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3. 从A市到B市的高速公路全长145km,汽车以80km/h的平均速度从A市开往B市,设汽车距B市的路程为y（km）,行驶的时间为x（h）.求：
（1）y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）当$x=0.5$时,函数y的值.
（1）y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）当$x=0.5$时,函数y的值.
答案
（1）y关于x的函数表达式为$y=145-80x$，自变量x的取值范围是$0≤ x≤\frac{29}{16}$；（2）当$x=0.5$时，y的值为105km。
解析
（1）已知汽车行驶的速度为80km/h，行驶时间为x h，则x小时行驶的路程为80x km。汽车距B市的路程等于A、B两市高速全长减去已行驶的路程，因此可得函数表达式：
$y=145-80x$
结合实际意义，行驶时间不能为负，即$x≥0$；同时汽车距B市的路程也不能为负，即$y≥0$：
$145-80x≥0$
解得$x≤\frac{29}{16}$，因此自变量x的取值范围是$0≤ x≤\frac{29}{16}$。
（2）将$x=0.5$代入$y=145-80x$，计算得：
$y=145-80×0.5=145-40=105$
$y=145-80x$
结合实际意义，行驶时间不能为负，即$x≥0$；同时汽车距B市的路程也不能为负，即$y≥0$：
$145-80x≥0$
解得$x≤\frac{29}{16}$，因此自变量x的取值范围是$0≤ x≤\frac{29}{16}$。
（2）将$x=0.5$代入$y=145-80x$，计算得：
$y=145-80×0.5=145-40=105$
4. 某军舰为按计划准点到达距离480海里的指定海域巡逻，凌晨1:00出发，匀速航行一段时间后，因机械故障停止前进，故障排除后便加快速度匀速前进，结果恰好准点到达. 军舰航行的路程$y$（海里）与所用时间$t$（时）的函数关系图象如图，则军舰到达指定海域的时间是几时？
答案
7时
解析
1. 从函数图象提取信息：
0~1时，军舰1小时航行了80海里，初始航行速度为 $ v_1 = \frac{80}{1} = 80 $ 海里/时；
1~2时，路程y保持80海里不变，说明军舰因故障停留了1小时，没有前进。
2. 计算故障排除后的航行速度：
t=2时已航行路程为80海里，t=3时已航行路程为180海里，因此故障排除后的速度为：
$ v_2 = \frac{180 - 80}{3 - 2} = 100 $ 海里/时。
3. 计算剩余路程的航行时间：
总路程为480海里，故障排除时已航行80海里，剩余路程为 $ 480 - 80 = 400 $ 海里，
行驶剩余路程所需时间为 $ \frac{400}{100} = 4 $ 小时。
4. 计算全程总用时并推算到达时间：
全程总用时 = 故障前航行时间 + 故障停留时间 + 剩余路程航行时间 = 1+1+4=6小时，
军舰凌晨1:00出发，经过6小时后，到达时间为1+6=7时。
0~1时，军舰1小时航行了80海里，初始航行速度为 $ v_1 = \frac{80}{1} = 80 $ 海里/时；
1~2时，路程y保持80海里不变，说明军舰因故障停留了1小时，没有前进。
2. 计算故障排除后的航行速度：
t=2时已航行路程为80海里，t=3时已航行路程为180海里，因此故障排除后的速度为：
$ v_2 = \frac{180 - 80}{3 - 2} = 100 $ 海里/时。
3. 计算剩余路程的航行时间：
总路程为480海里，故障排除时已航行80海里，剩余路程为 $ 480 - 80 = 400 $ 海里，
行驶剩余路程所需时间为 $ \frac{400}{100} = 4 $ 小时。
4. 计算全程总用时并推算到达时间：
全程总用时 = 故障前航行时间 + 故障停留时间 + 剩余路程航行时间 = 1+1+4=6小时，
军舰凌晨1:00出发，经过6小时后，到达时间为1+6=7时。
5. 数学家欧拉最先用记号$f(x)$来表示关于$x$的多项式. 例如$f(x)=x^2+3x-5$,把$x=$某数时,多项式的值用$f($某数$)$来表示. 例如$x=-1$时,多项式$x^2+3x-5$的值记为$f(-1)=(-1)^2+3×(-1)-5=-7$.
(1) 已知$g(x)=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{3}{2}x+1$,求$g(-1)$.
(2) 已知$h(x)=\dfrac{2x+n}{3}-x+n$,且$h(0)=1$,求$n$的值.
