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7. [2025·合肥庐江期中]如图,在$□ ABCD$中,E,F 是直线 AC 上两点,且$AE=CF$.求证:$DF=BE$.
答案
证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD,
∴∠ACD=∠CAB. 在△CFD 和△AEB 中
∵$\begin{cases}CD=AB,\\∠FCD=∠EAB,\\CF=AE,\end{cases}$
∴△CFD≌△AEB(SAS),
∴DF=BE.(亦可证△ADF≌△CBE,得 DF=BE)
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD,
∴∠ACD=∠CAB. 在△CFD 和△AEB 中
∵$\begin{cases}CD=AB,\\∠FCD=∠EAB,\\CF=AE,\end{cases}$
∴△CFD≌△AEB(SAS),
∴DF=BE.(亦可证△ADF≌△CBE,得 DF=BE)
解析
【分析】
要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合已知的平行四边形条件，利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得AB与CD相等，且AB//CD，进而推出内错角∠ACD=∠CAB，再得到它们的补角∠FCD=∠EAB；结合题目给出的AE=CF的条件，即可用SAS判定△CFD和△AEB全等，最后根据全等三角形对应边相等得到DF=BE的结论，也可选择证明△ADF≌△CBE得到结果。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∴∠FCD=∠EAB（等角的补角相等）。
在△CFD和△AEB中：
$\begin{cases}CD=AB,\\∠FCD=∠EAB,\\CF=AE,\end{cases}$
∴△CFD≌△AEB(SAS)，
∴DF=BE。
（也可通过证明△ADF≌△CBE，得出DF=BE）
【答案】
证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD,
∴∠ACD=∠CAB。
在△CFD 和△AEB 中
∵$\begin{cases}CD=AB,\\∠FCD=∠EAB,\\CF=AE,\end{cases}$
∴△CFD≌△AEB(SAS),
∴DF=BE。
(亦可证△ADF≌△CBE,得 DF=BE)
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查平行四边形性质和全等三角形判定、性质的综合运用，解题的关键是利用平行四边形的性质得到全等三角形所需的边、角相等的条件，掌握基础定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合已知的平行四边形条件，利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得AB与CD相等，且AB//CD，进而推出内错角∠ACD=∠CAB，再得到它们的补角∠FCD=∠EAB；结合题目给出的AE=CF的条件，即可用SAS判定△CFD和△AEB全等，最后根据全等三角形对应边相等得到DF=BE的结论，也可选择证明△ADF≌△CBE得到结果。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∴∠FCD=∠EAB（等角的补角相等）。
在△CFD和△AEB中：
$\begin{cases}CD=AB,\\∠FCD=∠EAB,\\CF=AE,\end{cases}$
∴△CFD≌△AEB(SAS)，
∴DF=BE。
（也可通过证明△ADF≌△CBE，得出DF=BE）
【答案】
证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD,
∴∠ACD=∠CAB。
在△CFD 和△AEB 中
∵$\begin{cases}CD=AB,\\∠FCD=∠EAB,\\CF=AE,\end{cases}$
∴△CFD≌△AEB(SAS),
∴DF=BE。
(亦可证△ADF≌△CBE,得 DF=BE)
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查平行四边形性质和全等三角形判定、性质的综合运用，解题的关键是利用平行四边形的性质得到全等三角形所需的边、角相等的条件，掌握基础定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
8. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AC ⊥ AB$，$AB=2\sqrt{5}$，且 $OA:OB=2:3$.
(1) 求 $AC$ 的长；
(2) 求 $□ ABCD$ 的面积.
(1) 求 $AC$ 的长；
(2) 求 $□ ABCD$ 的面积.
答案
(1)
∵$□ ABCD$ 的对角线 AC,BD 相交于点 O,
∴OA=$\frac{1}{2}$AC,OB=$\frac{1}{2}$BD. 由 OA : OB = 2 : 3,可设 OA = 2x,OB=3x.
