2. 如图，在$□ ABCD$中，$DB=DC$，$∠ C=70°$，$AE ⊥ BD$于点$E$，则$∠ DAE=$ $\_\_\_\_\_\_$°。

2.20

【分析】
解题时可按以下步骤思考：①首先根据已知DB=DC，结合等腰三角形“等边对等角”的性质，求出∠DBC的度数；②再利用平行四边形对边平行的性质，得到AD//BC，由“两直线平行，内错角相等”推出∠ADB的度数；③最后在Rt△ADE中，根据直角三角形两锐角互余，即可计算出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵DB=DC，∠C=70°，
∴△DBC为等腰三角形，∠DBC=∠C=70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC=70°（两直线平行，内错角相等），
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠DAE + ∠ADB = 90°，
∴∠DAE = 90° - 70° = 20°。
【答案】
20
【知识点】
等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心是通过平行线的性质实现角的等量转换，将所求角放到直角三角形中求解，解题思路清晰，考查的都是几何基础性质的应用。
【难度系数】
0.8

3. 已知菱形有一个锐角为$60°$，一条对角线长为6 cm，则其面积为$\mathrm{cm}^2$

3.$6\sqrt{3}$或$18\sqrt{3}$

【分析】
首先回忆菱形的相关性质：菱形四边相等，对角线互相垂直平分，且对角线平分一组对角；菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。本题仅说明一条对角线长6cm，未明确是较长还是较短对角线，结合菱形有一个60°锐角的条件，需要分两种情况讨论：①6cm是较短对角线；②6cm是较长对角线，分别求出另一条对角线的长度后，代入面积公式计算即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
情况1：当6cm为菱形较短的对角线时：
∵菱形的锐角为60°，较短对角线与菱形相邻两边构成等边三角形，
∴菱形的边长等于短对角线长，即边长为6cm。
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴短对角线的一半为$6÷2=3\mathrm{cm}$，
设长对角线的一半为$x\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$x^2+3^2=6^2$
解得$x=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$，
∴长对角线全长为$2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\mathrm{cm}$，
此时菱形面积$=\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3}=18\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$。
情况2：当6cm为菱形较长的对角线时：
∵菱形对角线平分内角，60°锐角被对角线分为两个30°角，
长对角线的一半为$6÷2=3\mathrm{cm}$，
设短对角线的一半为$y\mathrm{cm}$，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，可得菱形边长为$2y\mathrm{cm}$，
由勾股定理得：
$y^2+3^2=(2y)^2$
整理得$3y^2=9$，解得$y=\sqrt{3}\mathrm{cm}$，
∴短对角线全长为$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$，
此时菱形面积$=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$6\sqrt{3}$或$18\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，菱形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略对对角线长度的分类讨论，解题时需结合菱形的内角特征，明确不同长度对角线对应的图形结构，结合勾股定理计算出两条对角线的长度，即可求出面积。
【难度系数】
0.6

4. 如图，矩形ABCD的相邻两边的长分别是3 cm和4 cm，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于cm，四边形EFGH的面积等于cm².

4.10 6

【分析】
解题时首先明确已知条件：矩形ABCD相邻边长为3cm、4cm，E、F、G、H是各边中点。第一步先判断四边形EFGH的形状：矩形四个角都是直角，四个角落的小直角三角形全等，可推出EFGH四条边相等，是菱形。求周长时，可以先通过勾股定理算出矩形对角线长度，再利用三角形中位线定理得到菱形的边长，乘以4即可得到周长；也可以直接在小直角三角形中用勾股定理算菱形边长。求面积时，既可以用矩形总面积减去四个小直角三角形的面积和，也可以利用菱形面积=对角线乘积的一半计算，因为EFGH的对角线长度刚好等于矩形的长和宽。
【解析】
解：1. 计算周长：
矩形ABCD的对角线长由勾股定理可得：$\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$。
因为E、F、G、H是矩形各边中点，根据三角形中位线定理，四边形EFGH的每条边长均等于矩形对角线长度的一半，即每条边长为$5÷2=2.5\mathrm{cm}$。
所以四边形EFGH的周长为$4×2.5=10\mathrm{cm}$。
2. 计算面积：
矩形总面积为$3×4=12\mathrm{cm}^2$。
每个角落的小直角三角形的两条直角边长度分别为$3÷2=1.5\mathrm{cm}$、$4÷2=2\mathrm{cm}$，单个小三角形面积为$\frac{1}{2}×1.5×2=1.5\mathrm{cm}^2$，四个小三角形总面积为$4×1.5=6\mathrm{cm}^2$。
因此四边形EFGH的面积为$12-6=6\mathrm{cm}^2$。
【答案】
10；6
【知识点】
勾股定理；三角形中位线定理；菱形面积计算
【点评】
本题是特殊四边形的常规应用题，解题方法灵活，既可以用割补法计算面积，也可以利用特殊四边形的性质简化计算，能够很好地考查学生对矩形、菱形相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

三、解答题.
菱形折叠变换的几何探究问题
菱形是特殊的平行四边形,结合折叠变换能得出怎样的几何规律? 一起在探究中验证你的猜想吧.已知在菱形ABCD中,∠B为锐角,E为AB的中点,连接DE.
【动手操作】
第一步:如图①,将四边形BCDE沿DE折叠,得到四边形MNDE,点B的对应点为点M,点C的对应点为点N.
第二步:如图②,连接MA,MB.

