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1.如图3-1-64,在$△ ABC$中,AD为中线,G为重心,点E在BC边上,且$EG// AC$,若$S_{△ ABC}=36$,则$S_{△ DEG}=$
2
.答案
1. 2
解析
【分析】
解题思路如下：①先利用三角形中线的性质：中线将三角形分成面积相等的两部分，求出△ADC的面积；②再根据重心的性质，得到DG与DA的长度比；③由EG//AC可判定△DEG与△DCA相似，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出△DEG的面积。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×36=18$。
∵G是△ABC的重心，
∴重心分中线AD的比为$AG:GD=2:1$，即$\frac{DG}{DA}=\frac{1}{3}$。
∵$EG// AC$，
∴$∠ GDE=∠ ADC$，$∠ GED=∠ C$，
∴$△ DEG ∽ △ DCA$，相似比$k=\frac{DG}{DA}=\frac{1}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ DEG}}{S_{△ DCA}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∴$S_{△ DEG}=\frac{1}{9}× S_{△ DCA}=\frac{1}{9}×18=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形重心的性质；相似三角形的判定与性质；三角形中线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形中线、重心的性质以及相似三角形的相关知识，解题的关键是找准相似三角形的相似比，结合面积比与相似比的关系求解。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：①先利用三角形中线的性质：中线将三角形分成面积相等的两部分，求出△ADC的面积；②再根据重心的性质，得到DG与DA的长度比；③由EG//AC可判定△DEG与△DCA相似，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出△DEG的面积。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC中点，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×36=18$。
∵G是△ABC的重心，
∴重心分中线AD的比为$AG:GD=2:1$，即$\frac{DG}{DA}=\frac{1}{3}$。
∵$EG// AC$，
∴$∠ GDE=∠ ADC$，$∠ GED=∠ C$，
∴$△ DEG ∽ △ DCA$，相似比$k=\frac{DG}{DA}=\frac{1}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ DEG}}{S_{△ DCA}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∴$S_{△ DEG}=\frac{1}{9}× S_{△ DCA}=\frac{1}{9}×18=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形重心的性质；相似三角形的判定与性质；三角形中线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形中线、重心的性质以及相似三角形的相关知识，解题的关键是找准相似三角形的相似比，结合面积比与相似比的关系求解。
【难度系数】
0.65
2.如图3-1-65,在$△ ABC$中,$AB = AC = 10,BC = 16$,则中线$CE$的长为
$3\sqrt{17}$
.答案
2. $3\sqrt{17}$
解析
【分析】
本题是等腰三角形中求中线长度的问题，解题思路如下：首先利用等腰三角形三线合一的性质，得到底边BC上的高AD，结合勾股定理算出AD的长度；再通过建立平面直角坐标系，写出各顶点的坐标；接着根据中线的定义得到E是AB中点，用中点坐标公式求出E的坐标；最后用两点间距离公式计算出CE的长度即可。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$AD$是$BC$边上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=8$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
以$D$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，$AD$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，可得各点坐标：$B(-8,0)$，$C(8,0)$，$A(0,6)$。
$\because CE$是$AB$边上的中线，$\therefore E$是$AB$的中点，
由中点坐标公式得$E$的坐标为$(\frac{-8+0}{2},\frac{0+6}{2})$，即$E(-4,3)$。
