12. 如图,在四边形 ABFC 中,$CF // AB$,$∠ ACB = 90°$,$EF$ 垂直平分 $BC$,交 $BC$ 于点 $D$,交 $AB$ 于点 $E$.
(1)当$∠ A = 45°$时,求证:四边形 $BECF$ 是正方形;
(2)在(1)的条件下,若 $AC = 4$,求四边形 $ABFC$ 的面积.

12. 解:(1)证明:$\because EF$ 垂直平分 BC,$\therefore BF=FC,BE=EC,\therefore ∠ FCB=∠ FBC.\because CF// AB,\therefore ∠ FCB=∠ CBE$,$\therefore ∠ FBC=∠ CBE$.易证$△ FDB≌△ EDB,\therefore BF=BE,\therefore BE=EC=FC=BF,\therefore$ 四边形 BECF 是菱形.$\because ∠ ACB=90°,∠ A=45°,\therefore ∠ ABC=45°,\therefore ∠ FBE=2∠ ABC=90°,\therefore$ 四边形 BECF 是正方形.
(2)$\because AC=4,∠ A=45°,\therefore AE=CE=2\sqrt{2}$. 由(1)知四边形 BECF 是正方形,$\therefore CF=BE=CE=2\sqrt{2}$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABFC}=\dfrac{(2\sqrt{2}+4\sqrt{2})×2\sqrt{2}}{2}=12$.

【分析】
(1)要证明四边形BECF是正方形，可按照“先证菱形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先利用垂直平分线的性质得到边相等的关系，结合$CF// AB$的条件推导角相等，证明四边形BECF四条边相等，得到菱形；再结合$△ ACB$的角度条件，计算出菱形的一个内角为$90°$，即可判定为正方形。
(2)求四边形ABFC的面积，首先观察到$CF// AB$，可知ABFC是梯形，先在等腰$Rt△ ACB$中求出相关边长，再结合(1)中正方形的性质得到梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：
$\because EF$垂直平分$BC$，
$\therefore BF=FC,BE=EC$，$\therefore ∠ FCB=∠ FBC$。
$\because CF// AB$，$\therefore ∠ FCB=∠ CBE$，
$\therefore ∠ FBC=∠ CBE$。
在$△ FDB$和$△ EDB$中：
$\begin{cases}∠ FBD=∠ EBD\\BD=BD\\∠ FDB=∠ EDB=90°\end{cases}$，
$\therefore △ FDB≌△ EDB(\mathrm{ASA})$，$\therefore BF=BE$，
$\therefore BE=EC=FC=BF$，$\therefore$四边形$BECF$是菱形。
$\because ∠ ACB=90°,∠ A=45°$，
$\therefore ∠ ABC=90°-∠ A=45°$，
$\therefore ∠ FBE=∠ FBC+∠ CBE=2∠ ABC=90°$，
$\therefore$菱形$BECF$是正方形。
(2)解：
$\because ∠ ACB=90°,∠ A=45°,AC=4$，
$\therefore BC=AC=4$，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
$\because E$为$AB$中点，$\therefore CE=BE=AE=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$。
由(1)知四边形$BECF$是正方形，$\therefore CF=BE=2\sqrt{2}$，
$\because CF// AB$，$\therefore$四边形$ABFC$是梯形，高为$CE=2\sqrt{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABFC}=\frac{1}{2}×(CF+AB)× CE=\frac{1}{2}×(2\sqrt{2}+4\sqrt{2})×2\sqrt{2}=12$。
【答案】
(1)四边形$BECF$是正方形，证明成立；(2)四边形$ABFC$的面积为$\boxed{12}$
【知识点】
正方形的判定，梯形面积计算，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理清特殊四边形的判定逻辑，结合已知条件逐步推导边长和角度关系，是四边形章节的典型综合题，能有效考查对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.65

13. [新定义题]定义:若 $ P $ 为四边形 $ ABCD $ 内一点,且满足 $ ∠ APB + ∠ CPD = 180° $,则称 $ P $ 为四边形 $ ABCD $ 的一个“互补点”.
(1)如图 1,$ P $ 为四边形 $ ABCD $ 的一个“互补点”,若 $ ∠ APD = 63° $,求 $ ∠ BPC $ 的度数.
(2)如图 2,$ P $ 是菱形 $ ABCD $ 对角线上的任意一点.求证:$ P $ 为菱形 $ ABCD $ 的一个“互补点”.

13. 解:(1)$∠ BPC=117°$.
(2)证明略.

【分析】
（1）首先根据“互补点”的定义可得∠APB+∠CPD=180°，再结合周角为360°的性质，可推出∠APD与∠BPC的和也为180°，最后代入已知的∠APD的度数即可求出∠BPC的大小。
（2）要证明P是菱形的“互补点”，只需证明∠APB+∠CPD=180°即可。先利用菱形邻边相等、对角线平分内角的性质，证明△BCP和△DCP全等，得到∠CPB=∠CPD，再结合平角为180°的性质，等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
(1) 解：
∵P为四边形ABCD的一个“互补点”，
∴∠APB + ∠CPD = 180°，
又
∵∠APB + ∠BPC + ∠CPD + ∠APD = 360°（周角的定义），
∴∠BPC + ∠APD = 360° - (∠APB + ∠CPD) = 360° - 180° = 180°，
∵∠APD = 63°，
∴∠BPC = 180° - 63° = 117°。
(2) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC = DC，AC平分∠BCD，即∠BCP = ∠DCP，
在△BCP和△DCP中：
$\{\begin{array}{l}BC = DC \\∠BCP = ∠DCP \\CP = CP\end{array} $
∴△BCP ≌ △DCP（SAS），
∴∠CPB = ∠CPD，
∵P在对角线AC上，A、P、C三点共线，
∴∠APB + ∠CPB = 180°（平角的定义），
∴∠APB + ∠CPD = 180°，
即P为菱形ABCD的一个“互补点”。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BPC=117°}$；(2) 证明成立，P为菱形ABCD的一个“互补点”。
【知识点】
新定义理解、菱形的性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题结合新定义考查几何基础性质的应用，第一问难度较低，直接利用新定义和周角性质即可求解；第二问需要熟练掌握菱形的性质和全等三角形的证明方法，考查学生的逻辑推理能力和对新知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7