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7. 如图,四边形 ABCD 的对角线$AC⊥BD$于点 E,F 为四边形 ABCD 外一点,且$∠ACF=90°$,BC平分$∠DBF,∠CBF=∠BCD$.求证:四边形 DBFC 是菱形.
答案
7. 证明:$\because AC⊥ BD,∠ ACF=90°,\therefore ∠ DEC=∠ ACF=90°,\therefore BD// CF.\because ∠ CBF=∠ BCD,\therefore DC// BF,\therefore$ 四边形 DBFC 是平行四边形.$\because BC$ 平分$∠ DBF,\therefore ∠ DBC=∠ CBF=∠ BCD,\therefore DB=DC,\therefore$ 四边形 DBFC 是菱形.
解析
【分析】
要证明四边形DBFC是菱形，可按照“先证平行四边形，再证邻边相等”的思路推导：首先利用已知的垂直关系和角的等量关系，分别推出两组对边平行，判定四边形DBFC是平行四边形；再结合角平分线性质和角的等量代换，得到一组邻边相等，最终根据菱形的判定定理得证。
【解析】
证明：
$\because AC⊥ BD,∠ ACF=90°$，
$\therefore ∠ DEC=∠ ACF=90°$，
$\therefore BD// CF$。
$\because ∠ CBF=∠ BCD$，
$\therefore DC// BF$，
$\therefore$ 四边形DBFC是平行四边形。
$\because BC$平分$∠ DBF$，
$\therefore ∠ DBC=∠ CBF=∠ BCD$，
$\therefore DB=DC$，
$\therefore$ 平行四边形DBFC是菱形。
【答案】
证明:$\because AC⊥ BD,∠ ACF=90°,\therefore ∠ DEC=∠ ACF=90°,\therefore BD// CF.\because ∠ CBF=∠ BCD,\therefore DC// BF,\therefore$ 四边形 DBFC 是平行四边形.$\because BC$ 平分$∠ DBF,\therefore ∠ DBC=∠ CBF=∠ BCD,\therefore DB=DC,\therefore$ 四边形 DBFC 是菱形.
【知识点】
平行线的判定；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是四边形基础题型，解题关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判定定理，结合角的等量关系逐步推导，注意逻辑推导的连贯性和严谨性。
【难度系数】
0.7
要证明四边形DBFC是菱形，可按照“先证平行四边形，再证邻边相等”的思路推导：首先利用已知的垂直关系和角的等量关系，分别推出两组对边平行，判定四边形DBFC是平行四边形；再结合角平分线性质和角的等量代换，得到一组邻边相等，最终根据菱形的判定定理得证。
【解析】
证明：
$\because AC⊥ BD,∠ ACF=90°$，
$\therefore ∠ DEC=∠ ACF=90°$，
$\therefore BD// CF$。
$\because ∠ CBF=∠ BCD$，
$\therefore DC// BF$，
$\therefore$ 四边形DBFC是平行四边形。
$\because BC$平分$∠ DBF$，
$\therefore ∠ DBC=∠ CBF=∠ BCD$，
$\therefore DB=DC$，
$\therefore$ 平行四边形DBFC是菱形。
【答案】
证明:$\because AC⊥ BD,∠ ACF=90°,\therefore ∠ DEC=∠ ACF=90°,\therefore BD// CF.\because ∠ CBF=∠ BCD,\therefore DC// BF,\therefore$ 四边形 DBFC 是平行四边形.$\because BC$ 平分$∠ DBF,\therefore ∠ DBC=∠ CBF=∠ BCD,\therefore DB=DC,\therefore$ 四边形 DBFC 是菱形.
