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1. 计算：$\sqrt{24} =$
$2\sqrt{6}$
；$\sqrt{63} =$ $3\sqrt{7}$
.答案
1. $2\sqrt{6}$，$3\sqrt{7}$
解析
【分析】
要化简二次根式，需运用积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。解题思路如下：第一步先将被开方数分解因数，找到其中最大的完全平方因数；第二步利用性质将根式拆分为两个算术平方根的乘积；第三步将完全平方数开方后移到根号外，得到最简结果。
【解析】
1. 计算$\sqrt{24}$：
先分解24的因数，可得$24=4×6$，其中4是最大的完全平方因数。
根据积的算术平方根的性质：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=\sqrt{4}×\sqrt{6}=2\sqrt{6}$
2. 计算$\sqrt{63}$：
先分解63的因数，可得$63=9×7$，其中9是最大的完全平方因数。
同理：
$\sqrt{63}=\sqrt{9×7}=\sqrt{9}×\sqrt{7}=3\sqrt{7}$
【答案】
$2\sqrt{6}$；$3\sqrt{7}$
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题关键是准确找出被开方数中包含的完全平方因数，熟练运用积的算术平方根的性质计算，这类化简是后续二次根式运算的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
要化简二次根式，需运用积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。解题思路如下：第一步先将被开方数分解因数，找到其中最大的完全平方因数；第二步利用性质将根式拆分为两个算术平方根的乘积；第三步将完全平方数开方后移到根号外，得到最简结果。
【解析】
1. 计算$\sqrt{24}$：
先分解24的因数，可得$24=4×6$，其中4是最大的完全平方因数。
根据积的算术平方根的性质：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=\sqrt{4}×\sqrt{6}=2\sqrt{6}$
2. 计算$\sqrt{63}$：
先分解63的因数，可得$63=9×7$，其中9是最大的完全平方因数。
同理：
$\sqrt{63}=\sqrt{9×7}=\sqrt{9}×\sqrt{7}=3\sqrt{7}$
【答案】
$2\sqrt{6}$；$3\sqrt{7}$
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题关键是准确找出被开方数中包含的完全平方因数，熟练运用积的算术平方根的性质计算，这类化简是后续二次根式运算的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
2. 计算：$\sqrt{(-16) × (-25)} =$
$\sqrt{13^2 - 5^2} =$
$20$
；$\sqrt{13^2 - 5^2} =$
$12$
。答案
2. $20$，$12$
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题思路如下：
1. 对于第一个算式：被开方数是两个负数的乘积，先根据有理数乘法法则得到乘积为正，再利用积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），拆分为两个正整数的算术平方根的乘积，分别计算后相乘即可得到结果。
2. 对于第二个算式：被开方数是平方差的形式，既可以先计算两个平方的结果再求差，再对所得的非负数求算术平方根；也可以先利用平方差公式因式分解转化为两个数的乘积形式，再利用积的算术平方根的性质简化计算。
【解析】
1. 计算$\sqrt{(-16) × (-25)}$：
首先计算被开方数：$(-16)×(-25)=16×25$，
根据积的算术平方根的性质可得：
$\sqrt{16×25}=\sqrt{16}×\sqrt{25}=4×5=20$。
2. 计算$\sqrt{13^2 - 5^2}$：
先计算被开方数的数值：
$13^2-5^2=169-25=144$，
再求算术平方根：$\sqrt{144}=12$。
【答案】
$20$；$12$
【知识点】
积的算术平方根的性质、算术平方根的计算、平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，解题时要注意先确认被开方数为非负数，再结合对应性质或公式简化计算，避免出现直接对负数开平方的错误。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的相关运算，解题思路如下：
1. 对于第一个算式：被开方数是两个负数的乘积，先根据有理数乘法法则得到乘积为正，再利用积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），拆分为两个正整数的算术平方根的乘积，分别计算后相乘即可得到结果。
2. 对于第二个算式：被开方数是平方差的形式，既可以先计算两个平方的结果再求差，再对所得的非负数求算术平方根；也可以先利用平方差公式因式分解转化为两个数的乘积形式，再利用积的算术平方根的性质简化计算。
【解析】
1. 计算$\sqrt{(-16) × (-25)}$：
首先计算被开方数：$(-16)×(-25)=16×25$，
