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7.下列是按照一定规律排列的一列数:1，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{5}$，…，其中从左至右第n个数是
$\frac{n+1}{2n}$
。答案
7. $\frac{n+1}{2n}$
解析
【分析】
要找这列数的第n个数，需先观察数的形式，发现部分分数是约分后的结果，因此先将所有数还原为未约分的形式，再分别对比序号n和对应数的分子、分母的关系，分别总结分子、分母的规律即可得到第n个数的表达式。
【解析】
先将原数列中的数统一改写为未约分的形式，对应序号排列如下：
第1个数：$1=\frac{2}{2}$
第2个数：$\frac{3}{4}$
第3个数：$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$
第4个数：$\frac{5}{8}$
第5个数：$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$
观察分子序列：2，3，4，5，6……，可得第n个数的分子为$n+1$；
观察分母序列：2，4，6，8，10……，可得第n个数的分母为$2n$；
因此从左至右第n个数是$\frac{n+1}{2n}$。
【答案】
$\frac{n+1}{2n}$
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的关键是避开约分后分数的干扰，将原数还原为统一形式后分别寻找分子、分母与序号的对应关系，掌握此类方法可快速解决同类型的数字规律题。
【难度系数】
0.6
要找这列数的第n个数，需先观察数的形式，发现部分分数是约分后的结果，因此先将所有数还原为未约分的形式，再分别对比序号n和对应数的分子、分母的关系，分别总结分子、分母的规律即可得到第n个数的表达式。
【解析】
先将原数列中的数统一改写为未约分的形式，对应序号排列如下：
第1个数：$1=\frac{2}{2}$
第2个数：$\frac{3}{4}$
第3个数：$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$
第4个数：$\frac{5}{8}$
第5个数：$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$
观察分子序列：2，3，4，5，6……，可得第n个数的分子为$n+1$；
观察分母序列：2，4，6，8，10……，可得第n个数的分母为$2n$；
因此从左至右第n个数是$\frac{n+1}{2n}$。
【答案】
$\frac{n+1}{2n}$
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的关键是避开约分后分数的干扰，将原数还原为统一形式后分别寻找分子、分母与序号的对应关系，掌握此类方法可快速解决同类型的数字规律题。
【难度系数】
0.6
8.如图,在一个底为a,高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆.
(1)用含a,h,r的代数式表示剩下铁皮(阴影部分)的面积S；
(2)当$a=8,h=6,r=3$时,请求出S的值(结果保留π).
(1)用含a,h,r的代数式表示剩下铁皮(阴影部分)的面积S；
(2)当$a=8,h=6,r=3$时,请求出S的值(结果保留π).
答案
8. 解:(1)$S=S_{\mathrm{三角形}}-S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$.
(2)当 $a=8,h=6,r=3$ 时,$S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}×8×6-\frac{1}{2}π×3^2=24-\frac{9}{2}π$.
(2)当 $a=8,h=6,r=3$ 时,$S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}×8×6-\frac{1}{2}π×3^2=24-\frac{9}{2}π$.
解析
【分析】
这是组合图形面积计算与代数式求值的综合题，解题思路如下：
1. 求阴影部分面积采用“和差法”：观察图形可知，阴影面积等于三角形面积减去挖去的半圆的面积，只需分别代入三角形、半圆的面积公式，即可得到表示S的代数式；
2. 第二问是代数式求值，直接将a、h、r的取值代入第一问得到的代数式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 由题意得，阴影部分面积为三角形面积减去半圆面积：
三角形面积：$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2}ah$
半圆面积：$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r^2$
因此$S = S_{\mathrm{三角形}} - S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$
(2) 将$a=8,h=6,r=3$代入$S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×8×6-\frac{1}{2}π×3^2\\&=24-\frac{9}{2}π\end{aligned}$
【答案】
(1)$S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$
(2)$24-\frac{9}{2}π$
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握用规则图形面积的和差计算不规则图形面积的方法，牢记常见几何图形的面积公式，代数式求值时注意运算顺序即可正确解答。
【难度系数】
0.8
这是组合图形面积计算与代数式求值的综合题，解题思路如下：