【解决问题】
(1) 如图①,若∠B=50°,则∠N的度数是.
(2) 如图②,判断△MAB的形状,并说明理由.
【拓展探究】
(3)如图②,若AD=4,∠MAE=30°,在线段ED上存在点P,使△AEP是以∠EAP为顶角的等腰三角形,求此时DP的长度.

(1)130°
(2)直角三角形,理由略.
(3)$\sqrt{15}-\sqrt{3}$

【分析】
(1) 利用菱形邻角互补的性质先求出∠C的度数，再根据折叠前后对应角相等，即可得到∠N的度数。
(2) 结合E是AB中点、折叠后对应边相等，得到AE=BE=ME，再利用三角形内角和推导∠AMB的度数，即可判断△MAB的形状。
(3) 先通过边角关系求出∠AED的度数，过A作DE的垂线，利用直角三角形30°角的性质和勾股定理分别求出EF、DF的长度，得到DE的总长；再根据等腰三角形三线合一的性质求出EP的长度，用DE减去EP即可得到DP的长度。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠C=180°，已知∠B=50°，
∴∠C=180°-50°=130°。由折叠的性质可知，∠N与∠C是对应角，
∴∠N=∠C=130°。
(2) △MAB是直角三角形，理由如下：
∵E为AB的中点，
∴AE=BE。由折叠的性质得BE=ME，
∴AE=ME=BE，
∴∠EAM=∠EMA，∠EBM=∠EMB。
在△AMB中，∠EAM+∠EMA+∠EBM+∠EMB=180°，代入得2(∠EMA+∠EMB)=180°，即∠AMB=∠EMA+∠EMB=90°，
∴△MAB是直角三角形。
(3)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=4，
∵E是AB中点，
∴AE=BE=2。由折叠性质得BE=ME=2，
∴AE=ME=2。
已知∠MAE=30°，
∴∠AME=∠MAE=30°，
∴∠AEM=180°-30°-30°=120°。
由折叠得∠BED=∠MED，又
∵∠BED+∠AED=180°，∠MED=∠AEM+∠AED=120°+∠AED，代入得：180°-∠AED=120°+∠AED，解得∠AED=30°。
过点A作AF⊥DE于点F：
在Rt△AEF中，∠AEF=30°，AE=2，
∴AF=½AE=1，由勾股定理得EF=√(AE²-AF²)=√(2²-1²)=√3。
在Rt△AFD中，AD=4，AF=1，由勾股定理得DF=√(AD²-AF²)=√(4²-1²)=√15。
∴DE=DF+EF=√15+√3。
∵△AEP是以∠EAP为顶角的等腰三角形，
∴AP=AE=2，又
∵AF⊥DE，由等腰三角形三线合一得EF=FP=√3，
∴EP=2EF=2√3。
∴DP=DE-EP=(√15+√3)-2√3=√15-√3。
【答案】
(1) $\boxed{130°}$
(2) $\boxed{△ MAB是直角三角形}$
(3) $\boxed{\sqrt{15}-\sqrt{3}}$
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，直角三角形与等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，围绕菱形和折叠变换展开，既考查了基础图形的性质，也锻炼了几何分析和计算能力，解题的核心是抓住折叠前后对应边、对应角相等的特点，结合特殊三角形的边角关系逐步推导。
【难度系数】
0.6

某人想要在庭院里种10棵树，而且要排5行，每行4棵。他应该怎么种这10棵树？

解：利用正五角星的点位布局即可满足要求：
1. 先画出一个正五角星，该图形共有10个特殊点：五角星外侧的5个顶点，以及五角星五条边两两相交得到的5个内部交点。
2. 在这10个点的位置各种植1棵树，总数量恰好为10棵。
此时五角星的每条边都依次经过2个外侧顶点和2个内部交点，每条边上共有4棵树，五角星共5条边，刚好对应5行，每行4棵，符合要求。
答：将10棵树分别栽种在正五角星的5个顶点和5条边两两相交的5个内部交点处，即可实现排5行、每行4棵的要求。

【分析】
首先我们可以先做基础计算：如果每行的树都不重复，5行每行4棵总共需要5×4=20棵树，但题目仅要求种10棵，说明每棵树会被重复计数，也就是每棵树需要同时属于至少2行，即树的位置是至少2条“行”所在直线的交点。接下来只需找到符合“有5条直线、每条直线上有4个交点、总交点数为10”特征的几何图形即可，正五角星恰好满足这个条件。
【解析】
1. 验证计数逻辑：若各行树木无重叠，共需5×4=20棵，现有仅10棵，说明每棵树都在2条行的直线上，总计数为10×2=20，刚好匹配需求。
2. 确定布局：正五角星由5条直线相交构成，共有10个特殊交点：分别是五角星外侧的5个顶点，以及5条边两两相交形成的5个内部交点，总点数恰好为10，在这10个点各种1棵树，总数量刚好是10棵。
3. 核对要求：正五角星的每条边对应1行，每条边上恰好有2个外侧顶点和2个内部交点，共4个点，即每行4棵；正五角星共5条边，对应5行，完全符合题目要求。
【答案】
将10棵树分别栽种在正五角星的5个顶点和5条边两两相交的5个内部交点处，即可实现排5行、每行4棵的要求。
【知识点】
直线相交特征，图形交点计数，几何实际应用
【点评】
这道题突破了常规排列中“每行元素互不重叠”的思维定式，需要结合几何图形的结构特征灵活推导，趣味性较强，能有效锻炼发散思维和几何知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.3