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11. 计算：
(1) $(-a^{2})^{3} · (-a^{4})^{2} ÷ (a^{2})^{5}$；
(2) $3m^{2} - 2n^{2} + 2(m^{2} - n^{2})$；
(3) $(-2)^{0} - (-\dfrac{1}{2})^{-2}$；
(4) $2x - y - (x + 5y)$；
(5) $2023^{2} - 23^{2}$。
(1) $(-a^{2})^{3} · (-a^{4})^{2} ÷ (a^{2})^{5}$；
(2) $3m^{2} - 2n^{2} + 2(m^{2} - n^{2})$；
(3) $(-2)^{0} - (-\dfrac{1}{2})^{-2}$；
(4) $2x - y - (x + 5y)$；
(5) $2023^{2} - 23^{2}$。
答案
11. (1) $-a^4$ (2) $5m^2 - 4n^2$ (3) $-3$ (4) $x - 6y$ (5) $4\ 092\ 000$
解析
【分析】
这5道题均为代数基础运算题，解题思路如下：
(1) 幂的混合运算：先按幂的乘方法则计算各乘方项，注意符号判断，再按同底数幂的乘、除法则依次计算；
(2) 整式加减：先去括号，再识别并合并同类项即可；
(3) 特殊指数幂运算：牢记非零数的0次幂为1，负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数，代入计算后做减法；
(4) 整式加减：先去括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号），再合并同类项；
(5) 有理数简便运算：观察到算式是两个数的平方差形式，直接用平方差公式拆分计算，避免大数乘方的繁琐运算。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：
$(-a^{2})^{3} = -a^{2×3}=-a^6$，$(-a^{4})^{2}=a^{4×2}=a^8$，$(a^{2})^{5}=a^{2×5}=a^{10}$
代入原式得：
$-a^6 · a^8 ÷ a^{10} = -a^{6+8} ÷ a^{10} = -a^{14} ÷ a^{10} = -a^{14-10}=-a^4$
(2) 去括号后合并同类项：
原式$=3m^2 - 2n^2 + 2m^2 - 2n^2 = (3m^2+2m^2)+(-2n^2-2n^2)=5m^2 -4n^2$
(3) 按特殊指数幂规则计算：
$(-2)^0=1$，$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=(-2)^2=4$
原式$=1 -4 = -3$
(4) 去括号后合并同类项：
原式$=2x - y -x -5y = (2x -x)+(-y -5y)=x -6y$
(5) 利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$计算：
原式$=(2023 -23)×(2023 +23)=2000×2046=4092000$
【答案】
(1) $-a^4$；(2) $5m^2 - 4n^2$；(3) $-3$；(4) $x - 6y$；(5) $4\ 092\ 000$
【知识点】
幂的运算法则、整式的加减、平方差公式
【点评】
本组题目是代数运算的基础题型，核心考察运算规则的掌握程度，解题时要格外注意符号判断，巧用运算公式可以大幅简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这5道题均为代数基础运算题，解题思路如下：
(1) 幂的混合运算：先按幂的乘方法则计算各乘方项，注意符号判断，再按同底数幂的乘、除法则依次计算；
(2) 整式加减：先去括号，再识别并合并同类项即可；
(3) 特殊指数幂运算：牢记非零数的0次幂为1，负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数，代入计算后做减法；
(4) 整式加减：先去括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号），再合并同类项；
(5) 有理数简便运算：观察到算式是两个数的平方差形式，直接用平方差公式拆分计算，避免大数乘方的繁琐运算。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：
$(-a^{2})^{3} = -a^{2×3}=-a^6$，$(-a^{4})^{2}=a^{4×2}=a^8$，$(a^{2})^{5}=a^{2×5}=a^{10}$
代入原式得：
$-a^6 · a^8 ÷ a^{10} = -a^{6+8} ÷ a^{10} = -a^{14} ÷ a^{10} = -a^{14-10}=-a^4$
(2) 去括号后合并同类项：
原式$=3m^2 - 2n^2 + 2m^2 - 2n^2 = (3m^2+2m^2)+(-2n^2-2n^2)=5m^2 -4n^2$
(3) 按特殊指数幂规则计算：
$(-2)^0=1$，$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=(-2)^2=4$
原式$=1 -4 = -3$
(4) 去括号后合并同类项：
原式$=2x - y -x -5y = (2x -x)+(-y -5y)=x -6y$
(5) 利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$计算：
原式$=(2023 -23)×(2023 +23)=2000×2046=4092000$
【答案】
(1) $-a^4$；(2) $5m^2 - 4n^2$；(3) $-3$；(4) $x - 6y$；(5) $4\ 092\ 000$
【知识点】
幂的运算法则、整式的加减、平方差公式
【点评】
本组题目是代数运算的基础题型，核心考察运算规则的掌握程度，解题时要格外注意符号判断，巧用运算公式可以大幅简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
12. 已知 $2x + 4y - 5 = 0$，求 $9^x · 81^y$ 的值.