根据积的算术平方根的性质可得：
$\sqrt{16×25}=\sqrt{16}×\sqrt{25}=4×5=20$。
2. 计算$\sqrt{13^2 - 5^2}$：
先计算被开方数的数值：
$13^2-5^2=169-25=144$，
再求算术平方根：$\sqrt{144}=12$。
【答案】
$20$；$12$
【知识点】
积的算术平方根的性质、算术平方根的计算、平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，解题时要注意先确认被开方数为非负数，再结合对应性质或公式简化计算，避免出现直接对负数开平方的错误。
【难度系数】
0.85
3. 等式$\sqrt{x^2 -4} = \sqrt{x+2} · \sqrt{x-2}$成立的条件是
$x ≥ 2$
。答案
3. $x ≥ 2$
解析
【分析】要确定该等式成立的条件，需依据积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$。本题等式右边是两个二次根式相乘，因此这两个二次根式的被开方数都必须是非负数，此时左边被开方数$x^2-4=(x+2)(x-2)$自然满足非负要求，只需列出右边两个被开方数的不等式求解即可。
【解析】根据二次根式乘法法则的成立条件，等式右侧的两个二次根式均要有意义，因此列不等式组：
$\begin{cases}x+2≥0 \\x-2≥0\end{cases}$
解不等式$x+2≥0$，得$x≥-2$；
解不等式$x-2≥0$，得$x≥2$；
取两个解集的公共部分，可得$x≥2$。
【答案】$x≥2$
【知识点】二次根式有意义的条件；积的算术平方根的性质
【点评】本题属于二次根式性质的基础考察题，解题关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，避免只验证等式左右两边运算结果相等、忽略定义域要求的错误。
【难度系数】0.8
【解析】根据二次根式乘法法则的成立条件，等式右侧的两个二次根式均要有意义，因此列不等式组：
$\begin{cases}x+2≥0 \\x-2≥0\end{cases}$
解不等式$x+2≥0$，得$x≥-2$；
解不等式$x-2≥0$，得$x≥2$；
取两个解集的公共部分，可得$x≥2$。
【答案】$x≥2$
【知识点】二次根式有意义的条件；积的算术平方根的性质
【点评】本题属于二次根式性质的基础考察题，解题关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，避免只验证等式左右两边运算结果相等、忽略定义域要求的错误。
【难度系数】0.8
4.如果$x$的算术平方根是2，那么二次根式$\sqrt{2x^2 - 3x}$的值是
$2\sqrt{5}$
.答案
4. $2\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“x的算术平方根是2”入手，根据算术平方根的定义：若一个非负数a的算术平方根是b，则a=b²，可先求出x的值；再将x的值代入二次根式的被开方数中计算出被开方数的结果；最后利用积的算术平方根的性质将二次根式化为最简二次根式即可得到答案。
【解析】
解：
∵x的算术平方根是2，
∴x = 2² = 4，
将x=4代入$\sqrt{2x^2 - 3x}$得：
$\sqrt{2×4^2 - 3×4}$
=$\sqrt{2×16 - 12}$
=$\sqrt{32 - 12}$
=$\sqrt{20}$
=$\sqrt{4×5}$
=$\sqrt{4}×\sqrt{5}$
=$2\sqrt{5}$
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简；代数式求值
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查相关概念的应用和二次根式的化简计算，解题的关键是先准确求出未知数x的值，代入后按照二次根式的化简规则计算即可，易错点是代入计算被开方数时运算出错，或者化简二次根式不彻底。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“x的算术平方根是2”入手，根据算术平方根的定义：若一个非负数a的算术平方根是b，则a=b²，可先求出x的值；再将x的值代入二次根式的被开方数中计算出被开方数的结果；最后利用积的算术平方根的性质将二次根式化为最简二次根式即可得到答案。
【解析】
解：
∵x的算术平方根是2，
∴x = 2² = 4，
将x=4代入$\sqrt{2x^2 - 3x}$得：
$\sqrt{2×4^2 - 3×4}$
=$\sqrt{2×16 - 12}$
=$\sqrt{32 - 12}$
=$\sqrt{20}$
=$\sqrt{4×5}$
=$\sqrt{4}×\sqrt{5}$
=$2\sqrt{5}$
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简；代数式求值
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查相关概念的应用和二次根式的化简计算，解题的关键是先准确求出未知数x的值，代入后按照二次根式的化简规则计算即可，易错点是代入计算被开方数时运算出错，或者化简二次根式不彻底。
【难度系数】
0.8
5.对于任意不相等的两个数$a,b$,定义一种运算为$a※b = \frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$,如,$3※2 = \frac{\sqrt{3+2}}{3-2} = \sqrt{5}$,那么$5※7 = $
