4. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，画出正方形ABCD绕点D按顺时针方向旋转$90°$后的图形（正方形$A'B'C'D$），并写出点$A'$，$B'$，$C'$的坐标。

点$A'$的坐标为$(3,2)$，点$B'$的坐标为$(4,0)$，点$C'$的坐标为$(2,-1)$，按作图步骤即可得到旋转后的正方形$A'B'C'D$。

1. 旋转作图步骤：
① 连接DA、DB、DC，根据顺时针旋转90°的性质，分别作出线段DA、DB、DC绕点D顺时针旋转90°后的对应线段DA'、DB'、DC'；
② 依次连接点A'、B'、C'、D，得到的四边形A'B'C'D即为所求的旋转后的正方形。
2. 坐标推导：
已知旋转中心$D(1,1)$，对于任意点$P(x,y)$，向量$\overrightarrow{DP}=(x-1, y-1)$，将该向量顺时针旋转$90°$后得到的新向量为$(y-1, -(x-1))$，因此旋转后点$P'$的坐标满足：
$x' = 1 + (y-1) = y$，$y' = 1 + [-(x-1)] = 2 - x$
分别代入三点坐标计算：
代入$A(0,3)$，得$x'=3$，$y'=2-0=2$，即$A'(3,2)$
代入$B(2,4)$，得$x'=4$，$y'=2-2=0$，即$B'(4,0)$
代入$C(3,2)$，得$x'=2$，$y'=2-3=-1$，即$C'(2,-1)$

5. 数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.下面我们来研究用“以数思形,以形助数”的方法解决代数问题.
（1）探究:求不等式$|x - 1| ＜ 2$的解集.
$|x - 1|$的几何意义:在数轴上,表示数$x$的点与表示数1的点之间的距离.由此请你在数轴上直接表示出$|x - 1| ＜ 2$的解集,并写出这个解集.
（2）探究$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$的几何意义.
构造如图所示几何图形,由此可知$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$的几何意义:$\underline{\hspace{5cm}}$.
（3）拓展应用.
①$\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 1)^2} + \sqrt{(x + 1)^2 + (y + 5)^2}$的几何意义可以理解为:点$A(x, y)$与点$E(2, -1)$的距离加上点$A(x, y)$与点$F$$\underline{\hspace{2cm}}$（填坐标）的距离;
②$\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 1)^2} + \sqrt{(x + 1)^2 + (y + 5)^2}$的最小值为$\underline{\hspace{2cm}}$.（直接写结果）

(1) 解集为$\boldsymbol{-1＜x＜3}$
(2) 平面直角坐标系中点$A(x,y)$与点$B(a,b)$之间的距离
(3) ① $\boldsymbol{(-1,-5)}$；② $\boldsymbol{5}$

(1) 根据$|x-1|$的几何意义：数轴上表示数$x$的点到表示数1的点的距离，距离小于2说明对应点落在$1-2=-1$和$1+2=3$两个点之间，在数轴上-1、3位置取空心点，两点之间的区域即为解集，可得解集为$-1＜x＜3$。
(2) 由题图可知，平面直角坐标系中点$A(x,y)$和点$B(a,b)$的水平距离为$|a-x|$，竖直距离为$|b-y|$，结合勾股定理可得两点间线段长度为$\sqrt{(a-x)^2+(b-y)^2}=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$，因此该式的几何意义是平面直角坐标系中，点$A(x,y)$与点$B(a,b)$之间的距离。
(3) ① 对照两点距离的代数形式，将$\sqrt{(x+1)^2+(y+5)^2}$改写为$\sqrt{[x-(-1)]^2+[y-(-5)]^2}$，可得对应点$F$的坐标为$(-1,-5)$。
② 根据两点之间线段最短，点$A(x,y)$到点$E$、点$F$的距离之和的最小值就是线段$EF$的长度，代入坐标计算得$EF=\sqrt{(2+1)^2+(-1+5)^2}=\sqrt{9+16}=5$，即原式最小值为5。

1. 三种表示函数的方法是：、、.

列表法；解析式法；图象法

本题考查八年级函数相关的基础知识点，函数的三种常用表示方法都可以清晰体现自变量和对应函数值之间的对应关系，分别为列表法、解析式法、图象法。

2. 球的体积公式：$V=\dfrac{4}{3}π R^3$，其中$R$表示球的半径，$V$表示球的体积，$π$是圆周率，则$R,V,π$三个量中，变量是________，常量是________。

$R、V$；$π$

根据常量与变量的定义：在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值始终保持不变的量叫做常量。在球的体积公式$V=\dfrac{4}{3}π R^3$中，半径$R$可以取不同的数值，体积$V$会随着$R$的变化而变化，二者都是变化的量；而圆周率$π$是固定的常数，数值不会发生改变，属于常量。