11.如图3-1-61,学校训练馆前有一棵树AB,小敏在训练时发现,开始训练时,阳光从树的顶点A经窗户最高点C照进训练馆地面的点F处;训练结束时,阳光从树的顶点A经窗户最低点D照进地面的点E处.测得OE=0.8m,OF=3m,CD=1.5m,OD=1m.试求树AB的高度.

图3-1-61

11. 解:$\because AB ⊥ BF , OD ⊥ BF$,
$\therefore ∠ ABO = ∠ DOE = 90°$.
$\because ∠ AEB = ∠ DEO$,
$\therefore △ ABE ∽ △ DOE$.
$\therefore \frac{AB}{OD}=\frac{BE}{OE}$, 即 $AB = \frac{5}{4}OB + 1$.
同理可得 $△ ABF ∽ △ COF$,
$\therefore \frac{AB}{OC}=\frac{BF}{OF}$, 即 $AB = \frac{5}{6}OB + \frac{5}{2}$.
$\therefore AB = 5.5 \, \mathrm{m}$. 即树 $AB$ 的高度为 $5.5 \, \mathrm{m}$.

【分析】
这是相似三角形在平行投影场景下的应用题型，解题思路如下：1. 首先明确树AB、墙面OD均垂直于地面BF，可得到两组相等的直角；2. 光线AE与DE为同一条光线，因此∠AEB是△ABE和△DOE的公共角，可证明两三角形相似，得到AB与OB的第一个数量关系；3. 同理光线AF与CF为同一条光线，∠AFB是△ABF和△COF的公共角，可证明这两个三角形也相似，得到AB与OB的第二个数量关系；4. 联立两个关系式即可求解出树AB的高度。
【解析】
解：$\because AB ⊥ BF , OD ⊥ BF$,
$\therefore ∠ ABO = ∠ DOE = 90°$.
$\because ∠ AEB = ∠ DEO$（公共角）,
$\therefore △ ABE ∽ △ DOE$.
$\therefore \frac{AB}{OD}=\frac{BE}{OE}$,
代入OD=1m，OE=0.8m，$BE=OB+OE=OB+0.8$，
整理得 $AB = \frac{5}{4}OB + 1$ ①.
由题意得$OC=OD+CD=1+1.5=2.5\,\mathrm{m}$，
同理可得 $∠ABF=∠COF=90°$，$∠AFB=∠CFO$（公共角），
$\therefore △ ABF ∽ △ COF$,
$\therefore \frac{AB}{OC}=\frac{BF}{OF}$,
代入OC=2.5m，OF=3m，$BF=OB+OF=OB+3$，
整理得 $AB = \frac{5}{6}OB + \frac{5}{2}$ ②.
联立①②，得$\frac{5}{4}OB + 1 = \frac{5}{6}OB + \frac{5}{2}$，
解得$OB=3.6\,\mathrm{m}$，代入①得$AB=\frac{5}{4}×3.6+1=5.5\,\mathrm{m}$.
【答案】
树AB的高度为$\boldsymbol{5.5\,\mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际问题的典型题目，解题关键是结合光线传播的特征找到公共角，结合垂直关系判定相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例建立方程求解，能较好地考查学生将实际问题转化为几何模型的能力和运算能力。
【难度系数】
0.7

12.如图3-1-62,在正方形ABCD中,AB=2,P是BC边上与点B,C不重合的任意一点,DQ⊥AP,垂足为点Q.
(1)试说明△DQA ∽ △ABP.

图3-1-62
(2)当点P在BC边上移动时,线段DQ也随之变化,设AP = x,DQ = y,求y与x之间的函数关系式.

12. 提示:(1)$\because DQ ⊥ AP$,
$\therefore ∠ AQD = ∠ B = 90°$.
$\because AD // BC$,
$\therefore ∠ DAQ = ∠ BPA$.
$\therefore △ DQA ∽ △ ABP$.
(2)由(1)知, $△ DQA ∽ △ ABP$,
$\therefore \frac{DQ}{AB}=\frac{DA}{AP}$, 即 $\frac{y}{2}=\frac{2}{x}$. $\therefore y = \frac{4}{x}$.