答案
12. 243
解析
【分析】
解题时先观察所求式子的底数特征，9和81都可转化为以3为底的幂，因此先利用幂的乘方法则把原式转化为同底数幂相乘的形式，再根据同底数幂的乘法法则合并，此时合并后的指数正好对应已知等式中的2x+4y。接下来从已知等式求出2x+4y的值，整体代入合并后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：先将所求式子转化为以3为底的幂：
$9^x·81^y=(3^2)^x·(3^4)^y$
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(3^2)^x·(3^4)^y=3^{2x}·3^{4y}$
再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得：
$3^{2x}·3^{4y}=3^{2x+4y}$
由已知$2x+4y-5=0$，移项得$2x+4y=5$，代入上式：
$3^{2x+4y}=3^5=243$
【答案】
243
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算性质的典型应用考题，解题的核心是把不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件用整体代入的方法计算，考查学生对幂运算性质的掌握程度和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求式子的底数特征，9和81都可转化为以3为底的幂，因此先利用幂的乘方法则把原式转化为同底数幂相乘的形式，再根据同底数幂的乘法法则合并，此时合并后的指数正好对应已知等式中的2x+4y。接下来从已知等式求出2x+4y的值，整体代入合并后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：先将所求式子转化为以3为底的幂：
$9^x·81^y=(3^2)^x·(3^4)^y$
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(3^2)^x·(3^4)^y=3^{2x}·3^{4y}$
再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得：
$3^{2x}·3^{4y}=3^{2x+4y}$
由已知$2x+4y-5=0$，移项得$2x+4y=5$，代入上式：
$3^{2x+4y}=3^5=243$
【答案】
243
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算性质的典型应用考题，解题的核心是把不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件用整体代入的方法计算，考查学生对幂运算性质的掌握程度和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.8
13. 先化简，再求值：$[(a - \dfrac{1}{2})^2 - (a + \dfrac{1}{2})^2](a + 3)$，其中 $a = -2$。
答案
13. $-2a^2 - 6a$，4
解析
【分析】
解题时先观察式子结构，中括号内是两个完全平方的差，我们可以先利用完全平方公式分别展开两个平方项，去括号后合并同类项得到中括号的化简结果，再将其与后面的$(a+3)$相乘得到最简整式，最后将$a=-2$代入最简整式计算即可得到最终数值。
【解析】
解：先化简式子：
$\begin{aligned}&[(a - \frac{1}{2})^2 - (a + \frac{1}{2})^2](a + 3)\\=&[(a^2 - a + \frac{1}{4}) - (a^2 + a + \frac{1}{4})](a + 3)\\=&(a^2 - a + \frac{1}{4} - a^2 - a - \frac{1}{4})(a + 3)\\=&(-2a)(a + 3)\\=&-2a^2 - 6a\end{aligned}$
再代入$a=-2$求值：
当$a=-2$时，
$\begin{aligned}原式&=-2×(-2)^2 -6×(-2)\\&=-2×4 +12\\&=-8 +12\\&=4\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$-2a^2 -6a$，值为4
【知识点】
完全平方公式，整式化简求值，合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，解题时可先观察式子特征选择简便运算方法，计算过程中需注意去括号的符号变化，代入数值运算时要遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解题时先观察式子结构，中括号内是两个完全平方的差，我们可以先利用完全平方公式分别展开两个平方项，去括号后合并同类项得到中括号的化简结果，再将其与后面的$(a+3)$相乘得到最简整式，最后将$a=-2$代入最简整式计算即可得到最终数值。