根据两点间距离公式，$CE$的长度为：
$CE=\sqrt{[8-(-4)]^2+(0-3)^2}=\sqrt{12^2+(-3)^2}=\sqrt{144+9}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}$。
【答案】
$3\sqrt{17}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，两点间距离公式
【点评】
本题将几何问题转化为坐标代数计算，降低了解题难度，解题的关键是合理利用等腰三角形的性质建立坐标系，准确求出各点坐标后即可快速求出线段长度。
【难度系数】
0.7
本题是等腰三角形中求中线长度的问题，解题思路如下：首先利用等腰三角形三线合一的性质，得到底边BC上的高AD，结合勾股定理算出AD的长度；再通过建立平面直角坐标系，写出各顶点的坐标；接着根据中线的定义得到E是AB中点，用中点坐标公式求出E的坐标；最后用两点间距离公式计算出CE的长度即可。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$AD$是$BC$边上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=8$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
以$D$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，$AD$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，可得各点坐标：$B(-8,0)$，$C(8,0)$，$A(0,6)$。
$\because CE$是$AB$边上的中线，$\therefore E$是$AB$的中点，
由中点坐标公式得$E$的坐标为$(\frac{-8+0}{2},\frac{0+6}{2})$，即$E(-4,3)$。
根据两点间距离公式，$CE$的长度为：
$CE=\sqrt{[8-(-4)]^2+(0-3)^2}=\sqrt{12^2+(-3)^2}=\sqrt{144+9}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}$。
【答案】
$3\sqrt{17}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，两点间距离公式
【点评】
本题将几何问题转化为坐标代数计算，降低了解题难度，解题的关键是合理利用等腰三角形的性质建立坐标系，准确求出各点坐标后即可快速求出线段长度。
【难度系数】
0.7
3. 如图3-1-66,在$□ ABCD$中,AC,BD交于点O,E,F分别为AB,BC边的中点,DE,DF分别与AC交于点G,H,那么下列结论错误的是 ……………………【 】
A.$AG = CH$
B.$CH = 2OG$
C.$S_{△ AEG} = S_{△ CFH}$
D.$EG = FH$
图3-1-66
图3-1-67
A.$AG = CH$
B.$CH = 2OG$
C.$S_{△ AEG} = S_{△ CFH}$
D.$EG = FH$
图3-1-66
图3-1-67
答案
D
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合E、F是中点的条件，通过“A”型相似三角形得到线段的比例关系，再逐一验证四个选项：
1. 先通过△AEG∽△CDG、△CFH∽△AHD得到AG、CH与AC的比例，判断A选项；
2. 结合平行四边形对角线互相平分的性质，计算OG和CH的长度关系，判断B选项；
3. 利用等高三角形面积比等于底的比，计算两个小三角形的面积，判断C选项；
4. 结合相似比得到EG、FH和DE、DF的比例关系，根据DE、DF不一定相等判断D选项。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，AD=BC，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC
1. 验证A选项：
∵E是AB中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD
又
∵AB//CD，
∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG
∴△AEG∽△CDG，相似比为AE:CD=1:2
∴AG:GC=1:2，即AG=$\frac{1}{3}$AC
同理，F是BC中点，CF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD
∵AD//BC，
∴∠HCF=∠HAD，∠HFC=∠HDA
∴△CFH∽△AHD，相似比为CF:AD=1:2
∴CH:AH=1:2，即CH=$\frac{1}{3}$AC
∴AG=CH，A选项正确，不符合题意。
2. 验证B选项：
∵AO=$\frac{1}{2}$AC，AG=$\frac{1}{3}$AC
∴OG=AO - AG = $\frac{1}{2}$AC - $\frac{1}{3}$AC = $\frac{1}{6}$AC
又
∵CH=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{2}{6}$AC
∴CH=2OG，B选项正确，不符合题意。
3. 验证C选项：
