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6.为了解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价.某种原价为289元的药品连续两次降价后为256元，求平均每次降价的百分率.
答案
6. 提示:设平均每次降价的百分率为x.依题意,得
$289(1 - x)^2 = 256.$
解得 $x_1 \approx 0.059 = 5.9\%, x_2 \approx 1.94$(舍去).
$289(1 - x)^2 = 256.$
解得 $x_1 \approx 0.059 = 5.9\%, x_2 \approx 1.94$(舍去).
解析
【分析】
这是一道平均降低率的典型应用题，解题可按以下思路推进：1. 首先明确平均变化率问题的通用等量关系：原价×(1-每次降价百分率)ⁿ = 连续n次降价后的价格，本题中降价次数n=2；2. 设每次降价百分率为未知数x，将已知的原价、两次降价后的售价代入等量关系，列出一元二次方程；3. 求解方程后，结合“降价百分率需介于0到1之间”的实际意义，舍去不符合要求的增根，得到最终结果。
【解析】
解：设平均每次降价的百分率为$x$。
第一次降价后药品价格为：$289(1-x)$元，
第二次降价是在第一次降价后的价格基础上计算，因此两次降价后的价格为：$289(1-x) · (1-x) = 289(1-x)^2$元，
根据题意列方程得：
$289(1-x)^2 = 256$
方程两边同时除以289，得：
$(1-x)^2 = \frac{256}{289}$
开平方得：
$1-x = \pm \frac{16}{17}$
当$1-x=\frac{16}{17}$时，解得$x=1-\frac{16}{17}=\frac{1}{17}\approx0.059=5.9\%$；
当$1-x=-\frac{16}{17}$时，解得$x\approx1.94$，降价百分率不可能大于1，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
平均每次降价的百分率约为$\boxed{5.9\%}$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均降低率问题
3. 方程根的实际检验
【点评】
本题属于平均变化率类基础应用题，解题核心是掌握连续变化后量的等量关系，求解方程后必须结合实际场景判断根的合理性，避免因忽略增根导致答案错误。
【难度系数】
0.7
这是一道平均降低率的典型应用题，解题可按以下思路推进：1. 首先明确平均变化率问题的通用等量关系：原价×(1-每次降价百分率)ⁿ = 连续n次降价后的价格，本题中降价次数n=2；2. 设每次降价百分率为未知数x，将已知的原价、两次降价后的售价代入等量关系，列出一元二次方程；3. 求解方程后，结合“降价百分率需介于0到1之间”的实际意义，舍去不符合要求的增根，得到最终结果。
【解析】
解：设平均每次降价的百分率为$x$。
第一次降价后药品价格为：$289(1-x)$元，
第二次降价是在第一次降价后的价格基础上计算，因此两次降价后的价格为：$289(1-x) · (1-x) = 289(1-x)^2$元，
根据题意列方程得：
$289(1-x)^2 = 256$
方程两边同时除以289，得：
$(1-x)^2 = \frac{256}{289}$
开平方得：
$1-x = \pm \frac{16}{17}$
当$1-x=\frac{16}{17}$时，解得$x=1-\frac{16}{17}=\frac{1}{17}\approx0.059=5.9\%$；
当$1-x=-\frac{16}{17}$时，解得$x\approx1.94$，降价百分率不可能大于1，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
平均每次降价的百分率约为$\boxed{5.9\%}$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均降低率问题
3. 方程根的实际检验
【点评】
本题属于平均变化率类基础应用题，解题核心是掌握连续变化后量的等量关系，求解方程后必须结合实际场景判断根的合理性，避免因忽略增根导致答案错误。
【难度系数】
0.7
7.某书店将每本进价30元的图书，以单价40元出售，每天销售300本.已知每本涨价不超过10元.若每本涨价1元，每天会少售出10本.若书店销售这批图书每天获得3750元的利润，每本书应涨价多少元？
答案
7. 提示:设每本书涨价x元(0 ＜ x ≤ 10).
依题意得 $(40 - 30 + x)(300 - 10x) = 3750.$
解得 $x_1 = 5, x_2 = 15$(不合题意,舍去).
依题意得 $(40 - 30 + x)(300 - 10x) = 3750.$
解得 $x_1 = 5, x_2 = 15$(不合题意,舍去).