【解析】
解：先化简式子：
$\begin{aligned}&[(a - \frac{1}{2})^2 - (a + \frac{1}{2})^2](a + 3)\\=&[(a^2 - a + \frac{1}{4}) - (a^2 + a + \frac{1}{4})](a + 3)\\=&(a^2 - a + \frac{1}{4} - a^2 - a - \frac{1}{4})(a + 3)\\=&(-2a)(a + 3)\\=&-2a^2 - 6a\end{aligned}$
再代入$a=-2$求值：
当$a=-2$时，
$\begin{aligned}原式&=-2×(-2)^2 -6×(-2)\\&=-2×4 +12\\&=-8 +12\\&=4\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$-2a^2 -6a$，值为4
【知识点】
完全平方公式，整式化简求值，合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，解题时可先观察式子特征选择简便运算方法，计算过程中需注意去括号的符号变化，代入数值运算时要遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
14. 把$x^2+ax+b$分解因式时，甲看错了$a$，分解的结果是$(x+6)(x-1)$，乙看错了$b$，分解的结果是$(x-2)(x+1)$. 请求出把$x^2+ax+b$分解因式的正确结果.
答案
14. $(x+2)(x-3)$
解析
【分析】
解题的核心是利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系：甲看错了a的值，说明他分解得到的结果展开后，常数项b是正确的（因为a仅影响一次项系数，不影响常数项）；乙看错了b的值，说明他分解得到的结果展开后，一次项系数a是正确的（因为b仅影响常数项，不影响一次项）。我们先分别展开两人的分解结果，提取出正确的a、b值，再对正确的二次三项式因式分解即可。
【解析】
第一步：求正确的b值
展开甲的分解结果：$(x+6)(x-1)=x^2 -x +6x -6 =x^2 +5x -6$
因为甲仅看错a，所以常数项b是正确的，即$b=-6$。
第二步：求正确的a值
展开乙的分解结果：$(x-2)(x+1)=x^2 +x -2x -2 =x^2 -x -2$
因为乙仅看错b，所以一次项系数a是正确的，即$a=-1$。
第三步：分解正确的二次三项式
正确的多项式为$x^2 -x -6$，寻找两个数，乘积为-6，和为-1，可得这两个数是2和-3，因此：
$x^2 -x -6=(x+2)(x-3)$
【答案】
$(x+2)(x-3)$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 十字相乘法分解因式
【点评】
本题解题关键是明确“看错某一项时，另一项的计算结果是正确的”，需要熟练掌握多项式乘法运算和因式分解的方法，审题时要注意区分两人看错的参数，避免混淆a、b的正确值。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系：甲看错了a的值，说明他分解得到的结果展开后，常数项b是正确的（因为a仅影响一次项系数，不影响常数项）；乙看错了b的值，说明他分解得到的结果展开后，一次项系数a是正确的（因为b仅影响常数项，不影响一次项）。我们先分别展开两人的分解结果，提取出正确的a、b值，再对正确的二次三项式因式分解即可。
【解析】
第一步：求正确的b值
展开甲的分解结果：$(x+6)(x-1)=x^2 -x +6x -6 =x^2 +5x -6$
因为甲仅看错a，所以常数项b是正确的，即$b=-6$。
第二步：求正确的a值
展开乙的分解结果：$(x-2)(x+1)=x^2 +x -2x -2 =x^2 -x -2$
因为乙仅看错b，所以一次项系数a是正确的，即$a=-1$。
第三步：分解正确的二次三项式
正确的多项式为$x^2 -x -6$，寻找两个数，乘积为-6，和为-1，可得这两个数是2和-3，因此：
$x^2 -x -6=(x+2)(x-3)$
【答案】
$(x+2)(x-3)$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 十字相乘法分解因式
【点评】
本题解题关键是明确“看错某一项时，另一项的计算结果是正确的”，需要熟练掌握多项式乘法运算和因式分解的方法，审题时要注意区分两人看错的参数，避免混淆a、b的正确值。
【难度系数】
0.7
