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一、选择题
1. [2025·郑州三模]某班同学为了解所住小区居民的用水情况,随机问卷调查了20户家庭的某月用水量,统计结果如表所示:
关于这20户家庭该月用水量的数据统计分析,下列说法正确的是 (
A.平均数是5吨
B.中位数是5吨
C.众数是5吨
D.方差是0
1. [2025·郑州三模]某班同学为了解所住小区居民的用水情况,随机问卷调查了20户家庭的某月用水量,统计结果如表所示:
关于这20户家庭该月用水量的数据统计分析,下列说法正确的是 (
C
)A.平均数是5吨
B.中位数是5吨
C.众数是5吨
D.方差是0
答案
1.C
解析
【分析】
要判断各选项的正误，需分别计算这组数据的平均数、中位数、众数，同时结合方差的意义分析即可。首先回忆各统计量的定义：平均数是所有数据的总和除以数据总个数；中位数是将数据从小到大排列后，中间位置的数（偶数个数据时取中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差为0时说明所有数据完全相同，没有波动。接下来依次计算各统计量验证选项即可。
【解析】
首先计算总户数：$4+6+8+2=20$（户），和题目给出的总户数一致。
1. 验证A选项：
加权平均数$\bar{x}=\frac{3×4 + 4×6 + 5×8 + 6×2}{20}=\frac{12+24+40+12}{20}=\frac{88}{20}=4.4$（吨），故A错误。
2. 验证B选项：
将20户的用水量从小到大排列，中位数为第10、11个数据的平均数。
前$4+6=10$个数据都是4吨，第11个数据是5吨，因此中位数为$\frac{4+5}{2}=4.5$（吨），故B错误。
3. 验证C选项：
用水量为5吨的户数最多，共8户，因此众数是5吨，故C正确。
4. 验证D选项：
方差反映一组数据的波动大小，只有所有数据完全相等时方差才为0，本组数据有3、4、5、6吨四种情况，存在波动，方差不为0，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
加权平均数；中位数；众数
【点评】
本题考查常见统计量的计算与判断，解题关键是熟练掌握各统计量的定义和计算方法，逐一排查选项即可得出正确结论。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的正误，需分别计算这组数据的平均数、中位数、众数，同时结合方差的意义分析即可。首先回忆各统计量的定义：平均数是所有数据的总和除以数据总个数；中位数是将数据从小到大排列后，中间位置的数（偶数个数据时取中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差为0时说明所有数据完全相同，没有波动。接下来依次计算各统计量验证选项即可。
【解析】
首先计算总户数：$4+6+8+2=20$（户），和题目给出的总户数一致。
1. 验证A选项：
加权平均数$\bar{x}=\frac{3×4 + 4×6 + 5×8 + 6×2}{20}=\frac{12+24+40+12}{20}=\frac{88}{20}=4.4$（吨），故A错误。
2. 验证B选项：
将20户的用水量从小到大排列，中位数为第10、11个数据的平均数。
前$4+6=10$个数据都是4吨，第11个数据是5吨，因此中位数为$\frac{4+5}{2}=4.5$（吨），故B错误。
3. 验证C选项：
用水量为5吨的户数最多，共8户，因此众数是5吨，故C正确。
4. 验证D选项：
方差反映一组数据的波动大小，只有所有数据完全相等时方差才为0，本组数据有3、4、5、6吨四种情况，存在波动，方差不为0，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
加权平均数；中位数；众数
【点评】
本题考查常见统计量的计算与判断，解题关键是熟练掌握各统计量的定义和计算方法，逐一排查选项即可得出正确结论。
【难度系数】
0.7
2. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭8次,这三名运动员的测试成绩如下表:
$s^2_甲$、$s^2_乙$、$s^2_丙$分别表示三名运动员这次测试成绩的方差,下面各式中正确的是 (
A.$s^2_甲＞s^2_乙＞s^2_丙$
B.$s^2_丙＞s^2_乙＞s^2_甲$
C.$s^2_丙＞s^2_甲＞s^2_乙$
D.$s^2_乙＞s^2_甲＞s^2_丙$
$s^2_甲$、$s^2_乙$、$s^2_丙$分别表示三名运动员这次测试成绩的方差,下面各式中正确的是 (
B
)A.$s^2_甲＞s^2_乙＞s^2_丙$
B.$s^2_丙＞s^2_乙＞s^2_甲$
C.$s^2_丙＞s^2_甲＞s^2_乙$
D.$s^2_乙＞s^2_甲＞s^2_丙$
答案
2.B
解析
【分析】
