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1.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个.设该厂八月份和九月份平均每月的增长率为x，那么符合题意的方程是 …………………………………………【 】
A.$50(1 + x^2) = 196$
B.$50 + 50(1 + x^2) = 196$
C.$50 + 50(1 + x) + 50(1 + x)^2 = 196$
D.$50 + 50(1 + x) + 50(1 + 2x) = 196$
A.$50(1 + x^2) = 196$
B.$50 + 50(1 + x^2) = 196$
C.$50 + 50(1 + x) + 50(1 + x)^2 = 196$
D.$50 + 50(1 + x) + 50(1 + 2x) = 196$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确第三季度包含七、八、九三个月，总产量为三个月产量之和，我们可以根据平均增长率的计算规则依次表示出八月、九月的产量，再根据总产量为196万个列方程即可。第一步先确定已知量：七月份产量是50万个；第二步根据月平均增长率x，可得八月份产量是七月份产量乘(1+x)；第三步九月份产量是在八月份产量的基础上再乘(1+x)；最后将三个月产量相加等于第三季度总产量，对照选项选出答案。
【解析】
首先，第三季度包含7月、8月、9月，三个月的产量之和等于第三季度总产量196万个：
1. 七月份产量：已知为50万个；
2. 八月份产量：月平均增长率为x，因此八月份产量为 $ 50(1+x) $ 万个；
3. 九月份产量：在八月份产量基础上继续增长x，因此九月份产量为 $ 50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2 $ 万个；
将三个月产量相加得总产能方程：$ 50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 196 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础应用题型，解题的核心是准确表示出每个增长阶段的数量，易错点是容易遗漏七月份的产量，或是错误将九月份产量写为$ 50(1+2x) $，审题时明确增长的基数就能规避错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确第三季度包含七、八、九三个月，总产量为三个月产量之和，我们可以根据平均增长率的计算规则依次表示出八月、九月的产量，再根据总产量为196万个列方程即可。第一步先确定已知量：七月份产量是50万个；第二步根据月平均增长率x，可得八月份产量是七月份产量乘(1+x)；第三步九月份产量是在八月份产量的基础上再乘(1+x)；最后将三个月产量相加等于第三季度总产量，对照选项选出答案。
【解析】
首先，第三季度包含7月、8月、9月，三个月的产量之和等于第三季度总产量196万个：
1. 七月份产量：已知为50万个；
2. 八月份产量：月平均增长率为x，因此八月份产量为 $ 50(1+x) $ 万个；
3. 九月份产量：在八月份产量基础上继续增长x，因此九月份产量为 $ 50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2 $ 万个；
将三个月产量相加得总产能方程：$ 50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 196 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础应用题型，解题的核心是准确表示出每个增长阶段的数量，易错点是容易遗漏七月份的产量，或是错误将九月份产量写为$ 50(1+2x) $，审题时明确增长的基数就能规避错误。
【难度系数】
0.7
2.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品.据市场调查,该商品的售价与销售量的关系是:若每件售价a元,则可卖出$(320 - 10a)$件,但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25％.若该商店计划获利400元,则每件商品的售价应定为……【 】
A.20元
B.22元
C.26元
D.28元
A.20元
B.22元
C.26元
D.28元
答案
B
解析
【分析】
本题属于销售利润类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确销售利润的核心计算公式：总利润=单件商品利润×销售数量；其次先根据物价部门的加价限制计算出售价的最高上限，避免后续得到不符合实际的解；再根据总获利400元的等量关系列出一元二次方程，求解后结合售价上限舍去不符合要求的根，即可得到正确答案。
【解析】
1. 先计算售价的最高限定：
已知进货价为18元，加价不能超过进货价的25%，因此最高售价为：
$18×(1+25\%)=22.5$元，即售价$a≤22.5$元。
2. 列方程求解：
每件商品的利润为$(a-18)$元，销售量为$(320-10a)$件，总利润为400元，根据利润公式列方程：
$(a-18)(320-10a)=400$
展开并整理方程：
$320a -10a^2 -5760 +180a = 400$
$-10a^2 +500a -6160 = 0$
两边同除以$-10$得：
$a^2 -50a +616 = 0$
因式分解得：
$(a-22)(a-28)=0$
解得：$a_1=22$，$a_2=28$
3. 检验根的合理性：
因为$28＞22.5$，不符合物价部门的加价限制，舍去；$22≤22.5$，符合要求。
因此每件商品的售价应定为22元。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润计算、一元二次方程求解
【点评】