【知识点】
平行线的判定；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是四边形基础题型，解题关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判定定理，结合角的等量关系逐步推导，注意逻辑推导的连贯性和严谨性。
【难度系数】
0.7
8. 如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 （
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
8.A
解析
【分析】
解题时先回忆矩形的性质，矩形是中心对称图形，对角线的交点O就是它的对称中心，因此过O的直线与矩形对边相交形成的△AOE和△COF全等，面积相等。我们可以利用这个全等关系，将分散的阴影部分面积转化为规则图形的面积，也就是矩形面积的一半，不用分别求每个阴影部分的面积，就能快速计算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AD//BC，可得∠OAE=∠OCF，
又
∵∠AOE=∠COF（对顶角相等），
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
因此阴影部分的面积可转化为：$S_{阴影}=S_{△ COF}+S_{△ BOF}+S_{△ COD}=S_{△ BCD}$。
矩形ABCD的面积为$AB× BC=2×3=6$，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×6=3$，
即阴影部分面积为3。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；面积转化
【点评】
本题巧妙运用矩形的中心对称性和全等三角形的性质，将分散的阴影面积转化为规则的三角形面积求解，避免了复杂的分割计算，是求解这类阴影面积问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆矩形的性质，矩形是中心对称图形，对角线的交点O就是它的对称中心，因此过O的直线与矩形对边相交形成的△AOE和△COF全等，面积相等。我们可以利用这个全等关系，将分散的阴影部分面积转化为规则图形的面积，也就是矩形面积的一半，不用分别求每个阴影部分的面积，就能快速计算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AD//BC，可得∠OAE=∠OCF，
又
∵∠AOE=∠COF（对顶角相等），
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
因此阴影部分的面积可转化为：$S_{阴影}=S_{△ COF}+S_{△ BOF}+S_{△ COD}=S_{△ BCD}$。
矩形ABCD的面积为$AB× BC=2×3=6$，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}×6=3$，
即阴影部分面积为3。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；面积转化
【点评】
本题巧妙运用矩形的中心对称性和全等三角形的性质，将分散的阴影面积转化为规则的三角形面积求解，避免了复杂的分割计算，是求解这类阴影面积问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,点$D,E$分别在边$AB$和$BC$上,且$AD=4,CE=3$,连接$DE$,$M,N$分别是$AC,DE$的中点,连接$MN$,则$MN$的长度为 （
A.$\dfrac{5}{2}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$2$
D.$\dfrac{13}{5}$
A
）A.$\dfrac{5}{2}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$2$
D.$\dfrac{13}{5}$
答案
9.A
解析
【分析】
要求MN的长度，已知M、N分别是AC、DE的中点，我们可以通过构造三角形中位线，把已知的AD、CE长度和MN联系起来。首先取AE的中点P，分别连接PM、PN，利用三角形中位线定理得到PM、PN的长度，再根据AB⊥BC推出PM⊥PN，最后用勾股定理计算MN即可。
【解析】
解：取AE的中点P，连接PM、PN。
1. 因为P是AE中点，M是AC中点，所以PM是△AEC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$PM// CE$，且$PM=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
2. 同理，P是AE中点，N是DE中点，所以PN是△ADE的中位线，根据三角形中位线定理可得：$PN// AD$，且$PN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2$。
3. 因为$∠ B=90°$，所以$AB⊥ BC$，结合$PN// AB$、$PM// BC$，可得$PN⊥ PM$，即$∠ MPN=90°$。
4. 在$Rt△ PMN$中，由勾股定理得：