∵△AEG∽△CDG，相似比1:2，
∴EG:GD=1:2，即EG=$\frac{1}{3}$DE
∴$S_{△ AEG}$ = $\frac{1}{3}S_{△ ADE}$（等高三角形面积比等于底的比）
∵E是AB中点，
∴$S_{△ ADE}$ = $\frac{1}{4}S_{□ABCD}$
∴$S_{△ AEG}$ = $\frac{1}{3} × \frac{1}{4}S_{□ABCD}$ = $\frac{1}{12}S_{□ABCD}$
同理可得$S_{△ CFH}$ = $\frac{1}{12}S_{□ABCD}$
∴$S_{△ AEG} = S_{△ CFH}$，C选项正确，不符合题意。
4. 验证D选项：
由上述相似得EG=$\frac{1}{3}$DE，FH=$\frac{1}{3}$DF
∵平行四边形邻边AB和BC不一定相等，
∴DE和DF的长度不一定相等
∴EG和FH不一定相等，D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形性质和相似三角形的应用，解题关键是利用平行线构造相似三角形得到线段比例关系，再结合面积公式和线段关系逐一判断选项。
【难度系数】
0.65
解题时先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合E、F是中点的条件，通过“A”型相似三角形得到线段的比例关系，再逐一验证四个选项：
1. 先通过△AEG∽△CDG、△CFH∽△AHD得到AG、CH与AC的比例，判断A选项；
2. 结合平行四边形对角线互相平分的性质，计算OG和CH的长度关系，判断B选项；
3. 利用等高三角形面积比等于底的比，计算两个小三角形的面积，判断C选项；
4. 结合相似比得到EG、FH和DE、DF的比例关系，根据DE、DF不一定相等判断D选项。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，AD=BC，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC
1. 验证A选项：
∵E是AB中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD
又
∵AB//CD，
∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG
∴△AEG∽△CDG，相似比为AE:CD=1:2
∴AG:GC=1:2，即AG=$\frac{1}{3}$AC
同理，F是BC中点，CF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD
∵AD//BC，
∴∠HCF=∠HAD，∠HFC=∠HDA
∴△CFH∽△AHD，相似比为CF:AD=1:2
∴CH:AH=1:2，即CH=$\frac{1}{3}$AC
∴AG=CH，A选项正确，不符合题意。
2. 验证B选项：
∵AO=$\frac{1}{2}$AC，AG=$\frac{1}{3}$AC
∴OG=AO - AG = $\frac{1}{2}$AC - $\frac{1}{3}$AC = $\frac{1}{6}$AC
又
∵CH=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{2}{6}$AC
∴CH=2OG，B选项正确，不符合题意。
3. 验证C选项：
∵△AEG∽△CDG，相似比1:2，
∴EG:GD=1:2，即EG=$\frac{1}{3}$DE
∴$S_{△ AEG}$ = $\frac{1}{3}S_{△ ADE}$（等高三角形面积比等于底的比）
∵E是AB中点，
∴$S_{△ ADE}$ = $\frac{1}{4}S_{□ABCD}$
∴$S_{△ AEG}$ = $\frac{1}{3} × \frac{1}{4}S_{□ABCD}$ = $\frac{1}{12}S_{□ABCD}$
同理可得$S_{△ CFH}$ = $\frac{1}{12}S_{□ABCD}$
∴$S_{△ AEG} = S_{△ CFH}$，C选项正确，不符合题意。
4. 验证D选项：
由上述相似得EG=$\frac{1}{3}$DE，FH=$\frac{1}{3}$DF
∵平行四边形邻边AB和BC不一定相等，
∴DE和DF的长度不一定相等
∴EG和FH不一定相等，D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形性质和相似三角形的应用，解题关键是利用平行线构造相似三角形得到线段比例关系，再结合面积公式和线段关系逐一判断选项。
【难度系数】
0.65
4.如图3-1-67,在$△ ABC$中,点G为重心,连结CG并延长交AB于点E,GF⊥BC,垂足为点F.若$△ ACE$的面积是6,BC=8,则GF的长为 ……………………【 】
A.0.5
B.1
C.1.5
D.2
A.0.5
B.1
C.1.5
D.2
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知条件“G为重心”入手，首先根据重心是三角形三条中线的交点，可得CE是AB边上的中线，利用“等底同高的三角形面积相等”得到△BCE的面积等于△ACE的面积；再根据重心分中线为2:1的比例关系，结合同高三角形面积比等于底的比，求出△BCG的面积；最后利用三角形面积公式，将BC的长度代入即可求出GF的长度。
【解析】
解：
∵点G是△ABC的重心，