$-\sqrt{3}$
.答案
5. $-\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先明确新运算的规则，分清运算符号※前后的数分别对应公式里的a和b，注意a对应※前面的数，b对应※后面的数，不可颠倒；第二步将对应数值代入运算公式，先计算分子中被开方数的和、分母的差，再化简二次根式，最后计算出最终结果。
【解析】
根据题中给出的新运算规则$a※b = \frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$，在$5※7$中，$a=5$，$b=7$，代入公式得：
$\begin{aligned}5※7&=\frac{\sqrt{5+7}}{5-7}\\&=\frac{\sqrt{12}}{-2}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{-2}\\&=-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简
【点评】
本题侧重考察对新定义的理解能力和二次根式的基础计算能力，只要准确匹配a、b的取值，细心计算即可得出正确结果，出错多是因为a、b位置颠倒或者二次根式化简不熟练。
【难度系数】
0.8
这是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先明确新运算的规则，分清运算符号※前后的数分别对应公式里的a和b，注意a对应※前面的数，b对应※后面的数，不可颠倒；第二步将对应数值代入运算公式，先计算分子中被开方数的和、分母的差，再化简二次根式，最后计算出最终结果。
【解析】
根据题中给出的新运算规则$a※b = \frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$，在$5※7$中，$a=5$，$b=7$，代入公式得：
$\begin{aligned}5※7&=\frac{\sqrt{5+7}}{5-7}\\&=\frac{\sqrt{12}}{-2}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{-2}\\&=-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简
【点评】
本题侧重考察对新定义的理解能力和二次根式的基础计算能力，只要准确匹配a、b的取值，细心计算即可得出正确结果，出错多是因为a、b位置颠倒或者二次根式化简不熟练。
【难度系数】
0.8
6. 下列计算错误的是 …………【 】
A.$\sqrt{(-2)×(-6)}=2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{12}×\sqrt{3}=6$
C.$\sqrt{6}×\sqrt{14}=2\sqrt{7}$
D.$\sqrt{\dfrac{20}{9}}=\sqrt{(\dfrac{$
$}{3})^2×5}=\dfrac{2}{3}\sqrt{5}$
A.$\sqrt{(-2)×(-6)}=2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{12}×\sqrt{3}=6$
C.$\sqrt{6}×\sqrt{14}=2\sqrt{7}$
D.$\sqrt{\dfrac{20}{9}}=\sqrt{(\dfrac{$
$}{3})^2×5}=\dfrac{2}{3}\sqrt{5}$答案
C
解析
【分析】
本题要求选出计算错误的选项，解题核心是熟练运用二次根式的乘法法则、积的算术平方根的性质对每个选项逐一计算验证，运算时注意被开方数需满足非负性，化简结果要保证被开方数不含能开得尽方的因数。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{(-2)×(-6)}=\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，计算正确，不符合题意。
选项B：$\sqrt{12}×\sqrt{3}=\sqrt{12×3}=\sqrt{36}=6$，计算正确，不符合题意。
选项C：$\sqrt{6}×\sqrt{14}=\sqrt{6×14}=\sqrt{84}=\sqrt{4×21}=\sqrt{4}×\sqrt{21}=2\sqrt{21}≠2\sqrt{7}$，计算错误，符合题意。
选项D：$\sqrt{\dfrac{20}{9}}=\sqrt{\dfrac{4×5}{9}}=\sqrt{(\dfrac{2}{3})^2×5}=\sqrt{(\dfrac{2}{3})^2}×\sqrt{5}=\dfrac{2}{3}\sqrt{5}$，计算正确，不符合题意。
综上，计算错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式化简，积的算术平方根性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查二次根式的相关运算法则，解题的关键是掌握二次根式化简的要求，即最终结果的被开方数不能含有能开得尽方的因数，避免因化简不彻底判断失误。
【难度系数】
0.8
本题要求选出计算错误的选项，解题核心是熟练运用二次根式的乘法法则、积的算术平方根的性质对每个选项逐一计算验证，运算时注意被开方数需满足非负性，化简结果要保证被开方数不含能开得尽方的因数。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{(-2)×(-6)}=\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，计算正确，不符合题意。