1. 求阴影部分面积采用“和差法”：观察图形可知，阴影面积等于三角形面积减去挖去的半圆的面积，只需分别代入三角形、半圆的面积公式，即可得到表示S的代数式；
2. 第二问是代数式求值，直接将a、h、r的取值代入第一问得到的代数式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 由题意得，阴影部分面积为三角形面积减去半圆面积：
三角形面积：$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2}ah$
半圆面积：$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r^2$
因此$S = S_{\mathrm{三角形}} - S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$
(2) 将$a=8,h=6,r=3$代入$S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×8×6-\frac{1}{2}π×3^2\\&=24-\frac{9}{2}π\end{aligned}$
【答案】
(1)$S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$
(2)$24-\frac{9}{2}π$
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握用规则图形面积的和差计算不规则图形面积的方法，牢记常见几何图形的面积公式，代数式求值时注意运算顺序即可正确解答。
【难度系数】
0.8
9.一个三角形数阵如图所示，a，b，c，d是相邻两行的第一个和第二个数.当a＝8时，c＝
9
，d＝37
.答案
9. 9 37
解析
【分析】
首先观察数阵的两个核心规律：①每行首尾两个数等于该行的行数；②除首尾外，每行的数等于它上一行相邻两个数的和。已知a=8，说明a在第8行，c是第9行的第一个数，依据规律①可直接得c的值；要求d，先求出第8行的第二个数b，再依据规律②，d等于第8行前两个数的和，计算即可得d的值。
【解析】
1. 归纳数阵规律：
观察数阵可得：
规律1：第k行的第一个数和最后一个数均为k；
规律2：除首尾数外，第k行的每个数等于第(k-1)行相邻两个数的和。
2. 求c的值：
已知a=8，即第8行第一个数是8，那么下一行是第9行，根据规律1，第9行第一个数c=9。
3. 求d的值：
我们先逐行计算每行第二个数：
第2行第二个数：2
第3行第二个数：2+2=4
第4行第二个数：3+4=7
第5行第二个数：4+7=11
第6行第二个数：5+11=16
第7行第二个数：6+16=22
第8行第二个数b：7+22=29
根据规律2，第9行第二个数d=第8行第一个数+第8行第二个数=8+29=37。
【答案】
9；37
【知识点】
数阵规律探究；有理数加法运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，重点考查观察、归纳能力，解题时先从已知数中总结出通用规律，再按照规律逐步推导即可得到结果，规律的准确归纳是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察数阵的两个核心规律：①每行首尾两个数等于该行的行数；②除首尾外，每行的数等于它上一行相邻两个数的和。已知a=8，说明a在第8行，c是第9行的第一个数，依据规律①可直接得c的值；要求d，先求出第8行的第二个数b，再依据规律②，d等于第8行前两个数的和，计算即可得d的值。
【解析】
1. 归纳数阵规律：
观察数阵可得：
规律1：第k行的第一个数和最后一个数均为k；
规律2：除首尾数外，第k行的每个数等于第(k-1)行相邻两个数的和。
2. 求c的值：
已知a=8，即第8行第一个数是8，那么下一行是第9行，根据规律1，第9行第一个数c=9。
3. 求d的值：
我们先逐行计算每行第二个数：
第2行第二个数：2
第3行第二个数：2+2=4
第4行第二个数：3+4=7
第5行第二个数：4+7=11
第6行第二个数：5+11=16
第7行第二个数：6+16=22
第8行第二个数b：7+22=29
根据规律2，第9行第二个数d=第8行第一个数+第8行第二个数=8+29=37。
【答案】
9；37
【知识点】
数阵规律探究；有理数加法运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，重点考查观察、归纳能力，解题时先从已知数中总结出通用规律，再按照规律逐步推导即可得到结果，规律的准确归纳是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.已知代数式$(x-y)^2$和$x^2-2xy+y^2$.
(1)当$x=-2,y=1$时,分别计算两个代数式的值.
(2)当$x=1,y=-3$时,再分别计算两个代数式的值,你发现了什么?
(3)利用你发现的结论,求$2025^2 - 2×2025×2026 + 2026^2$的值.
(1)当$x=-2,y=1$时,分别计算两个代数式的值.
(2)当$x=1,y=-3$时,再分别计算两个代数式的值,你发现了什么?
(3)利用你发现的结论,求$2025^2 - 2×2025×2026 + 2026^2$的值.
答案
10. 解:(1)当 $x=-2,y=1$ 时，
$(x-y)^2=(-2-1)^2=(-3)^2=9$，
$x^2-2xy+y^2=(-2)^2-2×(-2)×1+1^2=4+4+1=9$.
(2)当 $x=1,y=-3$ 时，
$(x-y)^2=[1-(-3)]^2=4^2=16$，
$x^2-2xy+y^2=1^2-2×1×(-3)+(-3)^2=1+6+9=16$.
我发现:$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
(3)$2025^2 - 2×2025×2026 + 2026^2=(2025-2026)^2=(-1)^2=1$.
