，该截法可行。
2. 当60cm边对应原三角形75cm边时，相似比$k=\frac{60}{75}=\frac{4}{5}$
则另外两边长为：$100×\frac{4}{5}=80\mathrm{cm}$，$120×\frac{4}{5}=96\mathrm{cm}$
$80+96=176＞120$，不符合要求，该截法不可行。
3. 当60cm边对应原三角形120cm边时，相似比$k=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$
则另外两边长为：$100×\frac{1}{2}=50\mathrm{cm}$，$75×\frac{1}{2}=37.5\mathrm{cm}$
$50+37.5=87.5≤120$，符合要求，该截法可行。
综上，共有2种不同的截法。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论
【点评】
本题考查相似三角形性质的实际应用，解题时要先结合三角形三边关系排除不符合的情况，再对对应边的可能情况分类讨论，验证是否符合用料要求，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
9.图3-1-59是照相机成像的示意图.
（1）如果像高MN是35 mm,焦距LC是50 mm,拍摄的景物高度AB是4.9 m,拍摄点与景物的距离LD是多少？
（2）如果要完整地拍摄高度是2 m的景物,拍摄点与景物的距离是4 m,像高不变,则相机的焦距应调整为多少？
（1）如果像高MN是35 mm,焦距LC是50 mm,拍摄的景物高度AB是4.9 m,拍摄点与景物的距离LD是多少？
（2）如果要完整地拍摄高度是2 m的景物,拍摄点与景物的距离是4 m,像高不变,则相机的焦距应调整为多少？
答案
9. 提示:(1)证△ABL ∽△NML，再利用相似三角形的比例关系可得 LD = 7 m.
(2)焦距应调整为 70 mm.
(2)焦距应调整为 70 mm.
解析
【分析】
本题考查相似三角形在实际成像问题中的应用，解题思路如下：
1. 首先观察图形特征：MN⊥CD，AB⊥CD，可得MN//AB，进而可判定△MLN∽△ALB；
2. 根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可知像高与物高的比等于焦距与拍摄点到景物距离的比，即可建立比例关系式；
3. 代入数值计算时注意先统一单位，避免单位不匹配导致计算错误。
【解析】
（1）
∵ MN⊥CD，AB⊥CD，
∴ MN//AB，
∴ ∠M=∠A，∠N=∠B，
∴ △MLN∽△ALB。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：$\frac{MN}{AB}=\frac{LC}{LD}$。
先统一单位：$MN=35\ \mathrm{mm}=0.035\ \mathrm{m}$，$LC=50\ \mathrm{mm}=0.05\ \mathrm{m}$，$AB=4.9\ \mathrm{m}$，
代入比例式得：$\frac{0.035}{4.9}=\frac{0.05}{LD}$，
解得：$LD=\frac{4.9×0.05}{0.035}=7\ \mathrm{m}$。
（2）已知像高不变，仍为$MN=35\ \mathrm{mm}=0.035\ \mathrm{m}$，景物高度$AB=2\ \mathrm{m}$，拍摄点与景物距离$LD=4\ \mathrm{m}$，
仍根据$\frac{MN}{AB}=\frac{LC}{LD}$，代入得：$\frac{0.035}{2}=\frac{LC}{4}$，
解得：$LC=\frac{0.035×4}{2}=0.07\ \mathrm{m}=70\ \mathrm{mm}$。
【答案】
（1）拍摄点与景物的距离LD是7m；
（2）相机的焦距应调整为70mm。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在生活中的典型应用，解题核心是准确找到相似三角形，利用相似比建立已知量和未知量的关系，计算时需特别注意单位统一，是结合生活场景的基础类应用题。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形在实际成像问题中的应用，解题思路如下：