本题是销售类实际应用的典型题型，核心是找准等量关系列方程，易错点是容易忽略题目中的加价限制条件，未对一元二次方程的根进行合理性检验，从而出现错解，解题时要特别注意结合实际约束条件判断解的有效性。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确销售利润的核心计算公式：总利润=单件商品利润×销售数量；其次先根据物价部门的加价限制计算出售价的最高上限，避免后续得到不符合实际的解；再根据总获利400元的等量关系列出一元二次方程，求解后结合售价上限舍去不符合要求的根，即可得到正确答案。
【解析】
1. 先计算售价的最高限定：
已知进货价为18元，加价不能超过进货价的25%，因此最高售价为：
$18×(1+25\%)=22.5$元，即售价$a≤22.5$元。
2. 列方程求解：
每件商品的利润为$(a-18)$元，销售量为$(320-10a)$件，总利润为400元，根据利润公式列方程：
$(a-18)(320-10a)=400$
展开并整理方程：
$320a -10a^2 -5760 +180a = 400$
$-10a^2 +500a -6160 = 0$
两边同除以$-10$得：
$a^2 -50a +616 = 0$
因式分解得：
$(a-22)(a-28)=0$
解得：$a_1=22$，$a_2=28$
3. 检验根的合理性：
因为$28＞22.5$，不符合物价部门的加价限制，舍去；$22≤22.5$，符合要求。
因此每件商品的售价应定为22元。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润计算、一元二次方程求解
【点评】
本题是销售类实际应用的典型题型，核心是找准等量关系列方程，易错点是容易忽略题目中的加价限制条件，未对一元二次方程的根进行合理性检验，从而出现错解，解题时要特别注意结合实际约束条件判断解的有效性。
【难度系数】
0.7
3.用锤子每次以相同的力把铁钉敲入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的铁钉的长度为前一次的$k(0＜k＜1)$倍.已知一个铁钉受击3次后恰好全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的$\frac{4}{7}$,设铁钉的长度为1,那么下列方程中,符合这一事实的是 …………………………【 】
A.$\frac{4}{7}k + \frac{4}{7}k^2 = \frac{3}{7}$
B.$\frac{4}{7} + \frac{4}{7}k = 1$
C.$\frac{4}{7}k + \frac{4}{7}k^2 = 1$
D.$\frac{4}{7} + \frac{8}{7}k = 1$
A.$\frac{4}{7}k + \frac{4}{7}k^2 = \frac{3}{7}$
B.$\frac{4}{7} + \frac{4}{7}k = 1$
C.$\frac{4}{7}k + \frac{4}{7}k^2 = 1$
D.$\frac{4}{7} + \frac{8}{7}k = 1$
答案
A
解析
【分析】
解题时先明确铁钉总长度为1，第一步先算出第一次敲击后剩余没进入木板的铁钉长度；再根据“每次钉入的长度是前一次的k倍”，分别求出第二次、第三次敲击时钉入的长度；最后根据“三次恰好全部进入木板”可知，后两次钉入的长度之和等于第一次剩余的长度，据此列方程即可匹配正确选项。
【解析】
已知铁钉总长度为1，第一次受击后进入木板的长度为$\frac{4}{7}$，则第一次敲击后剩余未进入木板的长度为：
$1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}$
由题意，每次钉入木板的长度是前一次的k倍，因此：
第二次钉入的长度为$\frac{4}{7} × k = \frac{4}{7}k$；
第三次钉入的长度为$\frac{4}{7}k × k = \frac{4}{7}k^2$。
因为三次敲击后铁钉恰好全部进入木板，所以第二次和第三次钉入的长度之和等于第一次敲击后剩余的长度，可列方程：
$\frac{4}{7}k + \frac{4}{7}k^2 = \frac{3}{7}$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；倍数关系建模
【点评】
本题考查实际问题中的方程列写，解题核心是准确梳理每次钉入长度的数量关系，找到“后两次钉入总长度=第一次剩余长度”的等量关系，认真审题即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确铁钉总长度为1，第一步先算出第一次敲击后剩余没进入木板的铁钉长度；再根据“每次钉入的长度是前一次的k倍”，分别求出第二次、第三次敲击时钉入的长度；最后根据“三次恰好全部进入木板”可知，后两次钉入的长度之和等于第一次剩余的长度，据此列方程即可匹配正确选项。
【解析】
已知铁钉总长度为1，第一次受击后进入木板的长度为$\frac{4}{7}$，则第一次敲击后剩余未进入木板的长度为：
$1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}$
由题意，每次钉入木板的长度是前一次的k倍，因此：
第二次钉入的长度为$\frac{4}{7} × k = \frac{4}{7}k$；
第三次钉入的长度为$\frac{4}{7}k × k = \frac{4}{7}k^2$。
因为三次敲击后铁钉恰好全部进入木板，所以第二次和第三次钉入的长度之和等于第一次敲击后剩余的长度，可列方程：
$\frac{4}{7}k + \frac{4}{7}k^2 = \frac{3}{7}$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；倍数关系建模
【点评】
本题考查实际问题中的方程列写，解题核心是准确梳理每次钉入长度的数量关系，找到“后两次钉入总长度=第一次剩余长度”的等量关系，认真审题即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
4.某农场今年的粮食产量达到50万吨，预计两年后的产量比今年翻两番，那么今后两年平均每年的增长率是多少？
答案
4. 提示:设平均每年的增长率是x.
依题意,得 $(1 + x)^2 = 4$,
解得 $x_1 = 1 = 100\%, x_2 = - 3$(舍去).
依题意,得 $(1 + x)^2 = 4$,
解得 $x_1 = 1 = 100\%, x_2 = - 3$(舍去).
