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1. 对角线互相垂直平分的四边形是 (
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
C
)A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
答案
1.C
解析
【分析】
解决这道题的核心思路是先逐一回忆各选项对应四边形的对角线性质，再和题干给出的“对角线互相垂直平分”的条件做匹配，不符合条件的直接排除，匹配一致的就是正确答案。我们只需要牢记四类常见四边形的对角线特征，就能快速推导结果。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 平行四边形的对角线仅满足互相平分，不满足互相垂直的要求，不符合题干条件，排除；
B. 矩形的对角线互相平分且相等，不满足互相垂直的要求，不符合题干条件，排除；
C. 菱形的对角线性质就是互相垂直且平分，完全符合题干描述，当选；
D. 梯形的对角线不具备互相平分的性质，不符合题干条件，排除。
【答案】
C
【知识点】
特殊四边形的判定、菱形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，主要围绕常见四边形的对角线性质和判定规则出题，熟练记忆相关性质就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心思路是先逐一回忆各选项对应四边形的对角线性质，再和题干给出的“对角线互相垂直平分”的条件做匹配，不符合条件的直接排除，匹配一致的就是正确答案。我们只需要牢记四类常见四边形的对角线特征，就能快速推导结果。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 平行四边形的对角线仅满足互相平分，不满足互相垂直的要求，不符合题干条件，排除；
B. 矩形的对角线互相平分且相等，不满足互相垂直的要求，不符合题干条件，排除；
C. 菱形的对角线性质就是互相垂直且平分，完全符合题干描述，当选；
D. 梯形的对角线不具备互相平分的性质，不符合题干条件，排除。
【答案】
C
【知识点】
特殊四边形的判定、菱形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，主要围绕常见四边形的对角线性质和判定规则出题，熟练记忆相关性质就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 围棋起源于中国,古代称之为“弈”,至今已有四千多年的历史.以下是在棋谱中截取的四个部分,由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是 ( 
)
)答案
2.D
解析
【分析】
解题首先要明确中心对称图形的定义：平面内，将一个图形绕某一个固定点旋转180°，若旋转后的图形与原图形完全重合，该图形就是中心对称图形。我们只需将四个选项的图案分别绕网格中心点旋转180°，判断旋转后是否和原图案重合，即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：将图案绕网格中心旋转180°后，原最下方一行中间的白棋会旋转到最上方一行中间位置，而原最上方一行中间是黑棋，旋转后图案与原图案不重合，不是中心对称图形。
B选项：将图案绕网格中心旋转180°后，原最下方一行右侧的白棋会旋转到最上方一行左侧位置，原最上方一行左侧是黑棋，旋转后图案与原图案不重合，不是中心对称图形。
C选项：将图案绕网格中心旋转180°后，原最上方一行的两个白棋会旋转到最下方一行对应位置，原最下方一行对应位置没有白棋，旋转后图案与原图案不重合，不是中心对称图形。
D选项：将图案绕网格中心旋转180°后，所有黑白棋子的位置都和原图案完全一致，旋转后与原图形重合，属于中心对称图形。
【答案】
D
【知识点】
中心对称图形的判定
【点评】
本题结合传统围棋文化考查中心对称图形的识别，属于基础题型，核心考查对中心对称图形概念的理解和应用，只要掌握判定方法，通过旋转验证即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确中心对称图形的定义：平面内，将一个图形绕某一个固定点旋转180°，若旋转后的图形与原图形完全重合，该图形就是中心对称图形。我们只需将四个选项的图案分别绕网格中心点旋转180°，判断旋转后是否和原图案重合，即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：将图案绕网格中心旋转180°后，原最下方一行中间的白棋会旋转到最上方一行中间位置，而原最上方一行中间是黑棋，旋转后图案与原图案不重合，不是中心对称图形。
B选项：将图案绕网格中心旋转180°后，原最下方一行右侧的白棋会旋转到最上方一行左侧位置，原最上方一行左侧是黑棋，旋转后图案与原图案不重合，不是中心对称图形。
C选项：将图案绕网格中心旋转180°后，原最上方一行的两个白棋会旋转到最下方一行对应位置，原最下方一行对应位置没有白棋，旋转后图案与原图案不重合，不是中心对称图形。
D选项：将图案绕网格中心旋转180°后，所有黑白棋子的位置都和原图案完全一致，旋转后与原图形重合，属于中心对称图形。
【答案】
D
【知识点】
中心对称图形的判定
【点评】
本题结合传统围棋文化考查中心对称图形的识别，属于基础题型，核心考查对中心对称图形概念的理解和应用，只要掌握判定方法，通过旋转验证即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图,将正五边形ABCDE沿BF折叠,点C,D的对应点分别为点C',D'.若∠1=18°,则∠2的度数为 (
A.96°
B.97°
C.98°
D.99°
D
) A.96°
B.97°
C.98°
D.99°
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路推导：首先利用正多边形内角和公式算出正五边形每个内角的度数；再结合折叠的性质（折叠前后对应角相等），求出∠CBF的度数；最后利用四边形内角和为360°，计算出∠2的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，可得$∠ ABC=∠ C=∠ D=108°$。
