13. 大约在两千四五百年前,墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验(如图1),并在《墨经》中有这样的精彩记录:"景到,在午有端,与景长,说在端".如图2,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高 y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数.当$x=8$时,$y=3$.
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 若物距(小孔到蜡烛的距离)为 4 cm,求火焰的像高；
(3) 若火焰的像高不得超过 5 cm,求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米?


素养拓展

13. (1) $y=\frac{24}{x}$. (2) 6 cm. (3) 4.8 cm.

【分析】
本题是反比例函数在小孔成像问题中的应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知y与x成反比例，先设反比例函数的一般形式$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $，再代入已知的$ x=8 $、$ y=3 $求出常数$ k $，即可得到函数表达式；
2. 第(2)问：将$ x=4 $代入第(1)问的函数表达式，计算对应的$ y $值，得到像高；
3. 第(3)问：根据“像高不得超过5cm”列出不等式，结合函数表达式得到关于$ x $的不等式，再根据实际意义（物距$ x＞0 $）解不等式，求出$ x $的最小值。
【解析】
(1) 因为$ y $是$ x $的反比例函数，设函数表达式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $。
将$ x=8 $，$ y=3 $代入得：
$ 3=\frac{k}{8} $，
解得$ k=24 $，
故$ y $关于$ x $的函数表达式为$ y=\frac{24}{x} $。
(2) 当物距$ x=4 \, \mathrm{cm} $时，将$ x=4 $代入$ y=\frac{24}{x} $得：
$ y=\frac{24}{4}=6 \, \mathrm{cm} $，
即火焰的像高为$ 6 \, \mathrm{cm} $。
(3) 由题意，像高不得超过$ 5 \, \mathrm{cm} $，即$ y≤5 $，结合函数表达式得：
$ \frac{24}{x}≤5 $，
因为物距$ x＞0 $，两边同乘$ x $不等号方向不变，得：
$ 24≤5x $，
解得$ x≥4.8 $，
即小孔到蜡烛的距离至少是$ 4.8 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
(1) $ y=\frac{24}{x} $；(2) $ 6 \, \mathrm{cm} $；(3) $ 4.8 \, \mathrm{cm} $
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数表达式的确定
【点评】
本题结合小孔成像的实际情境，考查反比例函数的基础应用，属于常规题型，需掌握反比例函数的定义、表达式求解及实际问题中的不等式处理，注意变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.7

14. 已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流 I(单位:A)与电阻 R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.
(1) 求这个反比例函数的表达式(不要求写出自变量 R 的取值范围)；
(2) 当$R=3$时,求 I 的值.

14. (1) $I=\frac{36}{R}$ (2) 12 A

【分析】
本题考查反比例函数在物理中的应用，解题思路为：首先根据电流I与电阻R成反比例关系，设出反比例函数表达式；再从图像中提取已知的对应值，利用待定系数法求出表达式中的常数k，得到反比例函数表达式；最后将R=3代入表达式，计算对应的电流I的值。
【解析】
（1）因为电流I与电阻R成反比例函数关系，设反比例函数表达式为 $ I = \frac{k}{R} $（k为常数，k≠0）。
由图像可知，当 $ R = 9\ \Omega $ 时，$ I = 4\ A $，将其代入表达式得：
$ 4 = \frac{k}{9} $，解得 $ k = 4 × 9 = 36 $。
因此，反比例函数的表达式为 $ I = \frac{36}{R} $。
（2）当 $ R = 3\ \Omega $ 时，将 $ R = 3 $ 代入 $ I = \frac{36}{R} $ 得：
$ I = \frac{36}{3} = 12\ A $。
【答案】
(1) $ I = \frac{36}{R} $；(2) $ 12\ A $
【知识点】
反比例函数应用、待定系数法
【点评】
本题结合物理中电流与电阻的关系考查反比例函数的应用，核心是用待定系数法确定解析式，再代入求值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7

15. 如图,一次函数 $y=kx+b$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象相交于$A(-1,4),B(a,-1)$两点.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 点 P 在 x 轴负半轴上,连接 AP,过点 B 作$BQ// AP$,交 $y=\frac{m}{x}$ 的图象于点 Q,且$BQ=AP$,连接 PQ.求四边形 APQB 的面积.

15. (1) 反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$. 一次函数的表达
式为$y=-x+3$.
(2) 四边形APQB的面积为36.

【分析】
第(1)问：利用反比例函数图象上点的坐标特征，代入点A求出反比例函数的参数m，再代入点B求出a得到B点坐标；用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数，解方程组求出k、b，得到一次函数表达式。
第(2)问：由BQ//AP且BQ=AP，可知四边形APQB是平行四边形，通过向量关系表示Q点坐标，结合Q在反比例函数上求出P点坐标，再利用向量叉乘计算平行四边形面积。
【解析】
(1) 对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$，将$A(-1,4)$代入得：
$4=\frac{m}{-1}$，解得$m=-4$，因此反比例函数表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
因为点$B(a,-1)$在反比例函数$y=-\frac{4}{x}$上，代入得：
$-1=\frac{-4}{a}$，解得$a=4$，即$B(4,-1)$。
将$A(-1,4)$、$B(4,-1)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-k + b = 4 \\4k + b = -1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$5k=-5$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$-k + b=4$，得$1 + b=4$，解得$b=3$，因此一次函数表达式为$y=-x+3$。
(2) 设点$P(p,0)$（$p＜0$），则向量$\overrightarrow{AP}=(p - (-1),0 - 4)=(p+1,-4)$。
因为$BQ// AP$且$BQ=AP$，所以四边形$APQB$是平行四边形，故$\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{AP}$，则点$Q$的坐标为$B + \overrightarrow{AP}=(4 + p+1, -1 + (-4))=(p+5,-5)$。
又因为点$Q$在反比例函数$y=-\frac{4}{x}$上，代入得：
$-5=\frac{-4}{p+5}$，解得$p+5=\frac{4}{5}$，即$p=-\frac{21}{5}$。
平行四边形$APQB$的面积等于向量$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AB}$叉乘的绝对值，其中$\overrightarrow{AB}=(4 - (-1), -1 -4)=(5,-5)$，代入计算：
$S=|\overrightarrow{AP} × \overrightarrow{AB}|=|(p+1)×(-5) - (-4)×5|$，将$p+1=-\frac{16}{5}$代入得：
$S=|(-\frac{16}{5})×(-5) +20|=|16 +20|=36$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=-\frac{4}{x}$，一次函数表达式为$y=-x+3$；(2) 四边形$APQB$的面积为$36$。
【知识点】
反比例函数表达式，一次函数表达式，平行四边形面积
【点评】
本题是代数与几何结合的综合题，需掌握待定系数法求函数表达式，利用平行四边形性质和向量关系确定点坐标，进而计算面积，考查知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.5