选项B：$\sqrt{12}×\sqrt{3}=\sqrt{12×3}=\sqrt{36}=6$，计算正确，不符合题意。
选项C：$\sqrt{6}×\sqrt{14}=\sqrt{6×14}=\sqrt{84}=\sqrt{4×21}=\sqrt{4}×\sqrt{21}=2\sqrt{21}≠2\sqrt{7}$，计算错误，符合题意。
选项D：$\sqrt{\dfrac{20}{9}}=\sqrt{\dfrac{4×5}{9}}=\sqrt{(\dfrac{2}{3})^2×5}=\sqrt{(\dfrac{2}{3})^2}×\sqrt{5}=\dfrac{2}{3}\sqrt{5}$，计算正确，不符合题意。
综上，计算错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式化简，积的算术平方根性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查二次根式的相关运算法则，解题的关键是掌握二次根式化简的要求，即最终结果的被开方数不能含有能开得尽方的因数，避免因化简不彻底判断失误。
【难度系数】
0.8
7.对于任意实数$a$,下列各式中一定成立的是 ……………………【 】
A.$\sqrt{a^2 - 1} = \sqrt{a + 1} · \sqrt{a - 1}$
B.$\sqrt{(a + b)^2} = a + b$
C.$\sqrt{(-16) · (-a)} = -4\sqrt{-a}$
D.$\sqrt{5a^5 + a^4} = a^2\sqrt{5a + 1}$
A.$\sqrt{a^2 - 1} = \sqrt{a + 1} · \sqrt{a - 1}$
B.$\sqrt{(a + b)^2} = a + b$
C.$\sqrt{(-16) · (-a)} = -4\sqrt{-a}$
D.$\sqrt{5a^5 + a^4} = a^2\sqrt{5a + 1}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次根式的性质与运算规则，解题时需逐个分析选项，结合二次根式有意义的条件（被开方数非负）、二次根式的非负性、积的算术平方根的运算要求逐一判断正误，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：等式右边$\sqrt{a+1}·\sqrt{a-1}$有意义的条件是$\begin{cases}a+1≥0 \\ a-1≥0\end{cases}$，即$a≥1$；而左边$\sqrt{a^2-1}$有意义的条件是$a^2-1≥0$，即$a≥1$或$a≤-1$。当$a≤-1$时右边无意义，等式不成立，故A错误。
2. 选项B：根据二次根式性质，$\sqrt{x^2}=|x|$，因此$\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|$，仅当$a+b≥0$时等于$a+b$，若$a+b＜0$则等于$-(a+b)$，故B错误。
3. 选项C：左边$\sqrt{(-16)·(-a)}=\sqrt{16a}$，有意义的条件是$a≥0$，化简得$4\sqrt{a}$；右边$-4\sqrt{-a}$有意义的条件是$a≤0$，且右边为非正数，左边为非负数，仅当$a=0$时两边相等，不满足对任意实数成立的要求，故C错误。
4. 选项D：左边被开方数因式分解得$5a^5+a^4=a^4(5a+1)$，二次根式有意义的条件是$a^4(5a+1)≥0$，因为$a^4≥0$恒成立，所以只需$5a+1≥0$。此时$\sqrt{a^4(5a+1)}=\sqrt{a^4}·\sqrt{5a+1}=a^2\sqrt{5a+1}$（$\sqrt{a^4}=|a^2|=a^2$，$a^2$恒非负），和右边相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；积的算术平方根；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式性质的典型应用题，解题核心是牢记二次根式的双重非负性：被开方数必须非负，运算结果也必须非负，应用积的算术平方根法则时要保证每个因式都满足非负要求，避免忽略取值范围导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的性质与运算规则，解题时需逐个分析选项，结合二次根式有意义的条件（被开方数非负）、二次根式的非负性、积的算术平方根的运算要求逐一判断正误，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：等式右边$\sqrt{a+1}·\sqrt{a-1}$有意义的条件是$\begin{cases}a+1≥0 \\ a-1≥0\end{cases}$，即$a≥1$；而左边$\sqrt{a^2-1}$有意义的条件是$a^2-1≥0$，即$a≥1$或$a≤-1$。当$a≤-1$时右边无意义，等式不成立，故A错误。
2. 选项B：根据二次根式性质，$\sqrt{x^2}=|x|$，因此$\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|$，仅当$a+b≥0$时等于$a+b$，若$a+b＜0$则等于$-(a+b)$，故B错误。
3. 选项C：左边$\sqrt{(-16)·(-a)}=\sqrt{16a}$，有意义的条件是$a≥0$，化简得$4\sqrt{a}$；右边$-4\sqrt{-a}$有意义的条件是$a≤0$，且右边为非正数，左边为非负数，仅当$a=0$时两边相等，不满足对任意实数成立的要求，故C错误。