要比较三名运动员成绩的方差大小，首先明确方差的意义：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，方差越大；数据越集中稳定，方差越小。解题时先确认三人成绩的平均数相同（方差比较的前提），再代入方差公式分别计算三者的方差，最后比较大小即可；也可直接观察数据的离散程度快速判断波动大小，得出方差的大小关系。
【解析】
首先计算三名运动员8次射箭成绩的平均数，三人成绩总和均为68，因此平均成绩$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=\bar{x}_丙=68÷8=8.5$。
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$分别计算：
1. 甲的成绩为7,7,8,8,9,9,10,10：
$s^2_甲=\frac{1}{8}[2×(7-8.5)^2 + 2×(8-8.5)^2 + 2×(9-8.5)^2 + 2×(10-8.5)^2]=\frac{1}{8}×10=1.25$
2. 乙的成绩为7,7,7,8,9,10,10,10：
$s^2_乙=\frac{1}{8}[3×(7-8.5)^2 + 1×(8-8.5)^2 + 1×(9-8.5)^2 + 3×(10-8.5)^2]=\frac{1}{8}×14=1.75$
3. 丙的成绩为7,7,7,7,10,10,10,10：
$s^2_丙=\frac{1}{8}[4×(7-8.5)^2 + 4×(10-8.5)^2]=\frac{1}{8}×18=2.25$
比较可得：$s^2_丙＞s^2_乙＞s^2_甲$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
方差的计算、方差的意义
【点评】
本题既可以通过公式计算得到结果，也可以通过观察数据的离散程度直接判断波动大小，后者能更快得到答案。掌握方差与数据波动程度的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要比较三名运动员成绩的方差大小，首先明确方差的意义：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，方差越大；数据越集中稳定，方差越小。解题时先确认三人成绩的平均数相同（方差比较的前提），再代入方差公式分别计算三者的方差，最后比较大小即可；也可直接观察数据的离散程度快速判断波动大小，得出方差的大小关系。
【解析】
首先计算三名运动员8次射箭成绩的平均数，三人成绩总和均为68，因此平均成绩$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=\bar{x}_丙=68÷8=8.5$。
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$分别计算：
1. 甲的成绩为7,7,8,8,9,9,10,10：
$s^2_甲=\frac{1}{8}[2×(7-8.5)^2 + 2×(8-8.5)^2 + 2×(9-8.5)^2 + 2×(10-8.5)^2]=\frac{1}{8}×10=1.25$
2. 乙的成绩为7,7,7,8,9,10,10,10：
$s^2_乙=\frac{1}{8}[3×(7-8.5)^2 + 1×(8-8.5)^2 + 1×(9-8.5)^2 + 3×(10-8.5)^2]=\frac{1}{8}×14=1.75$
3. 丙的成绩为7,7,7,7,10,10,10,10：
$s^2_丙=\frac{1}{8}[4×(7-8.5)^2 + 4×(10-8.5)^2]=\frac{1}{8}×18=2.25$
比较可得：$s^2_丙＞s^2_乙＞s^2_甲$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
方差的计算、方差的意义
【点评】
本题既可以通过公式计算得到结果，也可以通过观察数据的离散程度直接判断波动大小，后者能更快得到答案。掌握方差与数据波动程度的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
3. [2024·许昌二模]菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖,每四年颁发一次,被誉为“数学界的诺贝尔奖”.截至2022年,世界上共有65位数学家获得菲尔兹奖,获奖者获奖时的年龄分布如下表:
则该组由年龄组成的数据的众数是 (
A.9
B.37
C.45
D.37 和 38
则该组由年龄组成的数据的众数是 (
D
)A.9
B.37
C.45
D.37 和 38
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题首先需明确众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据。解题时首先观察表格中各年龄对应的获奖人数，找到人数最多的组别，对应年龄即为众数，注意若多个数据的出现次数相同且均为最高，则这些数据都是众数。
【解析】
根据众数的定义，我们需要找到出现次数最多的年龄：
