12. [新课标·综合与实践题]【问题情境】
如图1,小美将矩形纸片ABCD折叠,使点B落在对角线BD上,点B的对应点记为B',折痕与边AD,BC分别交于点E,F.
【活动猜想】
(1)如图2,当点B'与点D重合时,连接BE,请判断四边形BEDF的形状并证明;
【问题解决】
(2)如图3,在矩形纸片ABCD中,若边$AB=8,BC=8\sqrt{3}$,AC与BD交于点O.请判断$A'B'$与对角线AC的位置关系,并说明理由.

12.解:(1)四边形 BEDF 是菱形.证明:由题易知$BE=DE,BF=DF,∠BEF=∠DEF,AD// BC,∴∠BFE=∠DEF,∴∠BFE=∠BEF,∴BE=BF,∴BE=DE=BF=DF,∴$四边形 BEDF 是菱形.
(2)$A'B'// AC$.理由:由题意知$OA=OC=OD,∠ABC=90°$.在$Rt△ABC$中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=16$,易得$△AOB$是等边三角形,$∴∠OBA=∠AOB=60°,∴∠CBO=90°-∠OBA=30°$.由折叠的性质得$∠A'B'F=∠ABF=90°,FB=FB',∴∠FB'B=∠CBO=30°,∴∠A'B'B=60°,∴∠AOB=∠A'B'B=60°$
$∴A'B'// AC$.

【分析】
(1) 判断四边形BEDF的形状可从边的关系入手：首先根据折叠的性质得到对应边、对应角相等，即$BE=DE,BF=DF,∠BEF=∠DEF$；再结合矩形对边平行的性质，通过内错角相等推导角的等量关系，得到邻边相等，最终根据四边相等的四边形是菱形完成判定。
(2) 判断$A'B'$与AC的位置关系可从角的数量关系入手：首先利用矩形的性质和勾股定理求出对角线AC的长度，结合矩形对角线互相平分且相等的性质，证明$△ AOB$是等边三角形，得到$∠ AOB=60°$；再根据折叠的性质推导$∠ A'B'B=60°$，利用同位角相等即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 四边形BEDF是菱形，证明如下：
由折叠的性质可得：$BE=DE$，$BF=DF$，$∠ BEF=∠ DEF$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ BFE=∠ DEF$，
∴$∠ BEF=∠ BFE$，
∴$BE=BF$，
∴$BE=DE=BF=DF$，
∴四边形BEDF是菱形。
(2) $A'B'// AC$，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ ABC=90°$，对角线互相平分且相等，即$OA=OB=OC=OD=\frac{1}{2}AC$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+(8\sqrt{3})^2}=\sqrt{64+192}=\sqrt{256}=16$，
∴$OA=OB=\frac{1}{2}×16=8$，
又
∵$AB=8$，
∴$OA=OB=AB$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$∠ OBA=∠ AOB=60°$，
∴$∠ CBO=∠ ABC-∠ OBA=90°-60°=30°$。
由折叠的性质可知：$∠ A'B'F=∠ ABF=90°$，$FB=FB'$，
∴$∠ FB'B=∠ CBO=30°$，
∴$∠ A'B'B=∠ A'B'F-∠ FB'B=90°-30°=60°$，
∴$∠ AOB=∠ A'B'B=60°$，
∴$A'B'// AC$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 四边形BEDF是菱形；
(2) $A'B'// AC$。
【知识点】
折叠的性质、菱形的判定、矩形的性质
【点评】
本题以矩形折叠的实践操作为背景，综合考查了几何图形的性质与判定，解题时需要准确抓住折叠前后的不变量，结合特殊四边形的性质逐步推导，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65