4. 选项D：左边被开方数因式分解得$5a^5+a^4=a^4(5a+1)$，二次根式有意义的条件是$a^4(5a+1)≥0$，因为$a^4≥0$恒成立，所以只需$5a+1≥0$。此时$\sqrt{a^4(5a+1)}=\sqrt{a^4}·\sqrt{5a+1}=a^2\sqrt{5a+1}$（$\sqrt{a^4}=|a^2|=a^2$，$a^2$恒非负），和右边相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；积的算术平方根；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式性质的典型应用题，解题核心是牢记二次根式的双重非负性：被开方数必须非负，运算结果也必须非负，应用积的算术平方根法则时要保证每个因式都满足非负要求，避免忽略取值范围导致判断错误。
【难度系数】
0.7
8.已知$a＞0,b＞0$,下列各式中化简正确的是…………………………【 】
A.$\sqrt{ab^2}=ab$
B.$\sqrt{16a^4}=4a^2$
C.$\sqrt{9× \frac{1}{4}a^2}=3\frac{1}{2}a$
D.$\frac{1}{2}\sqrt{4a}=\frac{1}{4}\sqrt{a}$
A.$\sqrt{ab^2}=ab$
B.$\sqrt{16a^4}=4a^2$
C.$\sqrt{9× \frac{1}{4}a^2}=3\frac{1}{2}a$
D.$\frac{1}{2}\sqrt{4a}=\frac{1}{4}\sqrt{a}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查积的算术平方根的化简，解题思路是先明确积的算术平方根的性质：$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$（$x≥0,y≥0$），且题目给出$a＞0,b＞0$，因此二次根式开方后结果均为非负数，无需考虑负号，只需逐个对选项中的二次根式进行化简，再与选项给出的结果对比即可选出正确答案。
【解析】
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$（$x≥0,y≥0$），结合$a＞0,b＞0$逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{ab^2}=\sqrt{a}·\sqrt{b^2}=b\sqrt{a}≠ ab$，故A错误；
选项B：$\sqrt{16a^4}=\sqrt{16}·\sqrt{a^4}=4· a^2=4a^2$，故B正确；
选项C：$\sqrt{9×\frac{1}{4}a^2}=\sqrt{\frac{9}{4}}·\sqrt{a^2}=\frac{3}{2}a≠3\frac{1}{2}a$，故C错误；
选项D：$\frac{1}{2}\sqrt{4a}=\frac{1}{2}·\sqrt{4}·\sqrt{a}=\frac{1}{2}×2\sqrt{a}=\sqrt{a}≠\frac{1}{4}\sqrt{a}$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
积的算术平方根、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握积的算术平方根的运算规则，化简时需注意系数运算和被开方数开方的准确性，避免因粗心导致运算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查积的算术平方根的化简，解题思路是先明确积的算术平方根的性质：$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$（$x≥0,y≥0$），且题目给出$a＞0,b＞0$，因此二次根式开方后结果均为非负数，无需考虑负号，只需逐个对选项中的二次根式进行化简，再与选项给出的结果对比即可选出正确答案。
【解析】
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$（$x≥0,y≥0$），结合$a＞0,b＞0$逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{ab^2}=\sqrt{a}·\sqrt{b^2}=b\sqrt{a}≠ ab$，故A错误；
选项B：$\sqrt{16a^4}=\sqrt{16}·\sqrt{a^4}=4· a^2=4a^2$，故B正确；
选项C：$\sqrt{9×\frac{1}{4}a^2}=\sqrt{\frac{9}{4}}·\sqrt{a^2}=\frac{3}{2}a≠3\frac{1}{2}a$，故C错误；
选项D：$\frac{1}{2}\sqrt{4a}=\frac{1}{2}·\sqrt{4}·\sqrt{a}=\frac{1}{2}×2\sqrt{a}=\sqrt{a}≠\frac{1}{4}\sqrt{a}$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
积的算术平方根、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握积的算术平方根的运算规则，化简时需注意系数运算和被开方数开方的准确性，避免因粗心导致运算错误。
【难度系数】
0.8
9. $\sqrt{8} × \sqrt{18} × \sqrt{75}$.
