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1. 下列属于假命题的是 （）
A.等角的余角相等
B.相等的角是对顶角
C.同位角相等，两直线平行
D.有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形
A.等角的余角相等
B.相等的角是对顶角
C.同位角相等，两直线平行
D.有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形
答案
B
解析
【分析】
本题考查真假命题的判断，解题时需逐一分析每个选项对应的命题是否符合已学的几何定理、定义及事实，错误的命题即为假命题。首先回忆各选项涉及的知识点：余角的性质、对顶角的定义与性质、平行线的判定定理、等边三角形的判定定理，再逐个验证命题是否成立即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 等角的余角相等：设两个相等的角为$α$，则它们的余角均为$90°-α$，因此余角相等，该命题是真命题，不符合题意。
B. 相等的角是对顶角：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此该命题不成立，是假命题，符合题意。
C. 同位角相等，两直线平行：这是平行线的基本判定定理，是经过证明的真命题，不符合题意。
D. 有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形：分两种情况验证：①若$60°$是等腰三角形的顶角，则底角为$\frac{180°-60°}{2}=60°$，三个角均为$60°$，是等边三角形；②若$60°$是等腰三角形的底角，则顶角为$180°-2×60°=60°$，三个角也均为$60°$，是等边三角形，因此该命题是真命题，不符合题意。
综上，假命题是B选项。
【答案】
B
【知识点】
真假命题判断、对顶角的性质、等边三角形判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查学生对常见几何定理的掌握程度，解题的关键是准确理解每个定理的条件和结论，避免混淆相似的几何概念。
【难度系数】
0.8
本题考查真假命题的判断，解题时需逐一分析每个选项对应的命题是否符合已学的几何定理、定义及事实，错误的命题即为假命题。首先回忆各选项涉及的知识点：余角的性质、对顶角的定义与性质、平行线的判定定理、等边三角形的判定定理，再逐个验证命题是否成立即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 等角的余角相等：设两个相等的角为$α$，则它们的余角均为$90°-α$，因此余角相等，该命题是真命题，不符合题意。
B. 相等的角是对顶角：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此该命题不成立，是假命题，符合题意。
C. 同位角相等，两直线平行：这是平行线的基本判定定理，是经过证明的真命题，不符合题意。
D. 有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形：分两种情况验证：①若$60°$是等腰三角形的顶角，则底角为$\frac{180°-60°}{2}=60°$，三个角均为$60°$，是等边三角形；②若$60°$是等腰三角形的底角，则顶角为$180°-2×60°=60°$，三个角也均为$60°$，是等边三角形，因此该命题是真命题，不符合题意。
综上，假命题是B选项。
【答案】
B
【知识点】
真假命题判断、对顶角的性质、等边三角形判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查学生对常见几何定理的掌握程度，解题的关键是准确理解每个定理的条件和结论，避免混淆相似的几何概念。
【难度系数】
0.8
2. (2024·北京)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
(1)如图
,以点O为圆心、任意长为半径画弧,分别交OA、OB于点C、D.
(2)作射线O'A',以点O'为圆心、OC长为半径画弧,交O'A'于点C';以点C'为圆心、CD长为半径画弧,两弧交于点D'.
(3)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB,其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是 ()
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
(1)如图
,以点O为圆心、任意长为半径画弧,分别交OA、OB于点C、D.(2)作射线O'A',以点O'为圆心、OC长为半径画弧,交O'A'于点C';以点C'为圆心、CD长为半径画弧,两弧交于点D'.
