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10. 如图,点$A(2,a)$在双曲线 $y=\frac{-6}{x}(x＞0)$上,过点$D(-2,0)$作直线 AD 交双曲线 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$于点 B,过点 A 作$AC⊥x$轴于 C,连接 BC,若$△ ABC$的面积为 1,则 k 的值为
-28/3
.答案
10. $-\frac{28}{3}$
解析
【分析】
首先根据点A在已知双曲线上求出A点坐标；再利用A、D两点坐标求出直线AD的解析式；接着结合AC⊥x轴的性质和△ABC的面积，确定点B的横坐标；最后将B点坐标代入直线AD与双曲线的关系，计算出k的值。
【解析】
1. 求点A的坐标：
已知点$A(2,a)$在双曲线$y=\frac{-6}{x}(x＞0)$上，将$x=2$代入得：
$a=\frac{-6}{2}=-3$，故$A(2,-3)$。
2. 求直线AD的解析式：
设直线AD的解析式为$y=mx+b$，将$D(-2,0)$、$A(2,-3)$代入得：
$\begin{cases}0=-2m + b \\ -3=2m + b\end{cases}$
两式相减得$-3=4m$，解得$m=-\frac{3}{4}$，代入第一个方程得$b=-\frac{3}{2}$，因此直线AD的解析式为$y=-\frac{3}{4}x - \frac{3}{2}$。
3. 求点B的横坐标：
因为$AC⊥x$轴，C点坐标为$(2,0)$，$AC=| -3 | =3$。
由$S_{△ABC}=1$，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×AC×|x_B - 2|=1$，代入$AC=3$得：
$\frac{1}{2}×3×|x_B -2|=1 → |x_B -2|=\frac{2}{3}$，结合图形可知B在A右侧，故$x_B=2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$。
4. 计算k的值：
将$x=\frac{8}{3}$代入直线AD解析式，得$y=-\frac{3}{4}×\frac{8}{3} - \frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$，即$B(\frac{8}{3}, -\frac{7}{2})$。
因为B在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，所以$k=x_B×y_B=\frac{8}{3}×(-\frac{7}{2})=-\frac{28}{3}$。
【答案】
$-\frac{28}{3}$
【知识点】
反比例函数、一次函数、三角形面积
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题，核心是利用三角形面积确定点B的横坐标，需结合图形判断点的位置以避免多解错误，解题时要熟练掌握函数解析式的求解方法。
【难度系数】
0.5
首先根据点A在已知双曲线上求出A点坐标；再利用A、D两点坐标求出直线AD的解析式；接着结合AC⊥x轴的性质和△ABC的面积，确定点B的横坐标；最后将B点坐标代入直线AD与双曲线的关系，计算出k的值。
【解析】
1. 求点A的坐标：
已知点$A(2,a)$在双曲线$y=\frac{-6}{x}(x＞0)$上，将$x=2$代入得：
$a=\frac{-6}{2}=-3$，故$A(2,-3)$。
2. 求直线AD的解析式：
设直线AD的解析式为$y=mx+b$，将$D(-2,0)$、$A(2,-3)$代入得：
$\begin{cases}0=-2m + b \\ -3=2m + b\end{cases}$
两式相减得$-3=4m$，解得$m=-\frac{3}{4}$，代入第一个方程得$b=-\frac{3}{2}$，因此直线AD的解析式为$y=-\frac{3}{4}x - \frac{3}{2}$。
3. 求点B的横坐标：
因为$AC⊥x$轴，C点坐标为$(2,0)$，$AC=| -3 | =3$。
由$S_{△ABC}=1$，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×AC×|x_B - 2|=1$，代入$AC=3$得：
$\frac{1}{2}×3×|x_B -2|=1 → |x_B -2|=\frac{2}{3}$，结合图形可知B在A右侧，故$x_B=2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$。
4. 计算k的值：
将$x=\frac{8}{3}$代入直线AD解析式，得$y=-\frac{3}{4}×\frac{8}{3} - \frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$，即$B(\frac{8}{3}, -\frac{7}{2})$。
因为B在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，所以$k=x_B×y_B=\frac{8}{3}×(-\frac{7}{2})=-\frac{28}{3}$。
【答案】
$-\frac{28}{3}$
【知识点】
反比例函数、一次函数、三角形面积
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题，核心是利用三角形面积确定点B的横坐标，需结合图形判断点的位置以避免多解错误，解题时要熟练掌握函数解析式的求解方法。
【难度系数】
0.5
11. (2026 河南新乡)如图,一次函数 $y=x+m$ 的图象经过点$A(-3,0)$,交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象于点$B(n,4)$.