∴CE是AB边上的中线，即AE=BE，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ ACE}=6$（等底同高的三角形面积相等）。
由重心的性质可知，$CG:GE=2:1$，
∴$S_{△ BCG}:S_{△ BGE}=2:1$（同高三角形的面积比等于底的比），
∴$S_{△ BCG}=\frac{2}{2+1}S_{△ BCE}=\frac{2}{3}×6=4$。
∵$GF⊥ BC$，$BC=8$，
∴$S_{△ BCG}=\frac{1}{2}× BC× GF$，
即$4=\frac{1}{2}×8× GF$，
解得$GF=1$。
【答案】
B
【知识点】
三角形重心的性质；三角形面积公式；三角形中线的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的核心是熟练掌握重心和中线的相关性质，通过面积的比例关系建立已知量和未知量的联系，灵活运用面积公式求解线段长度，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“G为重心”入手，首先根据重心是三角形三条中线的交点，可得CE是AB边上的中线，利用“等底同高的三角形面积相等”得到△BCE的面积等于△ACE的面积；再根据重心分中线为2:1的比例关系，结合同高三角形面积比等于底的比，求出△BCG的面积；最后利用三角形面积公式，将BC的长度代入即可求出GF的长度。
【解析】
解：
∵点G是△ABC的重心，
∴CE是AB边上的中线，即AE=BE，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ ACE}=6$（等底同高的三角形面积相等）。
由重心的性质可知，$CG:GE=2:1$，
∴$S_{△ BCG}:S_{△ BGE}=2:1$（同高三角形的面积比等于底的比），
∴$S_{△ BCG}=\frac{2}{2+1}S_{△ BCE}=\frac{2}{3}×6=4$。
∵$GF⊥ BC$，$BC=8$，
∴$S_{△ BCG}=\frac{1}{2}× BC× GF$，
即$4=\frac{1}{2}×8× GF$，
解得$GF=1$。
【答案】
B
【知识点】
三角形重心的性质；三角形面积公式；三角形中线的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的核心是熟练掌握重心和中线的相关性质，通过面积的比例关系建立已知量和未知量的联系，灵活运用面积公式求解线段长度，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
5.如图3-1-68,在$□ ABCD$中,点E是CD边的中点,BE与对角线AC相交于点F,
$△ BCF$的面积$S_{△ BCF}=2$,求$□ ABCD$的面积.
$△ BCF$的面积$S_{△ BCF}=2$,求$□ ABCD$的面积.
答案
解:如图,连结 BD 与 AC 交于点O.
在 $□ABCD$ 中,点O为BD的中点,又由点E是CD的中点可得,点F是 $△BCD$ 的重心.
$\therefore BF = 2EF$,
$\because S_{△ BCF} = 2$,
$\therefore S_{△ CEF} = 1$.
$\therefore S_{△ BCE} = 3$.
$\because$ 点E是CD的中点,
$\therefore S_{△ BCD} = 6$. $\therefore S_{□ABCD} = 12$.
解析
【分析】
要计算平行四边形ABCD的面积，可通过推导三角形面积关系逐步求解：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，连接BD交AC于O，可得O是BD中点，结合E是CD中点，可知F是△BCD的重心；再根据重心分中线为2:1的比例，得到BF与EF的长度比，利用同高三角形面积比等于底的比，结合已知△BCF的面积求出△CEF、△BCE的面积；最后由E是CD中点求出△BCD的面积，平行四边形面积是△BCD面积的2倍，即可得到最终结果。
【解析】
解：如图，连结BD与AC交于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O为BD的中点（平行四边形对角线互相平分）。
又
∵点E是CD的中点，
∴点F是△BCD的重心。
∴$BF = 2EF$，
∵△BCF和△CEF以C为顶点时同高，面积比等于对应底的比，
∴$S_{△ BCF}:S_{△ CEF}=BF:EF=2:1$，
∵$S_{△ BCF}=2$，
∴$S_{△ CEF}=1$，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BCF}+S_{△ CEF}=2+1=3$。
∵点E是CD的中点，△BCE和△BDE等底同高，
∴$S_{△ BCD}=2S_{△ BCE}=6$，
∵平行四边形的对角线将其分为两个面积相等的三角形，