【分析】
(1)要证明△DQA∽△ABP，可依据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理推导：首先正方形的内角∠B为90°，由DQ⊥AP可得∠AQD=90°，两个三角形已有一组直角相等；再结合正方形对边AD//BC，可得内错角∠DAQ=∠BPA，即可满足相似判定条件。
(2)要求y与x的函数关系式，可利用(1)中相似三角形的性质，即相似三角形对应边成比例，将正方形的边长、AP=x、DQ=y代入比例式，整理即可得到函数关系。
【解析】
(1)证明：在正方形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，
∴∠DAQ=∠BPA（两直线平行，内错角相等），
∵DQ⊥AP，垂足为Q，
∴∠AQD=90°，
∴∠AQD=∠B=90°，
∴△DQA∽△ABP（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2)解：由(1)知△DQA∽△ABP，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{DQ}{AB}=\frac{DA}{AP}$，
∵正方形ABCD中AB=DA=2，AP=x，DQ=y，
∴代入得$\frac{y}{2}=\frac{2}{x}$，
整理得$y=\frac{4}{x}$（$2＜x＜2\sqrt{2}$）。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $y=\frac{4}{x}$

【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是结合正方形的性质找到三角形相等的角，证明相似后利用对应边成比例建立变量间的关系，兼顾了几何证明和函数关系的推导，能较好地考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

13.如图3-1-63，$□ ABCD$ 的对角线AC与BD相交于点O，点E在BC边的延长线上，且$OE = OB$，连结DE。
（1）求证：$DE ⊥ BE$。
（2）如果$OE ⊥ CD$，求证：$BD · CE = CD · DE$。

图3-1-63

提示:(1) 在 $□ ABCD$ 中,$OB = OD$.
由 $OE = OB$ 可得 $OE = OB = OD$.
$\therefore ∠ OBE = ∠ OEB$, $∠ ODE = ∠ OED$.
$\therefore ∠ BED = ∠ OBE + ∠ ODE = 90°$.
(2) 由(1)知 $DE ⊥ BE$,又由 $OE ⊥ CD$ 可得
$∠ OED$ 的两个余角 $∠ OEB = ∠ CDE$.
$\because OB = OE$, $\therefore ∠ OBE = ∠ OEB$,
$\therefore ∠ OBE = ∠ CDE$.
$\therefore △ BDE ∽ △ DCE$.
$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{DE}{CE}$.
$\therefore BD · CE = CD · DE$.

【分析】
（1）要证DE⊥BE，即证∠BED=90°。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得OB=OD，结合已知OE=OB可知OB=OD=OE，可得△OBE、△ODE均为等腰三角形，再根据等腰三角形底角相等和三角形内角和定理，即可推出∠BED=90°。
（2）要证等积式BD·CE=CD·DE，可先转化为比例式$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{CE}$，只需证明△BDE∽△DCE即可。结合OE⊥CD和（1）中DE⊥BE的结论，利用同角的余角相等得到等角，再结合等腰三角形底角相等推出两组对应角相等，即可证明三角形相似，进而得到比例式，转化为等积式得证。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴OB=OD。
∵OE=OB，
∴OB=OD=OE，
∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED。
在△BDE中，∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，
∴2(∠OEB+∠OED)=180°，
∴∠OEB+∠OED=90°，即∠BED=90°，
∴DE⊥BE。
（2）证明：
∵OE⊥CD，
∴∠OED+∠CDE=90°。
由（1）知∠BED=90°，
∴∠OEB+∠OED=90°，
∴∠OEB=∠CDE（同角的余角相等）。
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠CDE。
在△BDE和△DCE中：
$\begin{cases}∠BED=∠DEC=90° \\∠DBE=∠CDE\end{cases}$
∴△BDE∽△DCE，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{CE}$，
交叉相乘得：$BD·CE=CD·DE$。
【答案】

【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了多个基础几何知识点的应用，解题的核心是通过角的等量关系转化证明垂直和三角形相似，掌握等积式和比例式的互化是解决此类几何证明题的常用方法，有助于锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65