(1) 求 m、n、k 的值；
(2) 已知点 C 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,若$S_{△ AOC}＜S_{△ AOB}$,直接写出点 C 的横坐标 a 的取值范围.
(1) 求 m、n、k 的值；
(2) 已知点 C 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,若$S_{△ AOC}＜S_{△ AOB}$,直接写出点 C 的横坐标 a 的取值范围.
答案
11. (1) $m=3,n=1,k=4$. (2) $a＞1$.
解析
【分析】
第(1)问利用函数图象上点的坐标满足函数解析式，先将点A代入一次函数求m，再将点B代入一次函数求n，最后将点B代入反比例函数求k；第(2)问先计算△AOB的面积，再表示出△AOC的面积，根据面积关系列不等式，结合反比例函数x＞0的条件求解横坐标范围。
【解析】
(1) 把点$A(-3,0)$代入一次函数$y=x+m$，得：
$0=-3+m$，解得$m=3$，
因此一次函数解析式为$y=x+3$。
将点$B(n,4)$代入$y=x+3$，得：
$4=n+3$，解得$n=1$，即$B(1,4)$。
把$B(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$。
(2) 计算$△ AOB$的面积：$OA=3$，点B的纵坐标为4，
则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×OA×4=\frac{1}{2}×3×4=6$。
设点C的横坐标为$a(a＞0)$，则$C(a,\frac{4}{a})$，
$△ AOC$的面积为$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×OA×\frac{4}{a}=\frac{1}{2}×3×\frac{4}{a}=\frac{6}{a}$。
根据$S_{△ AOC}＜S_{△ AOB}$，得$\frac{6}{a}＜6$，
因为$a＞0$，两边同除以6得$\frac{1}{a}＜1$，解得$a＞1$。
【答案】
(1) $m=3$，$n=1$，$k=4$；(2) $a＞1$
【知识点】
一次函数解析式、反比例函数解析式、三角形面积计算
【点评】
本题结合一次函数与反比例函数的交点问题，考查函数解析式的求解及三角形面积的应用，核心是利用点在函数图象上的性质，以及三角形面积公式的灵活运用，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
第(1)问利用函数图象上点的坐标满足函数解析式，先将点A代入一次函数求m，再将点B代入一次函数求n，最后将点B代入反比例函数求k；第(2)问先计算△AOB的面积，再表示出△AOC的面积，根据面积关系列不等式，结合反比例函数x＞0的条件求解横坐标范围。
【解析】
(1) 把点$A(-3,0)$代入一次函数$y=x+m$，得：
$0=-3+m$，解得$m=3$，
因此一次函数解析式为$y=x+3$。
将点$B(n,4)$代入$y=x+3$，得：
$4=n+3$，解得$n=1$，即$B(1,4)$。
把$B(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$。
(2) 计算$△ AOB$的面积：$OA=3$，点B的纵坐标为4，
则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×OA×4=\frac{1}{2}×3×4=6$。
设点C的横坐标为$a(a＞0)$，则$C(a,\frac{4}{a})$，
$△ AOC$的面积为$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×OA×\frac{4}{a}=\frac{1}{2}×3×\frac{4}{a}=\frac{6}{a}$。
根据$S_{△ AOC}＜S_{△ AOB}$，得$\frac{6}{a}＜6$，
因为$a＞0$，两边同除以6得$\frac{1}{a}＜1$，解得$a＞1$。
【答案】
(1) $m=3$，$n=1$，$k=4$；(2) $a＞1$
【知识点】
一次函数解析式、反比例函数解析式、三角形面积计算
【点评】
本题结合一次函数与反比例函数的交点问题，考查函数解析式的求解及三角形面积的应用，核心是利用点在函数图象上的性质，以及三角形面积公式的灵活运用，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
12. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $y=-2x-6$ 的图象与两坐标轴交于 A,B 两点,与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象交于点 C,D.$△ AOC$和$△ BOD$面积均为 3.