∴$S_{□ ABCD}=2S_{△ BCD}=12$。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的性质；三角形重心的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是几何面积计算的综合题，解题核心是通过添加辅助线找到三角形重心，将线段比例转化为面积比例，需要学生熟练掌握平行四边形、重心的性质以及同高三角形的面积规律，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要计算平行四边形ABCD的面积，可通过推导三角形面积关系逐步求解：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，连接BD交AC于O，可得O是BD中点，结合E是CD中点，可知F是△BCD的重心；再根据重心分中线为2:1的比例，得到BF与EF的长度比，利用同高三角形面积比等于底的比，结合已知△BCF的面积求出△CEF、△BCE的面积；最后由E是CD中点求出△BCD的面积，平行四边形面积是△BCD面积的2倍，即可得到最终结果。
【解析】
解：如图，连结BD与AC交于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O为BD的中点（平行四边形对角线互相平分）。
又
∵点E是CD的中点，
∴点F是△BCD的重心。
∴$BF = 2EF$，
∵△BCF和△CEF以C为顶点时同高，面积比等于对应底的比，
∴$S_{△ BCF}:S_{△ CEF}=BF:EF=2:1$，
∵$S_{△ BCF}=2$，
∴$S_{△ CEF}=1$，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BCF}+S_{△ CEF}=2+1=3$。
∵点E是CD的中点，△BCE和△BDE等底同高，
∴$S_{△ BCD}=2S_{△ BCE}=6$，
∵平行四边形的对角线将其分为两个面积相等的三角形，
∴$S_{□ ABCD}=2S_{△ BCD}=12$。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的性质；三角形重心的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是几何面积计算的综合题，解题核心是通过添加辅助线找到三角形重心，将线段比例转化为面积比例，需要学生熟练掌握平行四边形、重心的性质以及同高三角形的面积规律，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6. 如图3-1-69，正方形ABCD中，点P在BC边上，F是AP的中点，EF ⊥ AP，交AD的延长线于点E，点G是△APE的重心.
（1）求证：△ABP ∽ △EFA
（2）若AB = 12，BP = 5，求GF的长.
图3-1-69
（1）求证：△ABP ∽ △EFA
（2）若AB = 12，BP = 5，求GF的长.
图3-1-69
答案
6. 解:(1) 由正方形得 $∠B = 90°,AD // BC$.
$\therefore ∠EAF = ∠APB$.
$\because EF ⊥ AP$,
$\therefore ∠AFE = ∠B$.
$\therefore △ EFA ∽ △ ABP$.
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ABP$ 中, $AB = 12, BP = 5$,
$\therefore AP = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$.
由(1)知 $△ ABP ∽ △ EFA$.
$\therefore \frac{BP}{AF} = \frac{AB}{EF}$, 即 $\frac{5}{6.5} = \frac{12}{EF}$,
解得 $EF = 15.6$.
$\therefore GF = \frac{1}{3}EF = 5.2$.
解析
【分析】
（1）要证明△ABP∽△EFA，先结合正方形的性质找角的关系：正方形的内角为直角，且对边平行，可得∠B=90°、∠EAF=∠APB；再由EF⊥AP得∠AFE=90°，即可通过“两角分别相等的两个三角形相似”完成证明。
（2）求GF的长可分三步：第一步在Rt△ABP中用勾股定理算出AP的长度，结合F是AP中点得到AF的长；第二步利用第一问的相似三角形对应边成比例，计算出EF的长度；第三步根据三角形重心的性质：重心在三角形的中线上，且分中线为2:1的两段，可得GF是EF的$\frac{1}{3}$，代入数值计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠EAF=∠APB（两直线平行，内错角相等），
∵EF⊥AP，
∴∠AFE=90°，即∠AFE=∠B，
在△ABP和△EFA中：
$\begin{cases}∠B=∠AFE \\∠APB=∠EAF \end{cases}$
∴△ABP∽△EFA。
（2）解：
在Rt△ABP中，AB=12，BP=5，∠B=90°，
由勾股定理得：$AP=\sqrt{AB^2+BP^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
∵F是AP的中点，
∴$AF=\frac{1}{2}AP=6.5$，
由△ABP∽△EFA，得对应边成比例：$\frac{BP}{AF}=\frac{AB}{EF}$，
代入数值得：$\frac{5}{6.5}=\frac{12}{EF}$，解得$EF=15.6$，
∵G是△APE的重心，且EF是△APE的中线（F为AP中点），
∴重心分中线EF的比为EG:GF=2:1，
∴$GF=\frac{1}{3}EF=\frac{1}{3}×15.6=5.2$。
【答案】
6. 解:(1) 由正方形得 $∠B = 90°,AD // BC$.
