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1. 在四边形ABCD中，从∠A，∠B，∠C，∠D的度数中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（
A.$36°,72°,108°,144°$
B.$50°,80°,80°,150°$
C.$72°,72°,108°,108°$
D.$72°,108°,72°,108°$
D
）A.$36°,72°,108°,144°$
B.$50°,80°,80°,150°$
C.$72°,72°,108°,108°$
D.$72°,108°,72°,108°$
答案
1.D
解析
【分析】
要判定四边形是平行四边形，可依据平行四边形的角判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。解题时首先明确四边形的对角为∠A与∠C、∠B与∠D，只需验证各选项中是否满足∠A=∠C且∠B=∠D，即可选出正确答案。
【解析】
根据平行四边形的判定规则：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，即四边形ABCD中需满足∠A=∠C、∠B=∠D。
逐一分析选项：
A选项：∠A=36°≠∠C=108°，∠B=72°≠∠D=144°，不符合要求；
B选项：∠A=50°≠∠C=80°，∠B=80°≠∠D=150°，不符合要求；
C选项：∠A=72°≠∠C=108°，∠B=72°≠∠D=108°，是邻角相等而非对角相等，不符合要求；
D选项：∠A=72°=∠C=72°，∠B=108°=∠D=108°，满足两组对角分别相等，可判定为平行四边形。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；对角的概念
【点评】
本题是基础的平行四边形判定题，解题核心是牢记两组对角分别相等的四边形是平行四边形，要注意区分邻角和对角，避免混淆角的对应关系选错答案。
【难度系数】
0.8
要判定四边形是平行四边形，可依据平行四边形的角判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。解题时首先明确四边形的对角为∠A与∠C、∠B与∠D，只需验证各选项中是否满足∠A=∠C且∠B=∠D，即可选出正确答案。
【解析】
根据平行四边形的判定规则：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，即四边形ABCD中需满足∠A=∠C、∠B=∠D。
逐一分析选项：
A选项：∠A=36°≠∠C=108°，∠B=72°≠∠D=144°，不符合要求；
B选项：∠A=50°≠∠C=80°，∠B=80°≠∠D=150°，不符合要求；
C选项：∠A=72°≠∠C=108°，∠B=72°≠∠D=108°，是邻角相等而非对角相等，不符合要求；
D选项：∠A=72°=∠C=72°，∠B=108°=∠D=108°，满足两组对角分别相等，可判定为平行四边形。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；对角的概念
【点评】
本题是基础的平行四边形判定题，解题核心是牢记两组对角分别相等的四边形是平行四边形，要注意区分邻角和对角，避免混淆角的对应关系选错答案。
【难度系数】
0.8
2. 已知O为矩形ABCD对角线AC,BD的交点,若AC=6,则OD的长为 （
A.1
B.2
C.3
D.6
C
）A.1
B.2
C.3
D.6
答案
2.C
解析
【分析】
拿到这道题，首先看到题干提到矩形ABCD，我们首先回忆矩形对角线的性质：矩形的两条对角线相等，且对角线的交点是两条对角线的中点，也就是对角线互相平分。已知AC的长度，我们先利用对角线相等得到BD的长度，再结合O是BD中点，就可以算出OD的长度了。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即AC=BD，且O为BD的中点，
已知AC=6，
∴BD=AC=6，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3$。
故选：C。
【答案】C
【知识点】
矩形的性质；中点的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查矩形对角线的相关性质，掌握矩形对角线相等且互相平分的特点是解题的关键，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，首先看到题干提到矩形ABCD，我们首先回忆矩形对角线的性质：矩形的两条对角线相等，且对角线的交点是两条对角线的中点，也就是对角线互相平分。已知AC的长度，我们先利用对角线相等得到BD的长度，再结合O是BD中点，就可以算出OD的长度了。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即AC=BD，且O为BD的中点，
已知AC=6，
∴BD=AC=6，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3$。
故选：C。
【答案】C
【知识点】
矩形的性质；中点的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查矩形对角线的相关性质，掌握矩形对角线相等且互相平分的特点是解题的关键，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
3. 如图，P 是正方形 ABCD 内位于对角线 AC 下方的一点，$∠ 1=∠ 2$，则$∠ BPC$的度数为 （
A.$135°$
B.$130°$
C.$125°$
D.$120°$
A
）A.$135°$
B.$130°$
C.$125°$
D.$120°$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先结合正方形的性质，明确对角线AC将∠BCD分为两个45°的角，即∠2+∠PCB=45°；再利用已知∠1=∠2，通过等量代换得到∠1+∠PCB=45°；最后在△BPC中，利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线
∴∠ACB=45°，即$∠ 2 + ∠ PCB = 45°$
又
∵$∠ 1=∠ 2$
∴$∠ 1 + ∠ PCB = 45°$
在$△ BPC$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BPC = 180° - (∠ 1 + ∠ PCB) = 180° - 45° = 135°$
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，三角形内角和定理，等量代换
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是熟练掌握正方形对角线的特征，结合角的等量关系和三角形内角和定理进行推导，主要考查学生对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.75
解题时先结合正方形的性质，明确对角线AC将∠BCD分为两个45°的角，即∠2+∠PCB=45°；再利用已知∠1=∠2，通过等量代换得到∠1+∠PCB=45°；最后在△BPC中，利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线
∴∠ACB=45°，即$∠ 2 + ∠ PCB = 45°$
又
∵$∠ 1=∠ 2$
∴$∠ 1 + ∠ PCB = 45°$
在$△ BPC$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BPC = 180° - (∠ 1 + ∠ PCB) = 180° - 45° = 135°$
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，三角形内角和定理，等量代换
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是熟练掌握正方形对角线的特征，结合角的等量关系和三角形内角和定理进行推导，主要考查学生对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.75
4. 如图,在$□ ABCD$上,以点$A$为圆心,$AB$长为半径画弧,交$AD$于点$F$,分别以点$B,F$为圆心,大于$\dfrac{1}{2}BF$长为半径画弧,两弧交于点$P$,作射线$AP$,交$BC$于点$E$,连接$EF$.若$BF=12$,$AB=10$,则$AE$的长为________.
