14. 如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点D与边BC的中点D'重合.若BC=8,CD=6,则CF=.

$\frac{5}{3}$

1. 由D'是BC中点，BC=8，得D'C=4；
2. 设CF=x，则DF=6-x，根据折叠性质，D'F=DF=6-x；
3. 在Rt△D'CF中，由勾股定理得：$4^2 + x^2 = (6-x)^2$；
4. 解方程：$16+x^2=36-12x+x^2$，化简得$12x=20$，解得$x=\frac{5}{3}$。

15. 如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为.

$3\sqrt{17}$

1. 在矩形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD=5，AD=BC=12，AB//DQ。
2. 由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
3. 因为$BP=BA=5$，所以$PD=BD-BP=13-5=8$。
4. 由$AB//DQ$，得$∠BAP=∠Q$；又$BA=BP$，故$∠BAP=∠BPA=∠DPQ$，因此$∠DPQ=∠Q$，所以$PD=DQ=8$。
5. 则$CQ=DQ-CD=8-5=3$。
6. 在$Rt△BCQ$中，由勾股定理得$BQ=\sqrt{BC^2+CQ^2}=\sqrt{12^2+3^2}=3\sqrt{17}$。

三、解答题(共75分)
16. (6分)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,$BE⊥ AC$,$DF⊥ AC$,垂足分别为E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.

证明：
∵ ∠BAC = ∠DCA，
∴ AB // CD。
∵ BE⊥AC，DF⊥AC，
∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°。
∵ AF = CE，
∴ AF - EF = CE - EF，即 AE = CF。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠BAE = ∠DCF \\AE = CF \\∠AEB = ∠CFD\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDF（ASA），
∴ AB = CD。
又∵ AB // CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

17. (6分)如图,在$□ ABCD$中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF,连接EF,与对角线AC相交于点O.求证:OE=OF.

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵BE=DF，
∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF。
∵AB//CD，
∴CF//AE，
∴∠F=∠E，∠FCO=∠EAO。
在△FOC和△EOA中，
$\{\begin{array}{l}∠F=∠E\\∠FCO=∠EAO\\CF=AE\end{array} $
∴△FOC≌△EOA（AAS），
∴OE=OF。