$MN=\sqrt{PM^2+PN^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题核心是通过构造中位线转化已知条件，解题关键是找到合适的中点构造出两条中位线，将未知线段和已知线段放到同一个直角三角形中求解，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要求MN的长度，已知M、N分别是AC、DE的中点，我们可以通过构造三角形中位线，把已知的AD、CE长度和MN联系起来。首先取AE的中点P，分别连接PM、PN，利用三角形中位线定理得到PM、PN的长度，再根据AB⊥BC推出PM⊥PN，最后用勾股定理计算MN即可。
【解析】
解：取AE的中点P，连接PM、PN。
1. 因为P是AE中点，M是AC中点，所以PM是△AEC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$PM// CE$，且$PM=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
2. 同理，P是AE中点，N是DE中点，所以PN是△ADE的中位线，根据三角形中位线定理可得：$PN// AD$，且$PN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2$。
3. 因为$∠ B=90°$，所以$AB⊥ BC$，结合$PN// AB$、$PM// BC$，可得$PN⊥ PM$，即$∠ MPN=90°$。
4. 在$Rt△ PMN$中，由勾股定理得：
$MN=\sqrt{PM^2+PN^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题核心是通过构造中位线转化已知条件，解题关键是找到合适的中点构造出两条中位线，将未知线段和已知线段放到同一个直角三角形中求解，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
10.如图,在矩形纸片ABCD中,$AB=2$,$AD=3$,E是AB的中点,F是AD边上的一个动点,将$△ AEF$沿EF所在直线翻折,得到$△ A'EF$,则$A'C$的最小值为
$\sqrt{10}-1$
.答案
10.$\sqrt{10}-1$
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到EA'的长度固定为1，由此可判断点A'的运动轨迹是以E为圆心、半径为1的圆。求A'C的最小值本质是求定点C到该圆上点的最短距离，根据几何规律，连接C与圆心E，线段EC的长度减去圆的半径就是A'C的最小值，最后用勾股定理计算EC的长度即可。
【解析】
1. 计算EA的长度：
∵ E是AB的中点，AB=2，
∴ $AE = EB = \frac{1}{2}AB = 1$。
2. 确定A'的轨迹：
由折叠的性质可知$△ AEF ≌ △ A'EF$，因此$EA' = EA = 1$，即点A'在以E为圆心，1为半径的圆上运动。
3. 计算EC的长度：
在矩形ABCD中，$BC = AD = 3$，$∠ B = 90°$，
在$Rt△ EBC$中，由勾股定理得：
$EC = \sqrt{EB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
4. 求A'C的最小值：
当E、A'、C三点共线，且A'位于E、C之间时，A'C长度最小，
此时$A'C = EC - EA' = \sqrt{10} - 1$。
【答案】
$\sqrt{10}-1$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是折叠背景下的几何最值题，解题核心是抓住折叠前后对应边长度不变的特点，确定动点的运动轨迹，再结合点到圆的最短距离规律求解，能有效考查对几何变换和最值问题的分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的性质得到EA'的长度固定为1，由此可判断点A'的运动轨迹是以E为圆心、半径为1的圆。求A'C的最小值本质是求定点C到该圆上点的最短距离，根据几何规律，连接C与圆心E，线段EC的长度减去圆的半径就是A'C的最小值，最后用勾股定理计算EC的长度即可。
【解析】
1. 计算EA的长度：
∵ E是AB的中点，AB=2，
∴ $AE = EB = \frac{1}{2}AB = 1$。
2. 确定A'的轨迹：
由折叠的性质可知$△ AEF ≌ △ A'EF$，因此$EA' = EA = 1$，即点A'在以E为圆心，1为半径的圆上运动。
3. 计算EC的长度：
在矩形ABCD中，$BC = AD = 3$，$∠ B = 90°$，
在$Rt△ EBC$中，由勾股定理得：
$EC = \sqrt{EB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
4. 求A'C的最小值：
当E、A'、C三点共线，且A'位于E、C之间时，A'C长度最小，
此时$A'C = EC - EA' = \sqrt{10} - 1$。
【答案】
$\sqrt{10}-1$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是折叠背景下的几何最值题，解题核心是抓住折叠前后对应边长度不变的特点，确定动点的运动轨迹，再结合点到圆的最短距离规律求解，能有效考查对几何变换和最值问题的分析能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在矩形ABCD中,点E在CB的延长线上,$CE=AC$,连接AE,F是AE的中点,连接BF,DF.求证:$BF⊥DF$.