解析
【分析】
本题属于利润类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确利润问题的核心等量关系：总利润=单本利润×销售总量。第一步先设未知数，设每本书涨价x元，根据题目“每本涨价不超过10元”确定x的取值范围为$0 ＜ x ≤ 10$；第二步分别表示出涨价后的单本利润和销售总量：原单本利润为$40-30=10$元，涨价x元后单本利润为$(10+x)$元，原销量为300本，每涨1元少卖10本，涨价x元后销量为$(300-10x)$本；第三步根据总利润为3750元列方程求解，最后对解出的根进行验证，舍去不符合取值范围的根即可得到答案。
【解析】
解：设每本书应涨价x元，由题意可知x的取值范围为$0 ＜ x ≤ 10$。
涨价后每本图书的利润为：$40 - 30 + x = (10 + x)$元
涨价后每天的销售量为：$(300 - 10x)$本
根据“总利润=单本利润×销售量”，可列方程：
$(10 + x)(300 - 10x) = 3750$
展开并整理方程：
$3000 - 100x + 300x - 10x^2 = 3750$
$-10x^2 + 200x - 750 = 0$
两边同时除以-10得：
$x^2 - 20x + 75 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 15) = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = 15$
因为$x ≤ 10$，所以$x_2 = 15$不符合题意，舍去。
答：每本书应涨价5元。
【答案】
每本书应涨价5元。
【知识点】
一元二次方程应用；利润问题计算；方程验根
【点评】
本题是典型的实际应用类方程题，解题的核心是准确抓住利润问题的等量关系列出方程，同时要注意结合实际问题的限制条件，对解出的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题属于利润类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确利润问题的核心等量关系：总利润=单本利润×销售总量。第一步先设未知数，设每本书涨价x元，根据题目“每本涨价不超过10元”确定x的取值范围为$0 ＜ x ≤ 10$；第二步分别表示出涨价后的单本利润和销售总量：原单本利润为$40-30=10$元，涨价x元后单本利润为$(10+x)$元，原销量为300本，每涨1元少卖10本，涨价x元后销量为$(300-10x)$本；第三步根据总利润为3750元列方程求解，最后对解出的根进行验证，舍去不符合取值范围的根即可得到答案。
【解析】
解：设每本书应涨价x元，由题意可知x的取值范围为$0 ＜ x ≤ 10$。
涨价后每本图书的利润为：$40 - 30 + x = (10 + x)$元
涨价后每天的销售量为：$(300 - 10x)$本
根据“总利润=单本利润×销售量”，可列方程：
$(10 + x)(300 - 10x) = 3750$
展开并整理方程：
$3000 - 100x + 300x - 10x^2 = 3750$
$-10x^2 + 200x - 750 = 0$
两边同时除以-10得：
$x^2 - 20x + 75 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 15) = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = 15$
因为$x ≤ 10$，所以$x_2 = 15$不符合题意，舍去。
答：每本书应涨价5元。
【答案】
每本书应涨价5元。
【知识点】
一元二次方程应用；利润问题计算；方程验根
【点评】
本题是典型的实际应用类方程题，解题的核心是准确抓住利润问题的等量关系列出方程，同时要注意结合实际问题的限制条件，对解出的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
8.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加了10％，5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
答案
8. 提示:设营业额的月平均增长率为x.
依题意,得 $400(1 + 10\%)(1 + x)^2 = 633.6.$
解得 $x_1 = 0.2 = 20\%, x_2 = - 2.2$(舍去).
依题意,得 $400(1 + 10\%)(1 + x)^2 = 633.6.$
解得 $x_1 = 0.2 = 20\%, x_2 = - 2.2$(舍去).
