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3. 某商品的销售价格$y$（元）与销售量$x$（千克）之间有如下关系：
请你根据表中所提供的信息，写出销售价格$y$与销售量$x$之间的函数表达式，并求出销售量为3.5千克时的销售价格。
$y$
请你根据表中所提供的信息，写出销售价格$y$与销售量$x$之间的函数表达式，并求出销售量为3.5千克时的销售价格。
$y$
答案
函数表达式为$\boldsymbol{y=4.2x(x≥0)}$，销售量为3.5千克时的销售价格为14.7元。
解析
我们先观察表格中销售量x和销售价格y的对应数值规律：
1. 当x=1时，$y=4+0.2=4×1 + 0.2×1=(4+0.2)×1=4.2×1$
2. 当x=2时，$y=8+0.4=4×2 + 0.2×2=(4+0.2)×2=4.2×2$
3. 当x=3时，$y=12+0.6=4×3 + 0.2×3=(4+0.2)×3=4.2×3$
4. 当x=4时，$y=16+0.8=4×4 + 0.2×4=(4+0.2)×4=4.2×4$
由此可归纳得到y与x的函数表达式为$y=4.2x$（$x≥0$）。
将$x=3.5$代入上述函数表达式，计算得$y=4.2×3.5=14.7$。
1. 当x=1时，$y=4+0.2=4×1 + 0.2×1=(4+0.2)×1=4.2×1$
2. 当x=2时，$y=8+0.4=4×2 + 0.2×2=(4+0.2)×2=4.2×2$
3. 当x=3时，$y=12+0.6=4×3 + 0.2×3=(4+0.2)×3=4.2×3$
4. 当x=4时，$y=16+0.8=4×4 + 0.2×4=(4+0.2)×4=4.2×4$
由此可归纳得到y与x的函数表达式为$y=4.2x$（$x≥0$）。
将$x=3.5$代入上述函数表达式，计算得$y=4.2×3.5=14.7$。
4. 如图,已知直线$ l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x $,过点$ A(0,1) $作$ y $轴的垂线,交直线$ l $于点$ B $,过点$ B $作直线$ l $的垂线,交$ y $轴于点$ A_1 $;过点$ A_1 $作$ y $轴的垂线,交直线$ l $于点$ B_1 $,过点$ B_1 $作直线$ l $的垂线,交$ y $轴于点$ A_2 ······ $按此作法继续下去,则点$ A_{2020} $的坐标为________.
答案
$(0,4^{2020})$
解析
我们按步骤推导规律：
1. 分析直线$l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$的性质：其斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可知直线$l$与$x$轴夹角为$30°$。
2. 求初始点坐标：已知$A(0,1)$，过$A$作$y$轴垂线（即直线$y=1$）交$l$于$B$，将$y=1$代入$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，得$x=\sqrt{3}$，即$B(\sqrt{3},1)$。由勾股定理得$OB=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$。
3. 计算$A_1$坐标：在$Rt△ OBA_1$中，$∠ OBA_1=90°$，$∠ A_1OB=90°-30°=60°$，可得$OA_1=\frac{OB}{\cos60°}=4$，即$A_1(0,4)$。
4. 递推找规律：同理可得$OA_2=16=4^2$，$OA_3=64=4^3$，归纳得$OA_n=4^n$，点$A_n$始终在$y$轴上，横坐标为0。
5. 代入$n=2020$，得$A_{2020}$的纵坐标为$4^{2020}$。
1. 分析直线$l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$的性质：其斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可知直线$l$与$x$轴夹角为$30°$。
2. 求初始点坐标：已知$A(0,1)$，过$A$作$y$轴垂线（即直线$y=1$）交$l$于$B$，将$y=1$代入$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，得$x=\sqrt{3}$，即$B(\sqrt{3},1)$。由勾股定理得$OB=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$。
3. 计算$A_1$坐标：在$Rt△ OBA_1$中，$∠ OBA_1=90°$，$∠ A_1OB=90°-30°=60°$，可得$OA_1=\frac{OB}{\cos60°}=4$，即$A_1(0,4)$。
4. 递推找规律：同理可得$OA_2=16=4^2$，$OA_3=64=4^3$，归纳得$OA_n=4^n$，点$A_n$始终在$y$轴上，横坐标为0。
5. 代入$n=2020$，得$A_{2020}$的纵坐标为$4^{2020}$。
5. 为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:若课桌的高度为$ h $厘米,椅子的高度（不含靠背）为$ x $厘米,则$ h $应是$ x $的一次函数.表中列出了两套符合要求的课桌椅高度.
