18. (7分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.求证:四边形ABCD是矩形.

证明：
∵ AO=OC，BO=OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ ∠AOB是△AOD的外角，
∴ ∠AOB=∠OAD+∠ODA。
又∵ ∠AOB=2∠OAD，
∴ 2∠OAD=∠OAD+∠ODA，
∴ ∠OAD=∠ODA，
∴ AO=OD。
∵ AO=OC，BO=OD，
∴ AC=2AO，BD=2OD，
∴ AC=BD。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴ 四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。

19. (8分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EOF=90°.求证:CE=DF.

证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠COD - ∠COF = ∠EOF - ∠COF，
即∠DOF=∠COE，
在△DOF和△COE中，
$\{\begin{array}{l}∠ODF=∠OCE\\OD=OC\\∠DOF=∠COE\end{array} $
∴△DOF≌△COE（ASA），
∴CE=DF。

20. (8分)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:$△ BOF≌△ DOE$;
(2)连接BE,DF,求证:四边形EBFD是菱形.

证明：(1) ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $ AD // BC $，
∴ $ ∠ EDO = ∠ FBO $，
∵ O是BD的中点，
∴ $ BO = DO $，
∵ $ EF ⊥ BD $，
∴ $ ∠ BOF = ∠ DOE = 90° $，
在$ △ BOF $和$ △ DOE $中，
$\begin{cases}∠ FBO = ∠ EDO \\BO = DO \\∠ BOF = ∠ DOE\end{cases}$
∴ $ △ BOF ≌ △ DOE $（ASA）；
(2) ∵ $ △ BOF ≌ △ DOE $，
∴ $ OE = OF $，
又∵ $ BO = DO $，
∴ 四边形EBFD是平行四边形，
∵ $ EF ⊥ BD $，
∴ 平行四边形EBFD是菱形。