(1) 求反比例函数的表达式和$△ OCD$的面积；
(2) 根据图象直接写出关于 x 的不等式$-2x-6＜\frac{k}{x}$的解集
(3) 点 M 为 y 轴上一点,点 N 为反比例函数 $y=\frac{k}{x}$图象上一点,当以 C,D,M,N 为顶点的四边形为平行四边形时,直接写出点 N 的坐标.
(1) 求反比例函数的表达式和$△ OCD$的面积；
(2) 根据图象直接写出关于 x 的不等式$-2x-6＜\frac{k}{x}$的解集
-2＜x＜-1
；(3) 点 M 为 y 轴上一点,点 N 为反比例函数 $y=\frac{k}{x}$图象上一点,当以 C,D,M,N 为顶点的四边形为平行四边形时,直接写出点 N 的坐标.
答案
12. (1) 反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$.$△ OCD$的面积为3.
(2) $-2＜x＜-1$ (3) 点 N 的坐标为$(1,4)$
或$(-3,-\frac{4}{3})$.
(2) $-2＜x＜-1$ (3) 点 N 的坐标为$(1,4)$
或$(-3,-\frac{4}{3})$.
解析
【分析】
首先求一次函数与坐标轴交点A、B的坐标；利用△AOC的面积求出点C的坐标，代入一次函数得C点，进而求出反比例函数的k值，得到反比例表达式；联立一次函数与反比例函数解析式，求出交点D的坐标，再计算△OCD的面积；观察图像确定不等式的解集；对于平行四边形问题，分CD为边和对角线两种情况，结合平行四边形性质及点的坐标特征求解N点坐标。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=-2x-6$：
当$y=0$时，$-2x-6=0$，解得$x=-3$，故$A(-3,0)$，$OA=3$；
当$x=0$时，$y=-6$，故$B(0,-6)$。
设点$C(x_C,y_C)$，由$△ AOC$面积为3，得$\frac{1}{2} · OA · |y_C|=3$，即$\frac{1}{2} × 3 × |y_C|=3$，解得$|y_C|=2$。因C在第三象限，故$y_C=-2$。
将$y_C=-2$代入$y=-2x-6$，得$-2=-2x-6$，解得$x=-2$，故$C(-2,-2)$。
因C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，故$k=(-2)×(-2)=4$，反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
联立$\begin{cases}y=-2x-6 \\ y=\frac{4}{x}\end{cases}$，消去$y$得$-2x-6=\frac{4}{x}$，整理得$x^2+3x+2=0$，解得$x=-1$或$x=-2$。
当$x=-1$时，$y=-4$，故$D(-1,-4)$。
计算$△ OCD$面积：$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}|x_C y_D - x_D y_C|=\frac{1}{2}|(-2)×(-4)-(-1)×(-2)|=3$。
(2) 观察图像，一次函数在反比例函数下方时，对应$x$的范围是$-2 ＜ x ＜ -1$，故不等式解集为$-2 ＜ x ＜ -1$。
(3) 设$M(0,m)$，$N(n,\frac{4}{n})$，分两种情况：
① 当CD为平行四边形的边时，$\overrightarrow{CD}=(1,-2)=\overrightarrow{MN}=(n,\frac{4}{n}-m)$，得$n=1$，$\frac{4}{1}-m=-2$，解得$m=6$，故$N(1,4)$；
② 当CD为平行四边形的对角线时，CD中点为$(-\frac{3}{2},-3)$，则M、N中点也为该点，故$\frac{0+n}{2}=-\frac{3}{2}$，$\frac{m+\frac{4}{n}}{2}=-3$，解得$n=-3$，$m=-\frac{14}{3}$，故$N(-3,-\frac{4}{3})$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$，$△ OCD$的面积为3；