1. 首先观察图形特征：MN⊥CD，AB⊥CD，可得MN//AB，进而可判定△MLN∽△ALB；
2. 根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可知像高与物高的比等于焦距与拍摄点到景物距离的比，即可建立比例关系式；
3. 代入数值计算时注意先统一单位，避免单位不匹配导致计算错误。
【解析】
（1）
∵ MN⊥CD，AB⊥CD，
∴ MN//AB，
∴ ∠M=∠A，∠N=∠B，
∴ △MLN∽△ALB。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：$\frac{MN}{AB}=\frac{LC}{LD}$。
先统一单位：$MN=35\ \mathrm{mm}=0.035\ \mathrm{m}$，$LC=50\ \mathrm{mm}=0.05\ \mathrm{m}$，$AB=4.9\ \mathrm{m}$，
代入比例式得：$\frac{0.035}{4.9}=\frac{0.05}{LD}$，
解得：$LD=\frac{4.9×0.05}{0.035}=7\ \mathrm{m}$。
（2）已知像高不变，仍为$MN=35\ \mathrm{mm}=0.035\ \mathrm{m}$，景物高度$AB=2\ \mathrm{m}$，拍摄点与景物距离$LD=4\ \mathrm{m}$，
仍根据$\frac{MN}{AB}=\frac{LC}{LD}$，代入得：$\frac{0.035}{2}=\frac{LC}{4}$，
解得：$LC=\frac{0.035×4}{2}=0.07\ \mathrm{m}=70\ \mathrm{mm}$。
【答案】
（1）拍摄点与景物的距离LD是7m；
（2）相机的焦距应调整为70mm。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在生活中的典型应用，解题核心是准确找到相似三角形，利用相似比建立已知量和未知量的关系，计算时需特别注意单位统一，是结合生活场景的基础类应用题。
【难度系数】
0.7
10. 如图3-1-60，$△ ABC$是一块三角形铁皮余料，边$BC = 20\mathrm{cm}$，$BC$边上的高$AD = 10\mathrm{cm}$。用它截出一个矩形$EFGH$，顶点$E,F$分别在$AB,AC$边上，顶点$G,H$在$BC$边上，$AD$与$EF$的交点为$M$。
（1）求证：$BC · AM = AD · EF$。
（2）若$EF = 2EH$，求这个矩形的周长。
图3-1-60
（1）求证：$BC · AM = AD · EF$。
（2）若$EF = 2EH$，求这个矩形的周长。
图3-1-60
答案
10. 提示:(1)在矩形 EFGH 中,EF // GH ,即 EF // BC,
∴ △ABC ∽△AEF.
∴ $\frac{BC}{EF}=\frac{AD}{AM}$, 即 $BC · AM = AD · EF$.
(2) $\because EF // BC,EH ⊥ BC,AD ⊥ BC$,
$\therefore DM = EH ,AM = AD - DM = AD - EH$.
$\therefore BC · (AD - EH) = AD · 2EH$.
即 $20 · (10-EH) = 10 · 2EH$. 解得 $EH = 5$.
$\therefore$ 矩形的周长为 $2(EF + EH) = 30(\mathrm{cm})$.
∴ △ABC ∽△AEF.
∴ $\frac{BC}{EF}=\frac{AD}{AM}$, 即 $BC · AM = AD · EF$.
(2) $\because EF // BC,EH ⊥ BC,AD ⊥ BC$,
$\therefore DM = EH ,AM = AD - DM = AD - EH$.
$\therefore BC · (AD - EH) = AD · 2EH$.
即 $20 · (10-EH) = 10 · 2EH$. 解得 $EH = 5$.