(1) 试确定$ h $关于$ x $的函数表达式（不要求写出$ x $的取值范围）.
(2) 现有一把高34.0厘米的椅子和一张高68.3厘米的课桌,它们是否配套？请通过计算说明理由.
(1) 试确定$ h $关于$ x $的函数表达式（不要求写出$ x $的取值范围）.
(2) 现有一把高34.0厘米的椅子和一张高68.3厘米的课桌,它们是否配套？请通过计算说明理由.
答案
(1) $h=\frac{5}{3}x+\frac{25}{3}$；(2) 不配套，理由如上。
解析
(1) 已知h是x的一次函数，设函数表达式为$h = kx + b$（$k≠0$）。
将表格中两组对应值$\begin{cases}x=37.0, h=70.0\\x=40.0, h=75.0\end{cases}$代入表达式，得到方程组：
$\begin{cases}37k + b = 70 \\40k + b = 75 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=5$，解得$k=\frac{5}{3}$。
将$k=\frac{5}{3}$代入$37k + b =70$，计算得$b=70 - 37×\frac{5}{3}=\frac{25}{3}$。
因此h关于x的函数表达式为$h=\frac{5}{3}x+\frac{25}{3}$。
(2) 将椅子高度$x=34.0$代入上述函数表达式，计算对应课桌的配套高度：
$h=\frac{5}{3}×34.0+\frac{25}{3}=65.0$厘米。
因为$65.0≠68.3$，所以该椅子和课桌不配套。
将表格中两组对应值$\begin{cases}x=37.0, h=70.0\\x=40.0, h=75.0\end{cases}$代入表达式，得到方程组：
$\begin{cases}37k + b = 70 \\40k + b = 75 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=5$，解得$k=\frac{5}{3}$。
将$k=\frac{5}{3}$代入$37k + b =70$，计算得$b=70 - 37×\frac{5}{3}=\frac{25}{3}$。
因此h关于x的函数表达式为$h=\frac{5}{3}x+\frac{25}{3}$。
(2) 将椅子高度$x=34.0$代入上述函数表达式，计算对应课桌的配套高度：
$h=\frac{5}{3}×34.0+\frac{25}{3}=65.0$厘米。
因为$65.0≠68.3$，所以该椅子和课桌不配套。
1. 直线$y=kx-1$与$x$轴交于点$(-1,0)$,则当$y＜0$时,$x$的取值范围是（）.
A.$x＞-1$
B.$x＜0$
C.$x＜-1$
D.$x＞0$
A.$x＞-1$
B.$x＜0$
C.$x＜-1$
D.$x＞0$
答案
A
解析
1. 将点(-1,0)代入直线解析式y=kx-1，得0 = -k -1，解得k=-1。
2. 得到直线解析式为y=-x-1，令y＜0，列不等式：-x -1 ＜ 0，解得x ＞ -1。
2. 得到直线解析式为y=-x-1，令y＜0，列不等式：-x -1 ＜ 0，解得x ＞ -1。
2. 对于一次函数$y=-3x+2$，当自变量$x$增加1时，函数值y（）.
A.增加1
B.减少1
C.增加3
D.减少3
A.增加1
B.减少1
C.增加3
D.减少3
答案
D
解析
设变化前自变量为$x$，对应函数值为$y=-3x+2$。当自变量$x$增加1后，新自变量为$x+1$，代入函数得新函数值$y'=-3(x+1)+2=-3x-3+2=(-3x+2)-3=y-3$，因此函数值$y$减少3。