答案
4.16
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先识别尺规作图的结论：题中的作图是作∠BAD的角平分线，因此AE平分∠BAD，且由画弧规则得AF=AB；第二步结合平行四边形AD//BC的性质，推导得∠BAE=∠BEA，即AB=BE，进而得到AF平行且等于BE，判定四边形ABEF是平行四边形，再结合邻边AB=AF，判定ABEF是菱形；第三步利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将问题转化到直角三角形中，用勾股定理计算AE的一半长度，进而得到AE的总长。
【解析】
由尺规作图可知：AE平分∠BAD，且AF=AB=10。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA。
又
∵∠BAE=∠FAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=AB=10，
∴AF=BE且AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，又
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形。
∴AE与BF互相垂直平分，设AE、BF交于点O，则BO=½BF=½×12=6。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO=√(AB²-BO²)=√(10²-6²)=√64=8，
∴AE=2AO=2×8=16。
【答案】
16
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合了尺规作图识别、特殊四边形的性质与判定以及勾股定理的应用，解题的核心是准确判断出四边形ABEF为菱形，再利用菱形的性质转化为直角三角形求解，是四边形模块的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先识别尺规作图的结论：题中的作图是作∠BAD的角平分线，因此AE平分∠BAD，且由画弧规则得AF=AB；第二步结合平行四边形AD//BC的性质，推导得∠BAE=∠BEA，即AB=BE，进而得到AF平行且等于BE，判定四边形ABEF是平行四边形，再结合邻边AB=AF，判定ABEF是菱形；第三步利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将问题转化到直角三角形中，用勾股定理计算AE的一半长度，进而得到AE的总长。
【解析】
由尺规作图可知：AE平分∠BAD，且AF=AB=10。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA。
又
∵∠BAE=∠FAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=AB=10，
∴AF=BE且AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，又
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形。
∴AE与BF互相垂直平分，设AE、BF交于点O，则BO=½BF=½×12=6。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO=√(AB²-BO²)=√(10²-6²)=√64=8，
∴AE=2AO=2×8=16。
【答案】
16
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合了尺规作图识别、特殊四边形的性质与判定以及勾股定理的应用，解题的核心是准确判断出四边形ABEF为菱形，再利用菱形的性质转化为直角三角形求解，是四边形模块的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
5. [2025·湖南中考]图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，$∠ AMB=$
$45°$
.答案
5.$45°$
解析
【分析】
解题时首先明确正多边形的性质：各边相等，各内角相等。第一步先利用多边形内角和公式算出正八边形每个内角的度数；第二步结合正八边形边相等的性质，得到△ABC、△BCD均为等腰三角形，算出这两个等腰三角形的底角度数；最后利用三角形外角的性质即可求出∠AMB的度数。
【解析】
1. 计算正八边形的内角度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且$n$为整数），正八边形边数$n=8$，因此内角和为$(8-2)×180°=1080°$。
正八边形各内角相等，因此每个内角的度数为$1080°÷8=135°$，即$∠ ABC=∠ BCD=135°$。
2. 计算等腰三角形的底角度数：
正八边形各边相等，因此$AB=BC=CD$。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BCA=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$
同理，在$△ BCD$中，$BC=CD$，可得：
$∠ CBD=\frac{180°-∠ BCD}{2}=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$
3. 计算$∠ AMB$的度数：
$∠ AMB$是$△ MBC$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得：
$∠ AMB=∠ BCA+∠ CBD=22.5°+22.5°=45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
正多边形的性质；多边形内角和公式；等腰三角形的性质
【点评】
本题是正多边形性质与三角形相关定理的综合基础题，解题的核心是先求出正八边形的内角度数，再结合等腰三角形的性质推导相关小角的度数，熟练掌握基础公式和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正多边形的性质：各边相等，各内角相等。第一步先利用多边形内角和公式算出正八边形每个内角的度数；第二步结合正八边形边相等的性质，得到△ABC、△BCD均为等腰三角形，算出这两个等腰三角形的底角度数；最后利用三角形外角的性质即可求出∠AMB的度数。
【解析】
1. 计算正八边形的内角度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且$n$为整数），正八边形边数$n=8$，因此内角和为$(8-2)×180°=1080°$。
正八边形各内角相等，因此每个内角的度数为$1080°÷8=135°$，即$∠ ABC=∠ BCD=135°$。
2. 计算等腰三角形的底角度数：
正八边形各边相等，因此$AB=BC=CD$。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BCA=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$
同理，在$△ BCD$中，$BC=CD$，可得：
$∠ CBD=\frac{180°-∠ BCD}{2}=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$
3. 计算$∠ AMB$的度数：
$∠ AMB$是$△ MBC$的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得：
$∠ AMB=∠ BCA+∠ CBD=22.5°+22.5°=45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
正多边形的性质；多边形内角和公式；等腰三角形的性质
【点评】
本题是正多边形性质与三角形相关定理的综合基础题，解题的核心是先求出正八边形的内角度数，再结合等腰三角形的性质推导相关小角的度数，熟练掌握基础公式和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6. 如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是边 CD 的中点,过点 E 作 $ EF ⊥ BD $ 于点 F,$ EG ⊥ AC $ 于点 G.若 $ AC=12 $,$ BD=16 $,则 FG 的长为
5
.答案
6.5