∵AC⊥AB,
∴∠BAO=90°,
∴AB²+OA²=OB²,
∴$(2\sqrt{5})^2+(2x)^2=(3x)^2$,解得 x=2(负值已舍去),
∴OA=2x=4,
∴AC=2OA=8.
(2)
∵AC⊥AB,AC=8,AB=$2\sqrt{5}$,
∴$S_{□ABCD}=AB·AC=2\sqrt{5}×8=16\sqrt{5}$.
∵$□ ABCD$ 的对角线 AC,BD 相交于点 O,
∴OA=$\frac{1}{2}$AC,OB=$\frac{1}{2}$BD. 由 OA : OB = 2 : 3,可设 OA = 2x,OB=3x.
∵AC⊥AB,
∴∠BAO=90°,
∴AB²+OA²=OB²,
∴$(2\sqrt{5})^2+(2x)^2=(3x)^2$,解得 x=2(负值已舍去),
∴OA=2x=4,
∴AC=2OA=8.
(2)
∵AC⊥AB,AC=8,AB=$2\sqrt{5}$,
∴$S_{□ABCD}=AB·AC=2\sqrt{5}×8=16\sqrt{5}$.
解析
【分析】
第(1)问求解AC的长：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，可知OA是AC的一半，结合OA:OB=2:3设OA=2x、OB=3x；再由AC⊥AB可得△OAB是直角三角形，根据勾股定理列方程求解x的值，即可算出OA的长度，进而得到AC的长。第(2)问求解平行四边形的面积：因为AC⊥AB，所以AB为底时AC就是对应的高，直接利用平行四边形面积=底×高的公式代入数值计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD。
由OA:OB=2:3，设OA=2x，OB=3x。
∵AC⊥AB，
∴∠BAO=90°，即△BAO是直角三角形，
根据勾股定理得：$AB^2+OA^2=OB^2$，
代入AB=$2\sqrt{5}$得：$(2\sqrt{5})^2+(2x)^2=(3x)^2$，
化简得：$20+4x^2=9x^2$，解得$x^2=4$，
∵x为线段长度，取正值，
∴x=2，
∴OA=2x=4，
∴AC=2OA=8。
(2)
∵AC⊥AB，即平行四边形ABCD中，底边AB上的高等于AC的长度，
∴$S_{□ABCD}=AB·AC=2\sqrt{5}×8=16\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AC=8}$；(2) $\boldsymbol{16\sqrt{5}}$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，平行四边形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，将平行四边形的性质与勾股定理结合考查，解题的突破口是利用对角线互相平分的性质设未知数，结合直角三角形的勾股定理列方程求解线段长度，再直接套用面积公式计算即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
第(1)问求解AC的长：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，可知OA是AC的一半，结合OA:OB=2:3设OA=2x、OB=3x；再由AC⊥AB可得△OAB是直角三角形，根据勾股定理列方程求解x的值，即可算出OA的长度，进而得到AC的长。第(2)问求解平行四边形的面积：因为AC⊥AB，所以AB为底时AC就是对应的高，直接利用平行四边形面积=底×高的公式代入数值计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD。
由OA:OB=2:3，设OA=2x，OB=3x。
∵AC⊥AB，
∴∠BAO=90°，即△BAO是直角三角形，
根据勾股定理得：$AB^2+OA^2=OB^2$，
代入AB=$2\sqrt{5}$得：$(2\sqrt{5})^2+(2x)^2=(3x)^2$，
化简得：$20+4x^2=9x^2$，解得$x^2=4$，
∵x为线段长度，取正值，
∴x=2，
∴OA=2x=4，
∴AC=2OA=8。
(2)
∵AC⊥AB，即平行四边形ABCD中，底边AB上的高等于AC的长度，
∴$S_{□ABCD}=AB·AC=2\sqrt{5}×8=16\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AC=8}$；(2) $\boldsymbol{16\sqrt{5}}$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，平行四边形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，将平行四边形的性质与勾股定理结合考查，解题的突破口是利用对角线互相平分的性质设未知数，结合直角三角形的勾股定理列方程求解线段长度，再直接套用面积公式计算即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$□ ABCD$中,$BE$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$,$CF$平分$∠ BCD$交$AD$于点$F$,$BC=8$,$EF=2$,则$AB$的长为 （
A.$5$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
A
）A.$5$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
答案
A
解析
【分析】
首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得AD//BC、AD=BC、AB=CD；再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，可推得△ABE和△DCF都是等腰三角形，即AB=AE、CD=DF，也就得到AE=DF=AB；最后根据线段的和差关系，AE与DF的和等于AD加重叠的EF的长度，代入数值即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8，AB=CD，
∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理，CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠DFC，
∴CD=DF，
又
∵AB=CD，
∴AE=DF=AB，
∵AE + DF = AF + EF + ED + EF = AD + EF，
代入AD=8，EF=2得：
AB + AB = 8 + 2，
即2AB=10，解得AB=5。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形与等腰三角形的综合基础题，解题的关键是掌握“平行线+角平分线可得等腰三角形”这一常见结论，再结合线段的和差关系建立等式求解即可。
【难度系数】
0.7
首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得AD//BC、AD=BC、AB=CD；再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，可推得△ABE和△DCF都是等腰三角形，即AB=AE、CD=DF，也就得到AE=DF=AB；最后根据线段的和差关系，AE与DF的和等于AD加重叠的EF的长度，代入数值即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8，AB=CD，
∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理，CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠DFC，
∴CD=DF，
又
∵AB=CD，
∴AE=DF=AB，
∵AE + DF = AF + EF + ED + EF = AD + EF，
代入AD=8，EF=2得：
AB + AB = 8 + 2，
即2AB=10，解得AB=5。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形与等腰三角形的综合基础题，解题的关键是掌握“平行线+角平分线可得等腰三角形”这一常见结论，再结合线段的和差关系建立等式求解即可。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $E$。若 $AB=5\ \mathrm{cm}$，$△ ABE$ 的周长比 $△ BEC$ 的周长小 $3\ \mathrm{cm}$，则 $AD$ 的长度为（
A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$2\ \mathrm{cm}$
A
）A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$2\ \mathrm{cm}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：①对角线互相平分，②对边相等。先分别写出△ABE和△BEC的周长表达式，结合对角线互相平分的性质可知AE=EC，且BE是两个三角形的公共边，因此两个三角形的周长差实际就是BC与AB的长度差，求出BC的长度后，再根据平行四边形对边相等即可得到AD的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AE=CE（平行四边形对角线互相平分），AD=BC（平行四边形对边相等）
△ABE的周长=AB+BE+AE，△BEC的周长=BC+BE+CE
由题意得：△BEC的周长 - △ABE的周长=3cm
即$(BC+BE+CE)-(AB+BE+AE)=3\mathrm{cm}$
∵CE=AE，BE为公共边
∴化简得$BC - AB=3\mathrm{cm}$
已知$AB=5\mathrm{cm}$，代入得$BC=5+3=8\mathrm{cm}$
又
∵AD=BC
∴$AD=8\mathrm{cm}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用考题，解题的核心是通过对角线互相平分的性质消去两个三角形周长的公共部分，快速得到边长差，是平行四边形章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的性质：①对角线互相平分，②对边相等。先分别写出△ABE和△BEC的周长表达式，结合对角线互相平分的性质可知AE=EC，且BE是两个三角形的公共边，因此两个三角形的周长差实际就是BC与AB的长度差，求出BC的长度后，再根据平行四边形对边相等即可得到AD的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AE=CE（平行四边形对角线互相平分），AD=BC（平行四边形对边相等）
△ABE的周长=AB+BE+AE，△BEC的周长=BC+BE+CE
由题意得：△BEC的周长 - △ABE的周长=3cm
即$(BC+BE+CE)-(AB+BE+AE)=3\mathrm{cm}$
∵CE=AE，BE为公共边
∴化简得$BC - AB=3\mathrm{cm}$
已知$AB=5\mathrm{cm}$，代入得$BC=5+3=8\mathrm{cm}$
又
∵AD=BC
∴$AD=8\mathrm{cm}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用考题，解题的核心是通过对角线互相平分的性质消去两个三角形周长的公共部分，快速得到边长差，是平行四边形章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
11. 如图，在$□ ABCD$中，$AE ⊥ BC$，垂足为点$E$，$AB=5$，$AE=4$，$BC=8$. 有下列结论：①$DE=4\sqrt{5}$；②$S_{△ AED}=\dfrac{1}{2}S_{□ ABCD}$；③$DE$平分$∠ ADC$；④$∠ AED=∠ ADC$.