$(x-y)^2=(-2-1)^2=(-3)^2=9$，
$x^2-2xy+y^2=(-2)^2-2×(-2)×1+1^2=4+4+1=9$.
(2)当 $x=1,y=-3$ 时，
$(x-y)^2=[1-(-3)]^2=4^2=16$，
$x^2-2xy+y^2=1^2-2×1×(-3)+(-3)^2=1+6+9=16$.
我发现:$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
(3)$2025^2 - 2×2025×2026 + 2026^2=(2025-2026)^2=(-1)^2=1$.
解析
【分析】
本题解题思路分为三步：1. 解决前两小问时，直接将对应x、y的取值分别代入两个代数式，按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）计算出两个代数式的值；2. 对比两次计算的结果，归纳得出两个代数式之间的等量关系；3. 第三小问观察待求式的结构，匹配发现的等量关系，将复杂的大数运算转化为简单的平方运算，即可快速求解。
【解析】
(1)当 $x=-2,y=1$ 时，
$(x-y)^2=(-2-1)^2=(-3)^2=9$，
$x^2-2xy+y^2=(-2)^2-2×(-2)×1+1^2=4+4+1=9$。
(2)当 $x=1,y=-3$ 时，
$(x-y)^2=[1-(-3)]^2=4^2=16$，
$x^2-2xy+y^2=1^2-2×1×(-3)+(-3)^2=1+6+9=16$。
可发现规律：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$。
(3)根据上述规律可得：
$2025^2 - 2×2025×2026 + 2026^2=(2025-2026)^2=(-1)^2=1$。
【答案】
(1)$(x-y)^2$的值为9，$x^2-2xy+y^2$的值为9；
(2)$(x-y)^2$的值为16，$x^2-2xy+y^2$的值为16，发现规律：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$；
(3)所求式子的值为1。
【知识点】
代数式求值，完全平方差公式，有理数混合运算
【点评】
本题通过代入计算、归纳规律、应用规律的探究过程，既考查了代数式代入计算的基础运算能力，又引导学生理解完全平方差公式的推导逻辑，学会利用公式简化复杂运算，有助于培养归纳总结和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.8
本题解题思路分为三步：1. 解决前两小问时，直接将对应x、y的取值分别代入两个代数式，按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）计算出两个代数式的值；2. 对比两次计算的结果，归纳得出两个代数式之间的等量关系；3. 第三小问观察待求式的结构，匹配发现的等量关系，将复杂的大数运算转化为简单的平方运算，即可快速求解。
【解析】
(1)当 $x=-2,y=1$ 时，
$(x-y)^2=(-2-1)^2=(-3)^2=9$，
$x^2-2xy+y^2=(-2)^2-2×(-2)×1+1^2=4+4+1=9$。
(2)当 $x=1,y=-3$ 时，
$(x-y)^2=[1-(-3)]^2=4^2=16$，
$x^2-2xy+y^2=1^2-2×1×(-3)+(-3)^2=1+6+9=16$。
可发现规律：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$。
(3)根据上述规律可得：
$2025^2 - 2×2025×2026 + 2026^2=(2025-2026)^2=(-1)^2=1$。
【答案】
(1)$(x-y)^2$的值为9，$x^2-2xy+y^2$的值为9；
(2)$(x-y)^2$的值为16，$x^2-2xy+y^2$的值为16，发现规律：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$；
(3)所求式子的值为1。
【知识点】
代数式求值，完全平方差公式，有理数混合运算
【点评】
本题通过代入计算、归纳规律、应用规律的探究过程，既考查了代数式代入计算的基础运算能力，又引导学生理解完全平方差公式的推导逻辑，学会利用公式简化复杂运算，有助于培养归纳总结和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.8
11.某中学七年级(4)班3名教师决定带领本班a名学生(学生人数不少于3人)去外地研学，A旅行社的收费标准为教师全价，学生半价；B旅行社不分教师、学生，一律享八折优惠.A,B旅行社的原价都是1500元/人.
(1)用含a的式子表示这3名教师和a名学生分别参加A,B旅行社所需的总费用.
(2)当a=6时，你认为选择哪一个旅行社较合算？为什么？
(1)用含a的式子表示这3名教师和a名学生分别参加A,B旅行社所需的总费用.
(2)当a=6时，你认为选择哪一个旅行社较合算？为什么？
答案
11. 解:(1)A旅行社所需的总费用为 $1500×3+\frac{1}{2}×1500a=(750a+4500)$元；
B旅行社所需的总费用为 $0.8×(1500×3+1500a)=(1200a+3600)$元.
(2)选择 A 旅行社较合算.理由如下.