答案
11. 证明:如图,延长 BF,交 DA 的延长线于点 M,连接 BD.易证$△ AFM≌△ EFB,\therefore AM=BE,FM=FB$.在矩形 ABCD 中,$AD=BC,AC=BD,\therefore BC+BE=AD+AM$,即 $CE=DM.\because CE=AC,\therefore DM=AC=BD$,即$△ BDM$ 是等腰三角形.$\because FM=FB,\therefore BF⊥ DF$.
解析
【分析】
要证明BF⊥DF，已知F是AE中点，可优先考虑利用等腰三角形“三线合一”的性质推导垂直，因此需要构造以F为中点的线段所在的等腰三角形。结合矩形AD//BC的平行性质，可延长BF交DA的延长线于点M，构造全等三角形转化边的长度，再结合已知CE=AC和矩形对角线相等的性质，推导得到等腰△BDM，最后利用三线合一即可证明结论。
【解析】
证明：如图，延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，AC=BD，
∴∠M=∠EBF，∠MAF=∠E。
∵F是AE的中点，
∴AF=EF。
在△AFM和△EFB中：
$\{\begin{array}{l}∠ M=∠ EBF\\ ∠ MAF=∠ E\\ AF=EF\end{array} $
∴△AFM≌△EFB（AAS），
∴AM=BE，FM=FB。
∴CE=BC+BE=AD+AM=DM，
又
∵CE=AC，AC=BD，
∴DM=BD，即△BDM为等腰三角形。
∵FM=FB，F是BM的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，DF⊥BF，即BF⊥DF。
【答案】
11. 证明:如图,延长 BF,交 DA 的延长线于点 M,连接 BD.易证$△ AFM≌△ EFB,\therefore AM=BE,FM=FB$.在矩形 ABCD 中,$AD=BC,AC=BD,\therefore BC+BE=AD+AM$,即 $CE=DM.\because CE=AC,\therefore DM=AC=BD$,即$△ BDM$ 是等腰三角形.$\because FM=FB,\therefore BF⊥ DF$.
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题是四边形的综合证明题，解题的关键是结合中点和平行线的特征构造全等三角形，将已知条件转化为等腰三角形的边相等关系，再利用等腰三角形的性质证明垂直，这类题需要熟练掌握常见的中点辅助线构造方法。
【难度系数】
0.6
要证明BF⊥DF，已知F是AE中点，可优先考虑利用等腰三角形“三线合一”的性质推导垂直，因此需要构造以F为中点的线段所在的等腰三角形。结合矩形AD//BC的平行性质，可延长BF交DA的延长线于点M，构造全等三角形转化边的长度，再结合已知CE=AC和矩形对角线相等的性质，推导得到等腰△BDM，最后利用三线合一即可证明结论。
【解析】
证明：如图，延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，AC=BD，
∴∠M=∠EBF，∠MAF=∠E。
∵F是AE的中点，
∴AF=EF。
在△AFM和△EFB中：
$\{\begin{array}{l}∠ M=∠ EBF\\ ∠ MAF=∠ E\\ AF=EF\end{array} $
∴△AFM≌△EFB（AAS），
∴AM=BE，FM=FB。
∴CE=BC+BE=AD+AM=DM，
又
∵CE=AC，AC=BD，
∴DM=BD，即△BDM为等腰三角形。
∵FM=FB，F是BM的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，DF⊥BF，即BF⊥DF。
【答案】
11. 证明:如图,延长 BF,交 DA 的延长线于点 M,连接 BD.易证$△ AFM≌△ EFB,\therefore AM=BE,FM=FB$.在矩形 ABCD 中,$AD=BC,AC=BD,\therefore BC+BE=AD+AM$,即 $CE=DM.\because CE=AC,\therefore DM=AC=BD$,即$△ BDM$ 是等腰三角形.$\because FM=FB,\therefore BF⊥ DF$.
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题是四边形的综合证明题，解题的关键是结合中点和平行线的特征构造全等三角形，将已知条件转化为等腰三角形的边相等关系，再利用等腰三角形的性质证明垂直，这类题需要熟练掌握常见的中点辅助线构造方法。
【难度系数】
0.6