$\therefore ∠EAF = ∠APB$.
$\because EF ⊥ AP$,
$\therefore ∠AFE = ∠B$.
$\therefore △ EFA ∽ △ ABP$.
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ABP$ 中, $AB = 12, BP = 5$,
$\therefore AP = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$.
由(1)知 $△ ABP ∽ △ EFA$.
$\therefore \frac{BP}{AF} = \frac{AB}{EF}$, 即 $\frac{5}{6.5} = \frac{12}{EF}$,
解得 $EF = 15.6$.
$\therefore GF = \frac{1}{3}EF = 5.2$.
【知识点】
相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形重心的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，结合正方形的性质将相似三角形、勾股定理、重心性质等知识点结合考查，解题的关键是准确找到相似三角形的对应角、对应边，牢记重心分中线为2:1的性质。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABP∽△EFA，先结合正方形的性质找角的关系：正方形的内角为直角，且对边平行，可得∠B=90°、∠EAF=∠APB；再由EF⊥AP得∠AFE=90°，即可通过“两角分别相等的两个三角形相似”完成证明。
（2）求GF的长可分三步：第一步在Rt△ABP中用勾股定理算出AP的长度，结合F是AP中点得到AF的长；第二步利用第一问的相似三角形对应边成比例，计算出EF的长度；第三步根据三角形重心的性质：重心在三角形的中线上，且分中线为2:1的两段，可得GF是EF的$\frac{1}{3}$，代入数值计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠EAF=∠APB（两直线平行，内错角相等），
∵EF⊥AP，
∴∠AFE=90°，即∠AFE=∠B，
在△ABP和△EFA中：
$\begin{cases}∠B=∠AFE \\∠APB=∠EAF \end{cases}$
∴△ABP∽△EFA。
（2）解：
在Rt△ABP中，AB=12，BP=5，∠B=90°，
由勾股定理得：$AP=\sqrt{AB^2+BP^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
∵F是AP的中点，
∴$AF=\frac{1}{2}AP=6.5$，
由△ABP∽△EFA，得对应边成比例：$\frac{BP}{AF}=\frac{AB}{EF}$，
代入数值得：$\frac{5}{6.5}=\frac{12}{EF}$，解得$EF=15.6$，
∵G是△APE的重心，且EF是△APE的中线（F为AP中点），
∴重心分中线EF的比为EG:GF=2:1，
∴$GF=\frac{1}{3}EF=\frac{1}{3}×15.6=5.2$。
【答案】
6. 解:(1) 由正方形得 $∠B = 90°,AD // BC$.
$\therefore ∠EAF = ∠APB$.
$\because EF ⊥ AP$,
$\therefore ∠AFE = ∠B$.
$\therefore △ EFA ∽ △ ABP$.
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ABP$ 中, $AB = 12, BP = 5$,
$\therefore AP = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$.
由(1)知 $△ ABP ∽ △ EFA$.
$\therefore \frac{BP}{AF} = \frac{AB}{EF}$, 即 $\frac{5}{6.5} = \frac{12}{EF}$,
解得 $EF = 15.6$.
$\therefore GF = \frac{1}{3}EF = 5.2$.
【知识点】
相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形重心的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，结合正方形的性质将相似三角形、勾股定理、重心性质等知识点结合考查，解题的关键是准确找到相似三角形的对应角、对应边，牢记重心分中线为2:1的性质。
【难度系数】
0.7