其中正确结论的序号是________.
其中正确结论的序号是________.
答案
①②③
解析
【分析】
我们逐个验证4个结论即可解题：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合AE⊥BC推导得AE⊥AD，先用勾股定理计算DE长度验证①；再分别计算△AED和平行四边形ABCD的面积，验证②；接着通过平行线性质、等腰三角形的性质推导角的等量关系，判断DE是否平分∠ADC验证③；最后对比两个角的大小关系验证④。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC=8，AD//BC，AB=CD=5，∠ADC=∠B
1. 验证①：
∵AE⊥BC，AD//BC，
∴AE⊥AD，即∠EAD=90°
在Rt△AED中，AE=4，AD=8，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，故①正确。
2. 验证②：
$S_{△ AED}=\frac{1}{2}×AD×AE=\frac{1}{2}×8×4=16$
$S_{□ABCD}=BC×AE=8×4=32$
∴$S_{△ AED}=\frac{1}{2}S_{□ABCD}$，故②正确。
3. 验证③：
在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
∴$EC=BC-BE=8-3=5$
∵CD=5，
∴EC=CD，
∴∠CDE=∠CED
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CED
∴∠ADE=∠CDE，即DE平分∠ADC，故③正确。
4. 验证④：
在Rt△AED中，$\tan∠AED=\frac{AD}{AE}=\frac{8}{4}=2$
在Rt△ABE中，$\tan∠B=\frac{AE}{BE}=\frac{4}{3}$，而∠ADC=∠B
∴$\tan∠AED≠\tan∠ADC$，即∠AED≠∠ADC，故④错误。
【答案】
①②③
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，需要结合图形性质转化边和角的关系，逐个分析结论，解题时注意细心计算、推导即可。
【难度系数】
0.7
我们逐个验证4个结论即可解题：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合AE⊥BC推导得AE⊥AD，先用勾股定理计算DE长度验证①；再分别计算△AED和平行四边形ABCD的面积，验证②；接着通过平行线性质、等腰三角形的性质推导角的等量关系，判断DE是否平分∠ADC验证③；最后对比两个角的大小关系验证④。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC=8，AD//BC，AB=CD=5，∠ADC=∠B
1. 验证①：
∵AE⊥BC，AD//BC，
∴AE⊥AD，即∠EAD=90°
在Rt△AED中，AE=4，AD=8，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，故①正确。
2. 验证②：
$S_{△ AED}=\frac{1}{2}×AD×AE=\frac{1}{2}×8×4=16$
$S_{□ABCD}=BC×AE=8×4=32$
∴$S_{△ AED}=\frac{1}{2}S_{□ABCD}$，故②正确。
3. 验证③：
在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
∴$EC=BC-BE=8-3=5$
∵CD=5，
∴EC=CD，
∴∠CDE=∠CED
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CED
∴∠ADE=∠CDE，即DE平分∠ADC，故③正确。
4. 验证④：
在Rt△AED中，$\tan∠AED=\frac{AD}{AE}=\frac{8}{4}=2$
在Rt△ABE中，$\tan∠B=\frac{AE}{BE}=\frac{4}{3}$，而∠ADC=∠B
∴$\tan∠AED≠\tan∠ADC$，即∠AED≠∠ADC，故④错误。
【答案】
①②③
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，需要结合图形性质转化边和角的关系，逐个分析结论，解题时注意细心计算、推导即可。
【难度系数】
0.7