观察表格中人数列，各年龄对应的获奖人数中，最大值为9，对应两个年龄：37岁和38岁，二者出现的次数相同且均为最多，因此这组数据的众数是37和38。
【答案】
D
【知识点】
众数的概念
【点评】
本题考查统计中众数的识别，易错点是忽略众数可以不止一个，当多个数据出现次数同为最高时，均为该组数据的众数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题首先需明确众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据。解题时首先观察表格中各年龄对应的获奖人数，找到人数最多的组别，对应年龄即为众数，注意若多个数据的出现次数相同且均为最高，则这些数据都是众数。
【解析】
根据众数的定义，我们需要找到出现次数最多的年龄：
观察表格中人数列，各年龄对应的获奖人数中，最大值为9，对应两个年龄：37岁和38岁，二者出现的次数相同且均为最多，因此这组数据的众数是37和38。
【答案】
D
【知识点】
众数的概念
【点评】
本题考查统计中众数的识别，易错点是忽略众数可以不止一个，当多个数据出现次数同为最高时，均为该组数据的众数。
【难度系数】
0.8
4. 有一组被墨水污染的数据4,17,7,14,★,★,★,16,10,4,4,11,其箱线图如下：
下列说法错误的是 (
A.这组数据的第一四分位数是4
B.这组数据的中位数是10
C.这组数据的第三四分位数是15
D.被墨水污染的数据中一个数是3,一个数是18
下列说法错误的是 (
B
)A.这组数据的第一四分位数是4
B.这组数据的中位数是10
C.这组数据的第三四分位数是15
D.被墨水污染的数据中一个数是3,一个数是18
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先明确数据总个数为12，先整理已知数据，再结合箱线图的最小值、最大值刻度确定被污染的两个特殊数据，最后根据偶数个数据的四分位数、中位数计算规则，逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
首先统计得这组数据共12个，先将已知的9个数据从小到大排序：4,4,4,7,10,11,14,16,17，剩余3个为被污染的数据。
观察箱线图可得：数据最小值对应刻度3，最大值对应刻度18，说明被污染的数据中一定包含3和18，D选项正确。
将完整数据从小到大排序后，12个数据为偶数个，按分位数计算规则判断：
1. 第一四分位数是前6个数据的中位数，即第3、4个数的平均值，排序后前4个数为3,4,4,4，第3、4个数均为4，平均值为4，A选项正确。
2. 中位数是第6、7个数的平均值，排序后第6个数为10，第7个数为11，平均值为$\frac{10+11}{2}=10.5$，不是10，B选项错误。
3. 第三四分位数是后6个数据的中位数，即第9、10个数的平均值，排序后第9个数为14，第10个数为16，平均值为$\frac{14+16}{2}=15$，C选项正确。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
箱线图的认识；四分位数计算；数据排序
【点评】
本题结合箱线图考查统计量的计算，解题核心是先通过箱线图确定数据的最值，再按规则排序计算各分位数，属于对统计基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.65
解题时首先明确数据总个数为12，先整理已知数据，再结合箱线图的最小值、最大值刻度确定被污染的两个特殊数据，最后根据偶数个数据的四分位数、中位数计算规则，逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
首先统计得这组数据共12个，先将已知的9个数据从小到大排序：4,4,4,7,10,11,14,16,17，剩余3个为被污染的数据。
观察箱线图可得：数据最小值对应刻度3，最大值对应刻度18，说明被污染的数据中一定包含3和18，D选项正确。
将完整数据从小到大排序后，12个数据为偶数个，按分位数计算规则判断：
1. 第一四分位数是前6个数据的中位数，即第3、4个数的平均值，排序后前4个数为3,4,4,4，第3、4个数均为4，平均值为4，A选项正确。
2. 中位数是第6、7个数的平均值，排序后第6个数为10，第7个数为11，平均值为$\frac{10+11}{2}=10.5$，不是10，B选项错误。
3. 第三四分位数是后6个数据的中位数，即第9、10个数的平均值，排序后第9个数为14，第10个数为16，平均值为$\frac{14+16}{2}=15$，C选项正确。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
箱线图的认识；四分位数计算；数据排序
【点评】
本题结合箱线图考查统计量的计算，解题核心是先通过箱线图确定数据的最值，再按规则排序计算各分位数，属于对统计基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.65