当 $a=6$ 时，A 旅行社所需的总费用为 $750×6+4500=9000$(元)；
B 旅行社所需的总费用为 $1200×6+3600=10800$(元).
因为 $9000＜10800$,所以选择 A 旅行社较合算.
B旅行社所需的总费用为 $0.8×(1500×3+1500a)=(1200a+3600)$元.
(2)选择 A 旅行社较合算.理由如下.
当 $a=6$ 时，A 旅行社所需的总费用为 $750×6+4500=9000$(元)；
B 旅行社所需的总费用为 $1200×6+3600=10800$(元).
因为 $9000＜10800$,所以选择 A 旅行社较合算.
解析
【分析】
（1）求解两家旅行社的总费用，需先明确各自的收费规则：A旅行社教师全额收费、学生半价收费，先计算3名教师的全额总费用，再计算a名学生的半价总费用，两者相加后化简即可得到A旅行社的总费用代数式；B旅行社所有人员统一按原价的八折收费，先计算3名教师和a名学生的原价总费用，再乘折扣系数0.8，化简后得到B旅行社的总费用代数式。（2）判断哪家旅行社更合算，只需将a=6分别代入（1）中得到的两个代数式，计算出两家的实际收费后比较大小，收费更低的旅行社更合算。
【解析】
解：(1) 计算A旅行社总费用：
3名教师的总费用为 $1500 × 3 = 4500$ 元，
每名学生的收费为 $1500 × \frac{1}{2} = 750$ 元，a名学生的总费用为 $750a$ 元，
因此A旅行社所需总费用为 $4500 + 750a = (750a + 4500)$ 元。
计算B旅行社总费用：
师生总人数为 $(3+a)$ 人，原价总费用为 $1500(3+a)$ 元，打八折后的总费用为 $0.8 × 1500(3+a) = 1200(3+a) = (1200a + 3600)$ 元。
(2) 当 $a=6$ 时：
代入A旅行社费用代数式得：$750 × 6 + 4500 = 4500 + 4500 = 9000$（元）
代入B旅行社费用代数式得：$1200 × 6 + 3600 = 7200 + 3600 = 10800$（元）
因为 $9000 ＜ 10800$，即A旅行社收费更低，所以选择A旅行社较合算。
【答案】
(1) A旅行社总费用：$(750a + 4500)$ 元；B旅行社总费用：$(1200a + 3600)$ 元。
(2) 选择A旅行社较合算。
【知识点】
列代数式，代数式求值，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费场景考查代数式的实际应用，解题关键是准确理解不同方案的收费规则，正确列出对应代数式后代入计算比较，属于贴近生活的基础应用题，易于掌握。
【难度系数】
0.8
（1）求解两家旅行社的总费用，需先明确各自的收费规则：A旅行社教师全额收费、学生半价收费，先计算3名教师的全额总费用，再计算a名学生的半价总费用，两者相加后化简即可得到A旅行社的总费用代数式；B旅行社所有人员统一按原价的八折收费，先计算3名教师和a名学生的原价总费用，再乘折扣系数0.8，化简后得到B旅行社的总费用代数式。（2）判断哪家旅行社更合算，只需将a=6分别代入（1）中得到的两个代数式，计算出两家的实际收费后比较大小，收费更低的旅行社更合算。
【解析】
解：(1) 计算A旅行社总费用：
3名教师的总费用为 $1500 × 3 = 4500$ 元，
每名学生的收费为 $1500 × \frac{1}{2} = 750$ 元，a名学生的总费用为 $750a$ 元，
因此A旅行社所需总费用为 $4500 + 750a = (750a + 4500)$ 元。
计算B旅行社总费用：
师生总人数为 $(3+a)$ 人，原价总费用为 $1500(3+a)$ 元，打八折后的总费用为 $0.8 × 1500(3+a) = 1200(3+a) = (1200a + 3600)$ 元。
(2) 当 $a=6$ 时：
代入A旅行社费用代数式得：$750 × 6 + 4500 = 4500 + 4500 = 9000$（元）
代入B旅行社费用代数式得：$1200 × 6 + 3600 = 7200 + 3600 = 10800$（元）
因为 $9000 ＜ 10800$，即A旅行社收费更低，所以选择A旅行社较合算。
【答案】
(1) A旅行社总费用：$(750a + 4500)$ 元；B旅行社总费用：$(1200a + 3600)$ 元。
(2) 选择A旅行社较合算。
【知识点】
列代数式，代数式求值，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费场景考查代数式的实际应用，解题关键是准确理解不同方案的收费规则，正确列出对应代数式后代入计算比较，属于贴近生活的基础应用题，易于掌握。
【难度系数】
0.8