10. $\sqrt{35} × \sqrt{15} × \sqrt{21}$.
11. $\frac{4}{3}\sqrt{3\frac{3}{4}} × (-6\sqrt{45})$.
10. $\sqrt{35} × \sqrt{15} × \sqrt{21}$.
11. $\frac{4}{3}\sqrt{3\frac{3}{4}} × (-6\sqrt{45})$.
答案
9. $60\sqrt{3}$
10. $105$
11. $-60\sqrt{3}$
10. $105$
11. $-60\sqrt{3}$
解析
【分析】
这三道题均属于二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），结合积的算术平方根的性质化简。解题思路：①若有带分数先化为假分数；②将系数与二次根式分别归类相乘；③把被开方数相乘后分解质因数，将能开得尽方的因数开出来；④最后将系数与开方后的结果相乘，注意符号处理，最终结果化为最简二次根式。
【解析】
9. 计算$\sqrt{8} × \sqrt{18} × \sqrt{75}$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{8×18×75}\\&=\sqrt{144×25×3}\\&=\sqrt{144}×\sqrt{25}×\sqrt{3}\\&=12×5×\sqrt{3}\\&=60\sqrt{3}\end{aligned}$
10. 计算$\sqrt{35} × \sqrt{15} × \sqrt{21}$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{35×15×21}\\&=\sqrt{(5×7)×(3×5)×(3×7)}\\\&=\sqrt{3^2×5^2×7^2}\\&=3×5×7\\&=105\end{aligned}$
11. 计算$\frac{4}{3}\sqrt{3\frac{3}{4}} × (-6\sqrt{45})$：
先将带分数化为假分数$3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$，再分别运算系数和根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{4}{3}×(-6)] × \sqrt{\frac{15}{4}×45}\\&=-8 × \sqrt{\frac{15×45}{4}}\\&=-8 × \sqrt{\frac{225×3}{4}}\\&=-8 × \frac{15\sqrt{3}}{2}\\&=-60\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
9. $60\sqrt{3}$；10. $105$；11. $-60\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式乘法法则，积的算术平方根的性质，二次根式化简
【点评】
这组是二次根式乘法的基础练习题，运算时将系数和二次根式分开计算更简便，分解被开方数时优先拆分出完全平方数可以大幅降低计算量，同时要注意带分数要先化为假分数、负号不要遗漏，最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），结合积的算术平方根的性质化简。解题思路：①若有带分数先化为假分数；②将系数与二次根式分别归类相乘；③把被开方数相乘后分解质因数，将能开得尽方的因数开出来；④最后将系数与开方后的结果相乘，注意符号处理，最终结果化为最简二次根式。
【解析】
9. 计算$\sqrt{8} × \sqrt{18} × \sqrt{75}$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{8×18×75}\\&=\sqrt{144×25×3}\\&=\sqrt{144}×\sqrt{25}×\sqrt{3}\\&=12×5×\sqrt{3}\\&=60\sqrt{3}\end{aligned}$
10. 计算$\sqrt{35} × \sqrt{15} × \sqrt{21}$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{35×15×21}\\&=\sqrt{(5×7)×(3×5)×(3×7)}\\\&=\sqrt{3^2×5^2×7^2}\\&=3×5×7\\&=105\end{aligned}$
11. 计算$\frac{4}{3}\sqrt{3\frac{3}{4}} × (-6\sqrt{45})$：
先将带分数化为假分数$3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$，再分别运算系数和根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{4}{3}×(-6)] × \sqrt{\frac{15}{4}×45}\\&=-8 × \sqrt{\frac{15×45}{4}}\\&=-8 × \sqrt{\frac{225×3}{4}}\\&=-8 × \frac{15\sqrt{3}}{2}\\&=-60\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
9. $60\sqrt{3}$；10. $105$；11. $-60\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式乘法法则，积的算术平方根的性质，二次根式化简
【点评】
这组是二次根式乘法的基础练习题，运算时将系数和二次根式分开计算更简便，分解被开方数时优先拆分出完全平方数可以大幅降低计算量，同时要注意带分数要先化为假分数、负号不要遗漏，最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
12.三角形的一边长是$\sqrt{42}\ \mathrm{cm}$，这边上的高是$\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$，求这个三角形的面积$S$.
