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12. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ BCD$的平分线与$BA$的延长线交于点$E$,$CE$交$AD$于点$F$.
(1)求证:$AE=AF$;
(2)若$BH⊥ CE$于点$H$,$∠ D=50°$,求$∠ CBH$的度数.
(1)求证:$AE=AF$;
(2)若$BH⊥ CE$于点$H$,$∠ D=50°$,求$∠ CBH$的度数.
答案
(1)证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB//DC,AD//BC,
∴∠E=∠DCE,∠AFE=∠BCE.又
∵CE 平分∠BCD,
∴∠BCE=∠DCE,
∴∠AFE=∠E,
∴AE=AF.
(2)
∵∠D=50°,AD//BC,
∴∠BCD=130°,
∴∠BCE=∠DCE=65°.
∵BH⊥CE,
∴∠CBH+∠BCE=90°,
∴∠CBH=25°.(亦可由(1)∠BCE=∠DCE=∠E,得 BE=BC,又
∵BH⊥CE,
∴∠CBH=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠D=25°)
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB//DC,AD//BC,
∴∠E=∠DCE,∠AFE=∠BCE.又
∵CE 平分∠BCD,
∴∠BCE=∠DCE,
∴∠AFE=∠E,
∴AE=AF.
(2)
∵∠D=50°,AD//BC,
∴∠BCD=130°,
∴∠BCE=∠DCE=65°.
∵BH⊥CE,
∴∠CBH+∠BCE=90°,
∴∠CBH=25°.(亦可由(1)∠BCE=∠DCE=∠E,得 BE=BC,又
∵BH⊥CE,
∴∠CBH=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠D=25°)
解析
【分析】
(1) 要证明AE=AF，可利用“等角对等边”推导：先结合平行四边形对边平行的性质，得到∠E与∠DCE相等、∠AFE与∠BCE相等，再结合CE是∠BCD的角平分线，可推导出∠E=∠AFE，即可得到结论。
(2) 求∠CBH的度数时，先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠BCD的度数，再结合角平分线的定义得到∠BCE的度数，最后根据BH⊥CE，利用直角三角形两锐角互余即可算出结果；也可先判定△BEC为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质求解。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AD//BC，
∴∠E=∠DCE，∠AFE=∠BCE。
又
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠AFE=∠E，
∴AE=AF。
(2) 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=50°，AD//BC，
∴∠BCD + ∠D = 180°，即∠BCD=180°-50°=130°。
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE=½∠BCD=65°。
∵BH⊥CE，
∴∠CBH + ∠BCE = 90°，
∴∠CBH=90°-65°=25°。
【答案】
(1) AE=AF，证明成立；
(2) $\boldsymbol{25°}$
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形的基础综合题，核心考查平行四边形的边角性质、角平分线的性质以及角度推导的相关应用，解题关键是熟练掌握各类几何性质，准确完成角度的转换推导。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AE=AF，可利用“等角对等边”推导：先结合平行四边形对边平行的性质，得到∠E与∠DCE相等、∠AFE与∠BCE相等，再结合CE是∠BCD的角平分线，可推导出∠E=∠AFE，即可得到结论。
(2) 求∠CBH的度数时，先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠BCD的度数，再结合角平分线的定义得到∠BCE的度数，最后根据BH⊥CE，利用直角三角形两锐角互余即可算出结果；也可先判定△BEC为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质求解。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AD//BC，
∴∠E=∠DCE，∠AFE=∠BCE。
又
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠AFE=∠E，
∴AE=AF。
(2) 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=50°，AD//BC，
∴∠BCD + ∠D = 180°，即∠BCD=180°-50°=130°。
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE=½∠BCD=65°。
∵BH⊥CE，
∴∠CBH + ∠BCE = 90°，
∴∠CBH=90°-65°=25°。
【答案】
(1) AE=AF，证明成立；
(2) $\boldsymbol{25°}$
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形的基础综合题，核心考查平行四边形的边角性质、角平分线的性质以及角度推导的相关应用，解题关键是熟练掌握各类几何性质，准确完成角度的转换推导。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,$AB=5$,$AD=3$,$E$是$AB$上一点,$F$是$AD$上一点,连接$EO$和$FO$.
(1)求线段$AO$的取值范围.
(2)当$EO⊥ FO$时,连接$EF$.求证:$BE+DF＞EF$.
(1)求线段$AO$的取值范围.
(2)当$EO⊥ FO$时,连接$EF$.求证:$BE+DF＞EF$.
答案
(1)$1＜AO＜4$.
