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17. （★★★）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中两个重要的思想方法. 先阅读以下材料，然后解答后面的问题.
例：求代数式 $ \sqrt{x^{2}+3^{2}}+\sqrt{(12-x)^{2}+2^{2}} $的最小值.
分析： $ \sqrt{x^{2}+3^{2}} $和 $ \sqrt{(1 2-x)^{2}+2^{2}} $是勾股定理的形式， $ \sqrt{x^{2}+3^{2}} $是直角边长分别是x和3的直角三角形的斜边长， $ \sqrt{(1 2-x)^{2}+2^{2}} $是直角边长分别是12-x和2的直角三角形的斜边长，因此，我们构造两个直角 $ △ A B C $和 $ △ D E F $，并使直角边BC和EF在同一直线上（图 $ \textcircled{1} $），向右平移直角 $ △ A B C $，使点B和E重合（图 $ \textcircled{2} $），这时 $ C F=x+1 2-x=1 2 $ $ A C=3 $ $ D F=2 $ ，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据“两点之间，线段最短”，得到线段AD就是它们的最小值.
【模型应用】
(1) 代数式 $ \sqrt{x^{2}+3^{2}}+\sqrt{(1 2-x)^{2}+2^{2}} $的最小值为_______;
(2) 变式训练：利用图 $ \textcircled{3} $ ，求代数式 $ \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(5-x)^{2}+1} $的最小值.
“数形结合”和“建模思想”是数学中两个重要的思想方法. 先阅读以下材料，然后解答后面的问题.
例：求代数式 $ \sqrt{x^{2}+3^{2}}+\sqrt{(12-x)^{2}+2^{2}} $的最小值.
分析： $ \sqrt{x^{2}+3^{2}} $和 $ \sqrt{(1 2-x)^{2}+2^{2}} $是勾股定理的形式， $ \sqrt{x^{2}+3^{2}} $是直角边长分别是x和3的直角三角形的斜边长， $ \sqrt{(1 2-x)^{2}+2^{2}} $是直角边长分别是12-x和2的直角三角形的斜边长，因此，我们构造两个直角 $ △ A B C $和 $ △ D E F $，并使直角边BC和EF在同一直线上（图 $ \textcircled{1} $），向右平移直角 $ △ A B C $，使点B和E重合（图 $ \textcircled{2} $），这时 $ C F=x+1 2-x=1 2 $ $ A C=3 $ $ D F=2 $ ，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据“两点之间，线段最短”，得到线段AD就是它们的最小值.
【模型应用】
(1) 代数式 $ \sqrt{x^{2}+3^{2}}+\sqrt{(1 2-x)^{2}+2^{2}} $的最小值为_______;
(2) 变式训练：利用图 $ \textcircled{3} $ ，求代数式 $ \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(5-x)^{2}+1} $的最小值.
答案
17. (1)$13$
(2)设$CF=5$,$BC=x$,点A在CF的上方,且$AC⊥ CF$,$AC=2$,点D在CF的下方,且$DF⊥ CF$,$DF=1$,在CF上任意取一点B,连接AB,DB.过点D作$DH⊥ AC$,交AC的延长线于点H,连接AD,如图，
则$AH=2 + 1=3$,$DH=CF=5$.
$\therefore$ 代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(5-x)^2+1}$表示$AB+BD$.
$\because$ $AB+BD$的最小值为AD的长,
$\therefore$ 代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(5-x)^2+1}$的最小值为AD的长.
$\because$ $AD=\sqrt{AH^2+DH^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$,
$\therefore$ 代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(5-x)^2+1}$的最小值为$\sqrt{34}$.
