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16. 如图2-1-6,在矩形ABCD中,AB = 6cm,BC = 8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1) 如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒使△PBQ的面积等于8cm²?
(2) 如果P,Q分别从A,B同时出发,且点P到达点B后沿BC方向在射线BC上前进,点Q到点C后沿CD方向在射线CD上前进,经几秒△PCQ的面积等于24cm²?
图2-1-6
(1) 如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒使△PBQ的面积等于8cm²?
(2) 如果P,Q分别从A,B同时出发,且点P到达点B后沿BC方向在射线BC上前进,点Q到点C后沿CD方向在射线CD上前进,经几秒△PCQ的面积等于24cm²?
图2-1-6
答案
16. 提示:(1)设经过$x\ \mathrm{s}△ PBQ$面积为$8\ \mathrm{cm}^2$.
依题意,得 $\dfrac{1}{2}(6-x)· 2x=8.$
解这个方程,得 $x_1=2,x_2=4.$
(2)设经过$t\ \mathrm{s}△ PCQ$面积为$24\ \mathrm{cm}^2$.
由题意知,点P经过6 s到达点B,此时点Q在射线CD上,如图
.当点P在BC边上时,
$PC=14-t,CQ=2t-8.$
于是可得
$\dfrac{1}{2}(14-t)(2t-8)=24.$
解得 $t_1=8,t_2=10.$
当点P在BC的延长上时,
$PC=t-14,CQ=2t-8.$
于是可得 $\dfrac{1}{2}(t-14)(2t-8)=24.$
解得 $t_3=16,t_4=2$(舍去).
解析
【分析】
(1) 解第一问时，先根据点P、Q的移动速度和运动时间，分别表示出$△ PBQ$的两条直角边$PB$、$BQ$的长度，再结合直角三角形面积公式列出一元二次方程求解，最后检验解是否符合点的运动范围即可。
(2) 解第二问时，先明确运动的时间节点：点P到达B点需6s，点Q到达C点需4s，后续两点沿新的边运动，需分两种情况讨论：①点P在BC边上运动时，分别表示出$PC$、$CQ$的长度，结合面积公式列方程求解，检验解是否符合该段的时间范围；②点P在BC的延长线上运动时，重新表示$PC$的长度列方程，求解后舍去不符合时间范围的增根。
【解析】
(1) 设经过$x\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=x\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，则$PB=AB-AP=(6-x)\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ B=90°$，根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}(6-x) · 2x=8$
化简得$x^2-6x+8=0$，因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$。
检验：$x=2$和$x=4$均满足$0＜x＜6$，符合运动情况。
(2) 设经过$t\ \mathrm{s}$时，$△ PCQ$的面积等于$24\ \mathrm{cm}^2$。
先计算运动节点时间：点P从A到B的时间为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，点Q从B到C的时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$。
① 当点P在BC边上运动时（$6≤ t≤14$）：
$PC=8-(t-6)=(14-t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=2t-8\ \mathrm{cm}$，根据面积公式列方程：
$\frac{1}{2}(14-t)(2t-8)=24$
化简得$t^2-18t+80=0$，因式分解得$(t-8)(t-10)=0$，解得$t_1=8$，$t_2=10$，均满足$6≤ t≤14$，符合题意。
② 当点P在BC的延长线上运动时（$t＞14$）：
$PC=t-14\ \mathrm{cm}$，$CQ=2t-8\ \mathrm{cm}$，根据面积公式列方程：
$\frac{1}{2}(t-14)(2t-8)=24$
化简得$t^2-18t+32=0$，因式分解得$(t-16)(t-2)=0$，解得$t_3=16$，$t_4=2$，其中$t=2$不符合$t＞14$的范围，舍去。
【答案】
(1) 经过$\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{4\ \mathrm{s}}$时，$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 经过$\boldsymbol{8\ \mathrm{s}}$、$\boldsymbol{10\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{16\ \mathrm{s}}$时，$△ PCQ$的面积等于$24\ \mathrm{cm}^2$。
（提示：点P经过6 s到达点B，此时点Q在射线CD上，如图。）
【知识点】
一元二次方程的应用；动点分类讨论；三角形面积计算
【点评】
本题是动点结合方程的典型应用题，解题关键是根据点的运动阶段分类讨论，准确用含时间的代数式表示对应线段的长度，同时要注意对求得的解进行合理性检验，舍去不符合运动实际的增根。
【难度系数】
0.6
(1) 解第一问时，先根据点P、Q的移动速度和运动时间，分别表示出$△ PBQ$的两条直角边$PB$、$BQ$的长度，再结合直角三角形面积公式列出一元二次方程求解，最后检验解是否符合点的运动范围即可。
(2) 解第二问时，先明确运动的时间节点：点P到达B点需6s，点Q到达C点需4s，后续两点沿新的边运动，需分两种情况讨论：①点P在BC边上运动时，分别表示出$PC$、$CQ$的长度，结合面积公式列方程求解，检验解是否符合该段的时间范围；②点P在BC的延长线上运动时，重新表示$PC$的长度列方程，求解后舍去不符合时间范围的增根。
【解析】
(1) 设经过$x\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=x\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，则$PB=AB-AP=(6-x)\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ B=90°$，根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}(6-x) · 2x=8$
化简得$x^2-6x+8=0$，因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$。
检验：$x=2$和$x=4$均满足$0＜x＜6$，符合运动情况。
(2) 设经过$t\ \mathrm{s}$时，$△ PCQ$的面积等于$24\ \mathrm{cm}^2$。
先计算运动节点时间：点P从A到B的时间为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，点Q从B到C的时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$。
① 当点P在BC边上运动时（$6≤ t≤14$）：
$PC=8-(t-6)=(14-t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=2t-8\ \mathrm{cm}$，根据面积公式列方程：
$\frac{1}{2}(14-t)(2t-8)=24$
化简得$t^2-18t+80=0$，因式分解得$(t-8)(t-10)=0$，解得$t_1=8$，$t_2=10$，均满足$6≤ t≤14$，符合题意。
② 当点P在BC的延长线上运动时（$t＞14$）：
$PC=t-14\ \mathrm{cm}$，$CQ=2t-8\ \mathrm{cm}$，根据面积公式列方程：
$\frac{1}{2}(t-14)(2t-8)=24$
化简得$t^2-18t+32=0$，因式分解得$(t-16)(t-2)=0$，解得$t_3=16$，$t_4=2$，其中$t=2$不符合$t＞14$的范围，舍去。
【答案】
(1) 经过$\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{4\ \mathrm{s}}$时，$△ PBQ$的面积等于$8\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 经过$\boldsymbol{8\ \mathrm{s}}$、$\boldsymbol{10\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{16\ \mathrm{s}}$时，$△ PCQ$的面积等于$24\ \mathrm{cm}^2$。
（提示：点P经过6 s到达点B，此时点Q在射线CD上，如图
。）【知识点】
一元二次方程的应用；动点分类讨论；三角形面积计算
【点评】
本题是动点结合方程的典型应用题，解题关键是根据点的运动阶段分类讨论，准确用含时间的代数式表示对应线段的长度，同时要注意对求得的解进行合理性检验，舍去不符合运动实际的增根。
【难度系数】
0.6