2. 利用折叠性质求$∠ CBF$：
由折叠的性质可得$∠ C'BF=∠ CBF$。
已知$∠1=18°$，因此$∠ CBC'=∠ ABC-∠1=108°-18°=90°$，
所以$∠ CBF=∠ CBC'÷2=90°÷2=45°$。
3. 计算$∠2$的度数：
四边形$BCDF$的内角和为$360°$，因此：
$∠2=360°-∠ C-∠ D-∠ CBF=360°-108°-108°-45°=99°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形内角和；折叠的性质；四边形内角和
【点评】
本题需要结合折叠前后角相等的性质，灵活运用多边形内角和公式逐步推导角度，解题的关键是准确找到折叠前后相等的对应角。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路推导：首先利用正多边形内角和公式算出正五边形每个内角的度数；再结合折叠的性质（折叠前后对应角相等），求出∠CBF的度数；最后利用四边形内角和为360°，计算出∠2的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，可得$∠ ABC=∠ C=∠ D=108°$。
2. 利用折叠性质求$∠ CBF$：
由折叠的性质可得$∠ C'BF=∠ CBF$。
已知$∠1=18°$，因此$∠ CBC'=∠ ABC-∠1=108°-18°=90°$，
所以$∠ CBF=∠ CBC'÷2=90°÷2=45°$。
3. 计算$∠2$的度数：
四边形$BCDF$的内角和为$360°$，因此：
$∠2=360°-∠ C-∠ D-∠ CBF=360°-108°-108°-45°=99°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形内角和；折叠的性质；四边形内角和
【点评】
本题需要结合折叠前后角相等的性质，灵活运用多边形内角和公式逐步推导角度，解题的关键是准确找到折叠前后相等的对应角。
【难度系数】
0.7
4. 匈牙利著名数学家爱尔特希曾提出:在平面内有$n$个点,其中任意三点都能构成等腰三角形,人们将具有这样性质的$n$个点构成的点集称为爱尔特希点集. 如图是由正五边形的四个顶点$A$,$B$,$C$,$D$及中心$O$构成的爱尔特希点集,则$∠ ADO$的度数是
（
）
A.$10°$
B.$15°$
C.$18°$
D.$20°$
（
）A.$10°$
B.$15°$
C.$18°$
D.$20°$
答案
4.C
解析
【分析】
要计算∠ADO的度数，首先明确正五边形的中心到各顶点的距离相等，因此△AOD为等腰三角形，只需先求出顶角∠AOD的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°即可求解。首先先计算正五边形的每个中心角的度数，再确定∠AOD的大小，最后代入计算底角即可。
【解析】
1. 计算正五边形的中心角：正五边形的中心周角为360°，平均分成5等份，每一份中心角的度数为 $ \frac{360°}{5}=72° $。
2. 求∠AOD的度数：顶点A、D之间较小的中心角占2等份，因此 $ ∠ AOD=2×72°=144° $。
3. 分析△AOD的形状：正五边形中心到各顶点的距离相等，即 $ OA=OD $，因此△AOD是等腰三角形，两底角 $ ∠ OAD=∠ ADO $。
4. 计算∠ADO：根据三角形内角和为180°，可得
$ ∠ ADO=\frac{180°-∠ AOD}{2}=\frac{180°-144°}{2}=18° $。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合新定义背景，考查正多边形和等腰三角形的基础应用，解题的关键是正确求出正五边形的中心角，确定所求三角形的顶角度数。
【难度系数】
0.7
要计算∠ADO的度数，首先明确正五边形的中心到各顶点的距离相等，因此△AOD为等腰三角形，只需先求出顶角∠AOD的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°即可求解。首先先计算正五边形的每个中心角的度数，再确定∠AOD的大小，最后代入计算底角即可。
【解析】
1. 计算正五边形的中心角：正五边形的中心周角为360°，平均分成5等份，每一份中心角的度数为 $ \frac{360°}{5}=72° $。
2. 求∠AOD的度数：顶点A、D之间较小的中心角占2等份，因此 $ ∠ AOD=2×72°=144° $。
3. 分析△AOD的形状：正五边形中心到各顶点的距离相等，即 $ OA=OD $，因此△AOD是等腰三角形，两底角 $ ∠ OAD=∠ ADO $。
4. 计算∠ADO：根据三角形内角和为180°，可得
$ ∠ ADO=\frac{180°-∠ AOD}{2}=\frac{180°-144°}{2}=18° $。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合新定义背景，考查正多边形和等腰三角形的基础应用，解题的关键是正确求出正五边形的中心角，确定所求三角形的顶角度数。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ C=120°$,$AB=8$,$AD＞AB$,$H$,$G$分别是$CD$,$BC$上的动点,连接$AH$,$GH$,$E$,$F$分别为$AH$,$GH$的中点,连接$EF$,则$EF$的最小值是（
A.4
B.5
C.$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
D.$2\sqrt{3}$
D
）A.4
B.5
C.$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
5.D
解析
【分析】