(2)延长 FO 交 BC 于点 G,连接 EG.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OB=OD,BC//AD,
∴∠OBG=∠ODF,
∴△OBG≌△ODF(ASA),
∴BG=DF,OG=OF. 又
∵EO⊥OF,
∴EG=EF. 在△BEG 中,BE+BG＞EG,
∴BE+DF＞EF.
(2)延长 FO 交 BC 于点 G,连接 EG.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OB=OD,BC//AD,
∴∠OBG=∠ODF,
∴△OBG≌△ODF(ASA),
∴BG=DF,OG=OF. 又
∵EO⊥OF,
∴EG=EF. 在△BEG 中,BE+BG＞EG,
∴BE+DF＞EF.
解析
【分析】
(1) 求AO的取值范围时，先利用平行四边形对角线互相平分的性质，可知AO是AC的一半，因此只需先求AC的取值范围即可。结合平行四边形对边相等得到BC=AD=3，再在△ABC中利用三角形三边关系即可求出AC的范围，进而得到AO的范围。
(2) 要证明BE+DF＞EF，此类线段和的不等关系通常利用三角形三边关系证明，观察到三条线段位置分散，可通过构造全等转化线段：利用O是BD中点的特点，延长FO交BC于点G，先证△OBG≌△ODF，将DF转化为BG，再结合EO⊥FO得到EF=EG，此时三条线段集中在△BEG中，即可利用三边关系证明结论。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，$AO=\frac{1}{2}AC$，
在△ABC中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$AB-BC＜AC＜AB+BC$，
代入AB=5、BC=3得：$5-3＜AC＜5+3$，即$2＜AC＜8$，
∴$1＜\frac{1}{2}AC＜4$，即$1＜AO＜4$。
(2) 证明：延长FO交BC于点G，连接EG。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，$BC// AD$，
∴$∠ OBG=∠ ODF$，
在△OBG和△ODF中：
$\{\begin{array}{l}∠ OBG=∠ ODF \\OB=OD \\∠ BOG=∠ DOF\end{array} $
∴$△ OBG≌△ ODF(ASA)$，
∴BG=DF，OG=OF，
∵EO⊥FO，且OG=OF，
∴EO是线段FG的垂直平分线，
∴EG=EF，
在△BEG中，根据三角形三边关系得：$BE+BG＞EG$，
将BG替换为DF，EG替换为EF，可得：$BE+DF＞EF$。
【答案】
(1) $1＜AO＜4$
(2) 证明成立，过程如上。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形、三角形三边关系的相关知识，解题的核心是通过构造辅助线将分散的线段转化到同一个三角形中，对辅助线的构造能力有一定要求，是几何部分的典型综合题。
【难度系数】
0.6
(1) 求AO的取值范围时，先利用平行四边形对角线互相平分的性质，可知AO是AC的一半，因此只需先求AC的取值范围即可。结合平行四边形对边相等得到BC=AD=3，再在△ABC中利用三角形三边关系即可求出AC的范围，进而得到AO的范围。
(2) 要证明BE+DF＞EF，此类线段和的不等关系通常利用三角形三边关系证明，观察到三条线段位置分散，可通过构造全等转化线段：利用O是BD中点的特点，延长FO交BC于点G，先证△OBG≌△ODF，将DF转化为BG，再结合EO⊥FO得到EF=EG，此时三条线段集中在△BEG中，即可利用三边关系证明结论。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，$AO=\frac{1}{2}AC$，
在△ABC中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$AB-BC＜AC＜AB+BC$，
代入AB=5、BC=3得：$5-3＜AC＜5+3$，即$2＜AC＜8$，
∴$1＜\frac{1}{2}AC＜4$，即$1＜AO＜4$。
(2) 证明：延长FO交BC于点G，连接EG。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，$BC// AD$，
∴$∠ OBG=∠ ODF$，
在△OBG和△ODF中：
$\{\begin{array}{l}∠ OBG=∠ ODF \\OB=OD \\∠ BOG=∠ DOF\end{array} $
∴$△ OBG≌△ ODF(ASA)$，
∴BG=DF，OG=OF，
∵EO⊥FO，且OG=OF，
∴EO是线段FG的垂直平分线，
∴EG=EF，
在△BEG中，根据三角形三边关系得：$BE+BG＞EG$，
将BG替换为DF，EG替换为EF，可得：$BE+DF＞EF$。
【答案】
(1) $1＜AO＜4$
(2) 证明成立，过程如上。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形、三角形三边关系的相关知识，解题的核心是通过构造辅助线将分散的线段转化到同一个三角形中，对辅助线的构造能力有一定要求，是几何部分的典型综合题。
【难度系数】
0.6
