13. 如图1,在正方形ABCD中,E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于点G,连接DG.
(1)求∠EDG的度数.
(2)如图2,若E为BC的中点,连接BF.
①求证:BF//DE;
②若正方形的边长为6,求线段AG的长.

13.解:(1)
∵四边形 ABCD 是正方形,$∴DC=DA,∠A=∠C=∠ADC=90°$.由折叠可知$∠DFE=∠C,DC=DF,∠CDE=∠FDE,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),∴∠ADG=∠FDG$
$∴∠EDG=∠FDG+∠FDE=\dfrac{1}{2}∠ADF+\dfrac{1}{2}∠FDC=\dfrac{1}{2}∠ADC=45°$.
(2)①证明:由题意得$CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠EBF=∠EFB.∵∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠EBF+∠EFB,∴2∠DEC=2∠EBF$,即$∠DEC=∠EBF,∴BF// DE$.②设$AG=x$,则$GF=x,BG=6-x$.在$Rt△GBE$中,$BE=EF=\dfrac{1}{2}BC=3$,根据勾股定理得$(6-x)^2+3^2=(3+x)^2$,解得$x=2$,
∴线段 AG 的长为 2.

【分析】
(1) 求解∠EDG的度数时，先利用正方形的边、角特征，结合折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，证明Rt△DGA≌Rt△DGF，得到∠ADG=∠FDG，再结合折叠得到的∠CDE=∠FDE，可推出∠EDG等于∠ADC的一半，代入正方形内角90°即可得结果。
(2) ①证明BF//DE，可通过证同位角相等推导：由E为BC中点得CE=BE，结合折叠性质得CE=EF，故BE=EF，△BEF为等腰三角形，底角∠EBF=∠EFB，再结合三角形外角性质，可推得∠DEC=∠EBF，即可证平行。
②求AG的长时，采用方程思想，设AG=x，利用全等和折叠的性质将Rt△GBE的三边用含x的式子表示，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA，∠A=∠C=∠ADC=90°。
由折叠可知∠DFE=∠C，DC=DF，∠CDE=∠FDE，
∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF。
在Rt△DGA和Rt△DGF中，$\{\begin{array}{l}DA=DF\\ DG=DG\end{array} $，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL)，
∴∠ADG=∠FDG。
∴∠EDG=∠FDG+∠FDE=$\dfrac{1}{2}$∠ADF+$\dfrac{1}{2}$∠FDC=$\dfrac{1}{2}$∠ADC=$\dfrac{1}{2}×90°=45°$。
(2) ①证明：由折叠性质得CE=EF，∠DEF=∠DEC，
∵E为BC的中点，
∴CE=BE，
∴BE=EF，
∴∠EBF=∠EFB。
∵∠FEC是△BEF的外角，
∴∠FEC=∠EBF+∠EFB，
又
∵∠FEC=∠DEF+∠DEC=2∠DEC，
∴2∠DEC=2∠EBF，即∠DEC=∠EBF，
∴BF//DE（同位角相等，两直线平行）。
②解：设AG=x，由(1)中Rt△DGA≌Rt△DGF得GF=x，
∴BG=AB-AG=6-x。
∵E为BC中点，正方形边长为6，
∴BE=EF=$\dfrac{1}{2}$BC=3，
∴GE=EF+GF=3+x。
在Rt△GBE中，根据勾股定理得：$BG^2+BE^2=GE^2$，即$(6-x)^2+3^2=(3+x)^2$，
展开得$36-12x+x^2+9=9+6x+x^2$，整理得$18x=36$，解得$x=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$；(2) ①证明见上述解析；②$\boldsymbol{2}$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形相关的几何综合题，兼顾考察基础几何性质应用和逻辑推理能力，第二小问求线段长度用到的方程思想是几何计算类题型的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.65