首先观察到E、F分别是AH、GH的中点，可联想到三角形中位线定理，可得EF是△AGH的中位线，即$EF=\frac{1}{2}AG$，因此求EF的最小值可转化为求AG的最小值。根据垂线段最短的性质，点A到直线BC的最短距离是AG垂直BC时的长度，再结合平行四边形邻角互补的性质，求出∠B的度数，最后在直角三角形中利用勾股定理求出AG的最小值，即可得到EF的最小值。
【解析】
连接AG，
∵E，F分别为AH，GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，根据三角形中位线定理，得$EF=\frac{1}{2}AG$，
因此要使EF最小，需使AG的长度最小。
根据垂线段最短，当$AG⊥ BC$时，AG的长度最小。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$∠ B + ∠ C = 180°$，已知$∠ C=120°$，
∴$∠ B=180° - 120°=60°$。
在$Rt△ ABG$中，$∠ AGB=90°$，$∠ B=60°$，
∴$∠ BAG=30°$，
∴$BG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2 - BG^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
∴EF的最小值为$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的性质，垂线段最短
【点评】
本题属于动态线段最值问题，解题的核心是通过中位线将未知线段的最值转化为易求的线段最值，结合几何图形性质和勾股定理求解，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
首先观察到E、F分别是AH、GH的中点，可联想到三角形中位线定理，可得EF是△AGH的中位线，即$EF=\frac{1}{2}AG$，因此求EF的最小值可转化为求AG的最小值。根据垂线段最短的性质，点A到直线BC的最短距离是AG垂直BC时的长度，再结合平行四边形邻角互补的性质，求出∠B的度数，最后在直角三角形中利用勾股定理求出AG的最小值，即可得到EF的最小值。
【解析】
连接AG，
∵E，F分别为AH，GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，根据三角形中位线定理，得$EF=\frac{1}{2}AG$，
因此要使EF最小，需使AG的长度最小。
根据垂线段最短，当$AG⊥ BC$时，AG的长度最小。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$∠ B + ∠ C = 180°$，已知$∠ C=120°$，
∴$∠ B=180° - 120°=60°$。
在$Rt△ ABG$中，$∠ AGB=90°$，$∠ B=60°$，
∴$∠ BAG=30°$，
∴$BG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2 - BG^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
∴EF的最小值为$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的性质，垂线段最短
【点评】
本题属于动态线段最值问题，解题的核心是通过中位线将未知线段的最值转化为易求的线段最值，结合几何图形性质和勾股定理求解，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
1. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形. 如图
,五边形ABCDE是人类发现的第15种完美五边形的示意图,其中$∠ 1+∠ 5=120°$,则$∠ 2+∠ 3+∠ 4=$
,五边形ABCDE是人类发现的第15种完美五边形的示意图,其中$∠ 1+∠ 5=120°$,则$∠ 2+∠ 3+∠ 4=$240°
.答案
1.240°
解析
【分析】
首先回忆凸多边形的外角和性质：任意凸多边形的外角和都为360°。观察图形可知，标注的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5恰好是凸五边形ABCDE的5个外角，已知∠1与∠5的和，用外角和减去这两个角的和，即可求出∠2+∠3+∠4的度数。
【解析】
∵任意凸多边形的外角和恒为360°，且∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是五边形ABCDE的五个外角，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
又
∵∠1+∠5=120°，
∴∠2+∠3+∠4=360°-(∠1+∠5)=360°-120°=240°。
【答案】
240°
【知识点】
多边形外角和定理、凸多边形性质
【点评】
本题侧重考查基础性质的应用，解题核心是准确识别图中标注的角为五边形的外角，直接套用多边形外角和定理即可快速得到答案，解题时无需被“完美五边形”的背景信息干扰。
【难度系数】
0.8
首先回忆凸多边形的外角和性质：任意凸多边形的外角和都为360°。观察图形可知，标注的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5恰好是凸五边形ABCDE的5个外角，已知∠1与∠5的和，用外角和减去这两个角的和，即可求出∠2+∠3+∠4的度数。
【解析】
∵任意凸多边形的外角和恒为360°，且∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是五边形ABCDE的五个外角，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
又
∵∠1+∠5=120°，
∴∠2+∠3+∠4=360°-(∠1+∠5)=360°-120°=240°。
【答案】
240°
【知识点】
多边形外角和定理、凸多边形性质
【点评】
本题侧重考查基础性质的应用，解题核心是准确识别图中标注的角为五边形的外角，直接套用多边形外角和定理即可快速得到答案，解题时无需被“完美五边形”的背景信息干扰。
【难度系数】
0.8