答案
解:$S = \frac{1}{2} × \sqrt{40} × \sqrt{30} = 3\sqrt{35} (\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形面积计算公式，已知三角形的底和这条底对应的高，直接将数值代入面积公式，再运用二次根式的乘法法则、积的算术平方根的性质对二次根式进行化简，最终得到最简结果即可。
【解析】
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×对应高$，代入已知条件计算：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×\sqrt{42}×\sqrt{30}\\&=\frac{1}{2}×\sqrt{42×30}\\&=\frac{1}{2}×\sqrt{1260}\\&=\frac{1}{2}×\sqrt{36×35}\\&=\frac{1}{2}×6\sqrt{35}\\&=3\sqrt{35}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{35}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形面积计算，二次根式乘法，积的算术平方根化简
【点评】
本题是二次根式运算与几何面积计算的结合题型，解题核心是牢记面积公式和二次根式的运算规则，化简时要注意将最终结果化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形面积计算公式，已知三角形的底和这条底对应的高，直接将数值代入面积公式，再运用二次根式的乘法法则、积的算术平方根的性质对二次根式进行化简，最终得到最简结果即可。
【解析】
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×对应高$，代入已知条件计算：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×\sqrt{42}×\sqrt{30}\\&=\frac{1}{2}×\sqrt{42×30}\\&=\frac{1}{2}×\sqrt{1260}\\&=\frac{1}{2}×\sqrt{36×35}\\&=\frac{1}{2}×6\sqrt{35}\\&=3\sqrt{35}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{35}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形面积计算，二次根式乘法，积的算术平方根化简
【点评】
本题是二次根式运算与几何面积计算的结合题型，解题核心是牢记面积公式和二次根式的运算规则，化简时要注意将最终结果化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
13.若$\sqrt{50a}$是一个整数，求最小正整数a的值.
答案
13. 解:$\sqrt{50a} = 5\sqrt{2a}$，$a$的最小正整数值为$2$.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用积的算术平方根的性质，把被开方数50a分解出能开得尽方的因数，将二次根式化简；第二步，要使化简后的整个式子为整数，剩余根号内的被开方数必须是完全平方数；第三步，结合a是正整数的要求，找到满足条件的最小a值即可。
【解析】
解：先化简二次根式：
$\sqrt{50a}=\sqrt{25×2a}=\sqrt{25}×\sqrt{2a}=5\sqrt{2a}$
已知$\sqrt{50a}$是整数，且5为整数，因此$\sqrt{2a}$必须是整数，即2a是完全平方数。
要使a为最小正整数，则2a取最小的正的完全平方数（非0），即$2a=4$，解得$a=2$。
【答案】
最小正整数a的值为2
【知识点】
积的算术平方根性质、二次根式化简、完全平方数
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先将二次根式化为最简形式，再根据结果为整数的条件判断被开方数的特征，解题时需注意“最小正整数”的限制要求，避免多解错解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，利用积的算术平方根的性质，把被开方数50a分解出能开得尽方的因数，将二次根式化简；第二步，要使化简后的整个式子为整数，剩余根号内的被开方数必须是完全平方数；第三步，结合a是正整数的要求，找到满足条件的最小a值即可。
【解析】
解：先化简二次根式：
$\sqrt{50a}=\sqrt{25×2a}=\sqrt{25}×\sqrt{2a}=5\sqrt{2a}$
已知$\sqrt{50a}$是整数，且5为整数，因此$\sqrt{2a}$必须是整数，即2a是完全平方数。
要使a为最小正整数，则2a取最小的正的完全平方数（非0），即$2a=4$，解得$a=2$。
【答案】
最小正整数a的值为2
【知识点】
积的算术平方根性质、二次根式化简、完全平方数
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先将二次根式化为最简形式，再根据结果为整数的条件判断被开方数的特征，解题时需注意“最小正整数”的限制要求，避免多解错解。
【难度系数】
0.8