(2) $-2 ＜ x ＜ -1$；
(3) $(1,4)$或$(-3,-\frac{4}{3})$
【知识点】
反比例函数与一次函数的交点、平行四边形性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的结合应用，涉及坐标求解、面积计算、不等式解集及平行四边形存在性问题，需熟练掌握函数图像性质，分情况讨论是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.4
首先求一次函数与坐标轴交点A、B的坐标；利用△AOC的面积求出点C的坐标，代入一次函数得C点，进而求出反比例函数的k值，得到反比例表达式；联立一次函数与反比例函数解析式，求出交点D的坐标，再计算△OCD的面积；观察图像确定不等式的解集；对于平行四边形问题，分CD为边和对角线两种情况，结合平行四边形性质及点的坐标特征求解N点坐标。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=-2x-6$：
当$y=0$时，$-2x-6=0$，解得$x=-3$，故$A(-3,0)$，$OA=3$；
当$x=0$时，$y=-6$，故$B(0,-6)$。
设点$C(x_C,y_C)$，由$△ AOC$面积为3，得$\frac{1}{2} · OA · |y_C|=3$，即$\frac{1}{2} × 3 × |y_C|=3$，解得$|y_C|=2$。因C在第三象限，故$y_C=-2$。
将$y_C=-2$代入$y=-2x-6$，得$-2=-2x-6$，解得$x=-2$，故$C(-2,-2)$。
因C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，故$k=(-2)×(-2)=4$，反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
联立$\begin{cases}y=-2x-6 \\ y=\frac{4}{x}\end{cases}$，消去$y$得$-2x-6=\frac{4}{x}$，整理得$x^2+3x+2=0$，解得$x=-1$或$x=-2$。
当$x=-1$时，$y=-4$，故$D(-1,-4)$。
计算$△ OCD$面积：$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}|x_C y_D - x_D y_C|=\frac{1}{2}|(-2)×(-4)-(-1)×(-2)|=3$。
(2) 观察图像，一次函数在反比例函数下方时，对应$x$的范围是$-2 ＜ x ＜ -1$，故不等式解集为$-2 ＜ x ＜ -1$。
(3) 设$M(0,m)$，$N(n,\frac{4}{n})$，分两种情况：
① 当CD为平行四边形的边时，$\overrightarrow{CD}=(1,-2)=\overrightarrow{MN}=(n,\frac{4}{n}-m)$，得$n=1$，$\frac{4}{1}-m=-2$，解得$m=6$，故$N(1,4)$；
② 当CD为平行四边形的对角线时，CD中点为$(-\frac{3}{2},-3)$，则M、N中点也为该点，故$\frac{0+n}{2}=-\frac{3}{2}$，$\frac{m+\frac{4}{n}}{2}=-3$，解得$n=-3$，$m=-\frac{14}{3}$，故$N(-3,-\frac{4}{3})$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$，$△ OCD$的面积为3；
(2) $-2 ＜ x ＜ -1$；
(3) $(1,4)$或$(-3,-\frac{4}{3})$
【知识点】
反比例函数与一次函数的交点、平行四边形性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的结合应用，涉及坐标求解、面积计算、不等式解集及平行四边形存在性问题，需熟练掌握函数图像性质，分情况讨论是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.4