$\therefore$ 矩形的周长为 $2(EF + EH) = 30(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
（1）要证明乘积式$BC · AM = AD · EF$，可先转化为证明比例式$\frac{BC}{EF}=\frac{AD}{AM}$。根据矩形对边平行可得$EF// BC$，即可推出$△ AEF ∽ △ ABC$，再利用相似三角形对应高的比等于相似比得到对应比例式，交叉相乘即可完成证明。
（2）要求矩形周长，需先求出矩形的邻边长。已知$EF=2EH$，结合矩形和垂线的性质可得$EH=DM$，因此$AM=AD-EH$，将$EF=2EH$、$BC=20\mathrm{cm}$、$AD=10\mathrm{cm}$代入第（1）问的结论列方程，即可求出$EH$、$EF$的长度，最后代入矩形周长公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形$EFGH$是矩形，
∴ $EF// GH$，即$EF// BC$，
∴ $△ AEF ∽ △ ABC$。
∵ $AD$是$△ ABC$边$BC$上的高，$AM$是$△ AEF$边$EF$上的高，
∴ 根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，可得$\frac{BC}{EF}=\frac{AD}{AM}$，
交叉相乘得：$BC · AM = AD · EF$，原式得证。
（2）解：
∵ $EF// BC$，$EH⊥ BC$，$AD⊥ BC$，
∴ 四边形$EHDM$是矩形，即$DM=EH$，
∴ $AM = AD - DM = AD - EH$。
将$EF=2EH$、$BC=20\mathrm{cm}$、$AD=10\mathrm{cm}$代入（1）的结论，得：
$20×(10-EH) = 10× 2EH$
展开得：$200 -20EH = 20EH$
移项合并得：$40EH=200$
解得：$EH=5\mathrm{cm}$
∴ $EF=2EH=10\mathrm{cm}$
矩形周长为$2×(EF+EH)=2×(10+5)=30(\mathrm{cm})$。
【答案】
（1）证明成立；（2）矩形的周长为$\boxed{30\mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 矩形的性质
3. 比例线段的应用
【点评】
本题是相似三角形几何应用的常规题型，解题核心是利用平行线构造相似三角形，结合相似比建立等量关系，既考察了基础几何性质的应用，也体现了方程思想在几何计算中的作用。
【难度系数】
0.7
（1）要证明乘积式$BC · AM = AD · EF$，可先转化为证明比例式$\frac{BC}{EF}=\frac{AD}{AM}$。根据矩形对边平行可得$EF// BC$，即可推出$△ AEF ∽ △ ABC$，再利用相似三角形对应高的比等于相似比得到对应比例式，交叉相乘即可完成证明。
（2）要求矩形周长，需先求出矩形的邻边长。已知$EF=2EH$，结合矩形和垂线的性质可得$EH=DM$，因此$AM=AD-EH$，将$EF=2EH$、$BC=20\mathrm{cm}$、$AD=10\mathrm{cm}$代入第（1）问的结论列方程，即可求出$EH$、$EF$的长度，最后代入矩形周长公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形$EFGH$是矩形，
∴ $EF// GH$，即$EF// BC$，
∴ $△ AEF ∽ △ ABC$。
∵ $AD$是$△ ABC$边$BC$上的高，$AM$是$△ AEF$边$EF$上的高，
∴ 根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，可得$\frac{BC}{EF}=\frac{AD}{AM}$，
交叉相乘得：$BC · AM = AD · EF$，原式得证。
（2）解：
∵ $EF// BC$，$EH⊥ BC$，$AD⊥ BC$，
∴ 四边形$EHDM$是矩形，即$DM=EH$，
∴ $AM = AD - DM = AD - EH$。
将$EF=2EH$、$BC=20\mathrm{cm}$、$AD=10\mathrm{cm}$代入（1）的结论，得：
$20×(10-EH) = 10× 2EH$
展开得：$200 -20EH = 20EH$
移项合并得：$40EH=200$
解得：$EH=5\mathrm{cm}$
∴ $EF=2EH=10\mathrm{cm}$
矩形周长为$2×(EF+EH)=2×(10+5)=30(\mathrm{cm})$。
【答案】
（1）证明成立；（2）矩形的周长为$\boxed{30\mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 矩形的性质
3. 比例线段的应用
【点评】
本题是相似三角形几何应用的常规题型，解题核心是利用平行线构造相似三角形，结合相似比建立等量关系，既考察了基础几何性质的应用，也体现了方程思想在几何计算中的作用。
【难度系数】
0.7