解析
【分析】
要解决该问题，首先需明确各月营业额的数量关系：首先计算3月份的营业额，它以2月份400万元为基数增长10%，即3月营业额=400×(1+10%)；接下来设3到5月的月平均增长率为x，从3月到5月共经历2次月度增长，因此5月营业额=3月营业额×(1+x)²，结合题目给出的5月营业额为633.6万元的条件，即可列出一元二次方程求解，最后注意增长率为非负数，需舍去不符合实际的负根。
【解析】
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x。
依题意列方程：
$400(1 + 10\%)(1 + x)^2 = 633.6$
整理得：$440(1+x)^2 = 633.6$
系数化为1：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = \pm1.2$
解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$
由于营业额增长率不能为负，故$x_2=-2.2$不符合实际意义，舍去。
【答案】
3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程应用，根的实际检验
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题关键是找准增长的基数和增长次数，正确套用平均增长率公式列方程，求解后要结合现实场景对根进行取舍，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先需明确各月营业额的数量关系：首先计算3月份的营业额，它以2月份400万元为基数增长10%，即3月营业额=400×(1+10%)；接下来设3到5月的月平均增长率为x，从3月到5月共经历2次月度增长，因此5月营业额=3月营业额×(1+x)²，结合题目给出的5月营业额为633.6万元的条件，即可列出一元二次方程求解，最后注意增长率为非负数，需舍去不符合实际的负根。
【解析】
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x。
依题意列方程：
$400(1 + 10\%)(1 + x)^2 = 633.6$
整理得：$440(1+x)^2 = 633.6$
系数化为1：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = \pm1.2$
解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$
由于营业额增长率不能为负，故$x_2=-2.2$不符合实际意义，舍去。
【答案】
3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程应用，根的实际检验
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题关键是找准增长的基数和增长次数，正确套用平均增长率公式列方程，求解后要结合现实场景对根进行取舍，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
9.某公司有一批图形计算器，原售价为每台800元.该公司用如下方法促销:买一台，单价为780元；买两台，每台都为760元；以此类推，即每多买一台，则所买各台均再减20元，但最低不能低于每台440元.问:若恰好花费7500元，在该公司购买图形计算器的数量是多少？
答案
9. 提示:设买图形计算器x台. 根据题意,得
$x(800 - 20x) = 7500$, 解得 $x_1 = 15, x_2 = 25.$
当 $x_1 = 15$ 时,单价为
$800 - 20 × 15 = 500 ＞ 440$,符合题意;
当 $x_2 = 25$ 时,单价为
$800 - 20 × 25 = 300 ＜ 440$,不合题意,舍去.
$x(800 - 20x) = 7500$, 解得 $x_1 = 15, x_2 = 25.$
当 $x_1 = 15$ 时,单价为
$800 - 20 × 15 = 500 ＞ 440$,符合题意;
当 $x_2 = 25$ 时,单价为
$800 - 20 × 25 = 300 ＜ 440$,不合题意,舍去.
解析
【分析】
这是一道销售类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 设购买图形计算器的数量为x台，根据促销规则，每台的单价为(800-20x)元，注意单价最低为440元；2. 根据“总花费=单价×购买数量”的等量关系列出方程；3. 求解一元二次方程得到两个根；4. 结合最低单价的限制条件，检验两个根是否符合实际意义，舍去不符合的根，得到最终的购买数量。
【解析】
解：设购买了x台图形计算器，根据题意得：
$x(800 - 20x) = 7500$
整理方程得：$x^2 - 40x + 375 = 0$
因式分解得：$(x - 15)(x - 25) = 0$
解得：$x_1 = 15, x_2 = 25$
接下来检验根的合理性：
当$x=15$时，每台单价为$800 - 20×15 = 500$元，$500 ＞ 440$，符合促销的单价要求；
当$x=25$时，每台单价为$800 - 20×25 = 300$元，$300 ＜ 440$，不符合最低单价要求，舍去。
【答案】
15台
【知识点】
一元二次方程应用；一元二次方程解法；实际问题验根
【点评】
本题属于常见的销售方案类应用题，核心是找准总价、单价、数量三者的等量关系列方程，需要特别注意题目中给出的最低单价限制，求出方程的解后必须结合实际条件检验，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
这是一道销售类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 设购买图形计算器的数量为x台，根据促销规则，每台的单价为(800-20x)元，注意单价最低为440元；2. 根据“总花费=单价×购买数量”的等量关系列出方程；3. 求解一元二次方程得到两个根；4. 结合最低单价的限制条件，检验两个根是否符合实际意义，舍去不符合的根，得到最终的购买数量。
【解析】
解：设购买了x台图形计算器，根据题意得：
$x(800 - 20x) = 7500$
整理方程得：$x^2 - 40x + 375 = 0$
因式分解得：$(x - 15)(x - 25) = 0$
解得：$x_1 = 15, x_2 = 25$
接下来检验根的合理性：
当$x=15$时，每台单价为$800 - 20×15 = 500$元，$500 ＞ 440$，符合促销的单价要求；
当$x=25$时，每台单价为$800 - 20×25 = 300$元，$300 ＜ 440$，不符合最低单价要求，舍去。
【答案】
15台
【知识点】
一元二次方程应用；一元二次方程解法；实际问题验根
【点评】
本题属于常见的销售方案类应用题，核心是找准总价、单价、数量三者的等量关系列方程，需要特别注意题目中给出的最低单价限制，求出方程的解后必须结合实际条件检验，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