(3)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB,其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是 ()
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确题目核心是找两个三角形全等的判定依据，我们可以结合给出的尺规作图步骤，逐步推导两个三角形的对应边、对应角的相等关系：首先从作图的画弧操作入手，同圆的半径长度相等，由此能得到多组相等的线段，再将得到的相等线段对应到两个三角形中，匹配全等三角形的判定定理即可得出答案。
【解析】
由作图步骤可推导得边的相等关系：
1. 以点O为圆心画弧时，OC、OD为同圆的半径，因此$OC=OD$；
2. 以点$O'$为圆心、OC长为半径画弧时，$O'C'$、$O'D'$为同圆的半径，因此$O'C'=O'D'=OC$，即可得$O'C'=OC$，$O'D'=OD$；
3. 以点$C'$为圆心、CD长为半径画弧得到$D'$，因此$C'D'=CD$。
在$△ C'O'D'$和$△ COD$中：
$\begin{cases}O'C'=OC \\O'D'=OD \\C'D'=CD\end{cases}$
因此$△ C'O'D'≌△ COD$（SSS），判定依据是三边分别相等的两个三角形全等，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 尺规作等角
【点评】
本题结合尺规作等角的操作过程，考查全等三角形判定定理的实际应用，解题关键是从作图步骤中提取出对应相等的线段，再匹配对应的判定定理即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需明确题目核心是找两个三角形全等的判定依据，我们可以结合给出的尺规作图步骤，逐步推导两个三角形的对应边、对应角的相等关系：首先从作图的画弧操作入手，同圆的半径长度相等，由此能得到多组相等的线段，再将得到的相等线段对应到两个三角形中，匹配全等三角形的判定定理即可得出答案。
【解析】
由作图步骤可推导得边的相等关系：
1. 以点O为圆心画弧时，OC、OD为同圆的半径，因此$OC=OD$；
2. 以点$O'$为圆心、OC长为半径画弧时，$O'C'$、$O'D'$为同圆的半径，因此$O'C'=O'D'=OC$，即可得$O'C'=OC$，$O'D'=OD$；
3. 以点$C'$为圆心、CD长为半径画弧得到$D'$，因此$C'D'=CD$。
在$△ C'O'D'$和$△ COD$中：
$\begin{cases}O'C'=OC \\O'D'=OD \\C'D'=CD\end{cases}$
因此$△ C'O'D'≌△ COD$（SSS），判定依据是三边分别相等的两个三角形全等，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 尺规作等角
【点评】
本题结合尺规作等角的操作过程，考查全等三角形判定定理的实际应用，解题关键是从作图步骤中提取出对应相等的线段，再匹配对应的判定定理即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
3. (2024·天津)如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心、适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E、F为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
答案
B
解析
【分析】
首先识别题中的尺规作图是作∠BAC的角平分线，因此AD平分∠BAC。解题思路如下：第一步，利用直角三角形内角和的性质求出∠BAC的度数；第二步，根据角平分线的定义求出∠CAD的度数；第三步，在△ADC中利用三角形内角和定理计算出∠ADC的度数即可。
【解析】
1. 由作图方法可知，射线AP是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC。
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-40°=50°$
3. 因为AD平分$∠ BAC$，所以$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$
4. 在△ADC中，$∠ C=90°$，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ADC=180°-∠ C-∠ CAD=180°-90°-25°=65°$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题为基础题，解题的关键是准确识别角平分线的尺规作图，结合基础几何定理即可求解，主要考查学生对基础作图操作和基础几何性质的掌握程度。
【难度系数】
0.75
首先识别题中的尺规作图是作∠BAC的角平分线，因此AD平分∠BAC。解题思路如下：第一步，利用直角三角形内角和的性质求出∠BAC的度数；第二步，根据角平分线的定义求出∠CAD的度数；第三步，在△ADC中利用三角形内角和定理计算出∠ADC的度数即可。
【解析】
1. 由作图方法可知，射线AP是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC。
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-40°=50°$
3. 因为AD平分$∠ BAC$，所以$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$
4. 在△ADC中，$∠ C=90°$，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ADC=180°-∠ C-∠ CAD=180°-90°-25°=65°$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题为基础题，解题的关键是准确识别角平分线的尺规作图，结合基础几何定理即可求解，主要考查学生对基础作图操作和基础几何性质的掌握程度。
【难度系数】
0.75