(1) 已知$g(x)=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{3}{2}x+1$,求$g(-1)$.
(2) 已知$h(x)=\dfrac{2x+n}{3}-x+n$,且$h(0)=1$,求$n$的值.
答案
(1) $g(-1)=\dfrac{11}{6}$；(2) $n=\dfrac{3}{4}$
解析
(1) 根据题中给出的函数记号定义，将$x=-1$代入多项式$g(x)=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{3}{2}x+1$计算：
$\begin{aligned}g(-1)&=-\dfrac{2}{3}×(-1)^2-\dfrac{3}{2}×(-1)+1\\&=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}+1\\&=-\dfrac{4}{6}+\dfrac{9}{6}+\dfrac{6}{6}\\&=\dfrac{11}{6}\end{aligned}$
(2) 将$x=0$代入$h(x)=\dfrac{2x+n}{3}-x+n$，结合$h(0)=1$得到关于$n$的一元一次方程：
$\begin{aligned}\dfrac{2×0 +n}{3}-0+n&=1\\\dfrac{n}{3}+n&=1\\\dfrac{4n}{3}&=1\\n&=\dfrac{3}{4}\end{aligned}$
$\begin{aligned}g(-1)&=-\dfrac{2}{3}×(-1)^2-\dfrac{3}{2}×(-1)+1\\&=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}+1\\&=-\dfrac{4}{6}+\dfrac{9}{6}+\dfrac{6}{6}\\&=\dfrac{11}{6}\end{aligned}$
(2) 将$x=0$代入$h(x)=\dfrac{2x+n}{3}-x+n$，结合$h(0)=1$得到关于$n$的一元一次方程：
$\begin{aligned}\dfrac{2×0 +n}{3}-0+n&=1\\\dfrac{n}{3}+n&=1\\\dfrac{4n}{3}&=1\\n&=\dfrac{3}{4}\end{aligned}$
1. 某一次函数的图象经过点$(1,2)$,且函数$y$的值随自变量的增大而减小.请写出一个满足上述条件的函数表达式:$\underline{\hspace{10cm}}$.
答案
$y=-x+3$（答案不唯一）
解析
设该一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
由函数$y$的值随自变量的增大而减小，可得$k＜0$。
任选一个小于0的$k$值，例如取$k=-1$，将点$(1,2)$代入解析式得：$2 = -1×1 + b$，解得$b=3$，此时得到的函数表达式满足所有条件，本题答案不唯一，只要满足$k＜0$且图象过点$(1,2)$即可。
由函数$y$的值随自变量的增大而减小，可得$k＜0$。
任选一个小于0的$k$值，例如取$k=-1$，将点$(1,2)$代入解析式得：$2 = -1×1 + b$，解得$b=3$，此时得到的函数表达式满足所有条件，本题答案不唯一，只要满足$k＜0$且图象过点$(1,2)$即可。
2. 已知$y-1$与$x+1$成正比例，且当$x=1$时，$y=-1$。
（1）求$y$关于$x$的函数表达式。
（2）若$-4＜y≤8$，求$x$的取值范围。
（1）求$y$关于$x$的函数表达式。
（2）若$-4＜y≤8$，求$x$的取值范围。
答案
（1）$y=-x$；（2）$-8 ≤ x ＜4$
解析
（1）根据正比例的定义，由$y-1$与$x+1$成正比例，设关系式为$y-1 = k(x+1)$（$k≠0$）。
将$x=1$，$y=-1$代入所设关系式：
$-1 - 1 = k(1+1)$
计算得$-2=2k$，解得$k=-1$。
把$k=-1$代回原式整理：
$y-1 = -(x+1)$，化简得$y=-x$。
（2）将$y=-x$代入不等式$-4＜y≤8$，可得：
$-4 ＜ -x ≤8$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得到$4 ＞ x ≥ -8$，即$x$的取值范围是$-8 ≤ x ＜4$。
将$x=1$，$y=-1$代入所设关系式：
$-1 - 1 = k(1+1)$
计算得$-2=2k$，解得$k=-1$。
把$k=-1$代回原式整理：
$y-1 = -(x+1)$，化简得$y=-x$。
（2）将$y=-x$代入不等式$-4＜y≤8$，可得：
$-4 ＜ -x ≤8$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得到$4 ＞ x ≥ -8$，即$x$的取值范围是$-8 ≤ x ＜4$。