解析
【分析】
解题时先明确两个核心要点：第一，“翻两番”指的是产量变为原来的4倍，即两年后的产量是今年产量的4倍；第二，增长率问题的通用等量关系为：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ = n年后的量，本题中增长年数n=2。我们可先设年平均增长率为x，结合等量关系列出一元二次方程，求解后再根据增长率为正的实际要求舍去不符合的根即可。
【解析】
解：设今后两年平均每年的增长率是x。
翻两番后两年的产量是今年产量的4倍，根据增长率的等量关系可列方程：
$50(1+x)^2 = 50 × 4$
两边同时除以50化简得：
$(1+x)^2 = 4$
开平方得：$1+x = \pm 2$
解得：$x_1 = 1 = 100\%$，$x_2 = -3$
由于增长率不能为负数，$x_2=-3$不符合实际意义，故舍去。
【答案】
今后两年平均每年的增长率是100%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 增长率问题
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题的关键是准确理解“翻两番”的含义，正确建立产量的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个核心要点：第一，“翻两番”指的是产量变为原来的4倍，即两年后的产量是今年产量的4倍；第二，增长率问题的通用等量关系为：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ = n年后的量，本题中增长年数n=2。我们可先设年平均增长率为x，结合等量关系列出一元二次方程，求解后再根据增长率为正的实际要求舍去不符合的根即可。
【解析】
解：设今后两年平均每年的增长率是x。
翻两番后两年的产量是今年产量的4倍，根据增长率的等量关系可列方程：
$50(1+x)^2 = 50 × 4$
两边同时除以50化简得：
$(1+x)^2 = 4$
开平方得：$1+x = \pm 2$
解得：$x_1 = 1 = 100\%$，$x_2 = -3$
由于增长率不能为负数，$x_2=-3$不符合实际意义，故舍去。
【答案】
今后两年平均每年的增长率是100%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 增长率问题
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题的关键是准确理解“翻两番”的含义，正确建立产量的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.7
5.某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次，求每年接受科技培训人次的平均增长率是多少.
答案
5. 提示:设培训人次的平均增长率是x.依题意,得
$20 + 20(1 + x) + 20(1 + x)^2 = 95.$
整理,得 $(2x - 1)(2x + 7) = 0.$
解这个方程,得 $x_1 = 0.5 = 50\%$,
$x_2 = - 3.5$(不合题意,舍去).
$20 + 20(1 + x) + 20(1 + x)^2 = 95.$
整理,得 $(2x - 1)(2x + 7) = 0.$
解这个方程,得 $x_1 = 0.5 = 50\%$,
$x_2 = - 3.5$(不合题意,舍去).
解析
【分析】
这是平均增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的数量规律：若初始量为a，平均增长率为x，则第一次增长后数值为$a(1+x)$，第二次增长后为$a(1+x)^2$。本题已知第一年培训人次为20万，设平均增长率为x，可依次表示出第二年、第三年的培训人次，再根据“三年累计培训95万人次”的等量关系列方程，求解后结合增长率为正的实际要求舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
解：设每年接受科技培训人次的平均增长率是$x$。
依题意，得：
$20 + 20(1 + x) + 20(1 + x)^2 = 95$
整理方程：
两边同除以5化简，展开合并同类项后得$4x^2+12x-7=0$，因式分解得：
$(2x - 1)(2x + 7) = 0$
解这个方程，得：
$x_1 = 0.5 = 50\%$，$x_2 = - 3.5$
增长率不能为负数，因此$x_2=-3.5$不合题意，舍去。
【答案】
每年接受科技培训人次的平均增长率是50%
【知识点】
1.一元二次方程的应用
2.平均增长率问题
3.一元二次方程的求解
【点评】
本题属于常规的实际应用类题型，解题关键是准确表示各年份的培训人次，根据总量关系建立方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，避免出现不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
这是平均增长率类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的数量规律：若初始量为a，平均增长率为x，则第一次增长后数值为$a(1+x)$，第二次增长后为$a(1+x)^2$。本题已知第一年培训人次为20万，设平均增长率为x，可依次表示出第二年、第三年的培训人次，再根据“三年累计培训95万人次”的等量关系列方程，求解后结合增长率为正的实际要求舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
解：设每年接受科技培训人次的平均增长率是$x$。
依题意，得：
$20 + 20(1 + x) + 20(1 + x)^2 = 95$
整理方程：
两边同除以5化简，展开合并同类项后得$4x^2+12x-7=0$，因式分解得：
$(2x - 1)(2x + 7) = 0$
解这个方程，得：
$x_1 = 0.5 = 50\%$，$x_2 = - 3.5$
增长率不能为负数，因此$x_2=-3.5$不合题意，舍去。
【答案】
每年接受科技培训人次的平均增长率是50%
【知识点】
1.一元二次方程的应用
2.平均增长率问题
3.一元二次方程的求解
【点评】
本题属于常规的实际应用类题型，解题关键是准确表示各年份的培训人次，根据总量关系建立方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，避免出现不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
