1. 下列函数中,y 是关于 x 的反比例函数的是 ()

A.$y=2x$
B.$y=\frac{3}{x}$
C.$y=\frac{2}{x-1}$
D.$y=\frac{2}{x}-1$

1. B

【分析】首先明确反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）的函数叫做关于$ x $的反比例函数，其核心特征是自变量$ x $单独在分母位置，分子为非零常数，函数式不含其他额外项。接下来逐一分析每个选项，判断是否符合该定义，从而选出正确答案。
【解析】根据反比例函数的定义逐一分析选项：
选项A：$ y=2x $，符合正比例函数$ y=kx $（$ k≠0 $）的形式，属于正比例函数，不是反比例函数；
选项B：$ y=\frac{3}{x} $，符合$ y=\frac{k}{x} $（$ k=3≠0 $）的标准形式，是关于$ x $的反比例函数；
选项C：$ y=\frac{2}{x-1} $，自变量是$ x-1 $而非$ x $，属于关于$ (x-1) $的反比例函数，不是关于$ x $的反比例函数；
选项D：$ y=\frac{2}{x}-1 $，函数式中含有常数项$-1$，不符合反比例函数的定义形式。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题考查反比例函数的基础定义，属于初中数学的基础题型，解题关键是准确把握反比例函数的标准形式，区分正比例函数、分式函数与反比例函数的差异，适合学生巩固函数概念的基础。
【难度系数】0.8

2. 如果函数 $y=(m-1)x^{|m|-2}$ 是反比例函数,那么 m 的值是 ()

A.2
B.$-1$
C.1
D.$\pm1$

2. B

【分析】
要解决这道题，需先明确反比例函数的定义：形如$ y = kx^{-1} $（$ k $为常数且$ k≠0 $）的函数是反比例函数。对应题目中的函数$ y=(m-1)x^{|m|-2} $，需满足两个条件：①$ x $的指数等于$-1$；②系数$ m-1≠0 $。据此列方程和不等式求解，再匹配选项即可。
【解析】
根据反比例函数的定义：
1. 指数条件：$ |m| - 2 = -1 $，解得$ |m| = 1 $，即$ m = 1 $或$ m = -1 $；
2. 系数条件：反比例函数的系数不能为0，故$ m - 1 ≠ 0 $，即$ m ≠ 1 $；
结合两个条件，排除$ m = 1 $，得$ m = -1 $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的定义，解题关键是牢记反比例函数的两个核心条件：指数为$-1$、系数不为0，需注意避免忽略系数不为0的限制，防止误选D选项。
【难度系数】
0.6

3. 如图,反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象经过$A(-1,-2)$,则以下说法不正确的是 ()


A.图中矩形的面积为 2,且 $k=2$
B.$x＞0$,y 随 x 的增大而减小
C.图象也经过点$B(2,1)$
D.当 $x＜-1$ 时,$y＜-2$

3. D

【分析】
要解决这道题，首先需根据已知点A(-1,-2)求出反比例函数的k值，再结合反比例函数的性质逐一分析各选项，找出不正确的说法。具体步骤为：1. 代入点A计算k；2. 利用k的几何意义判断选项A；3. 根据k的符号判断函数在x＞0时的单调性，分析选项B；4. 将点B代入函数验证是否在图像上，分析选项C；5. 结合第三象限内函数的单调性，判断x＜-1时y的取值，分析选项D。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过$A(-1,-2)$，将$x=-1$，$y=-2$代入函数得：$k=xy=(-1)×(-2)=2$，即函数为$y=\frac{2}{x}$，$k=2＞0$，图象在一、三象限。
选项A：反比例函数图象上的点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积为$|k|=2$，且$k=2$，该说法正确；
选项B：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，该说法正确；
选项C：将点$B(2,1)$代入$y=\frac{2}{x}$，右边$\frac{2}{2}=1$，等于左边，因此点$B$在图象上，该说法正确；
选项D：当$x＜-1$时，函数在第三象限，$k＞0$，第三象限内$y$随$x$的增大而减小，$x＜-1$即$x$比$-1$小，例如$x=-2$时，$y=\frac{2}{-2}=-1＞-2$，因此当$x＜-1$时，$y＞-2$，而非$y＜-2$，该说法错误。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数性质；反比例函数k的几何意义；反比例函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，涵盖k值计算、几何意义、单调性及点的坐标特征，是反比例函数的常见基础题型，需熟练掌握相关性质，逐一分析选项即可得出结论。
【难度系数】
0.6

4. 若点$A(3,y_{1}),B(m,y_{2})$在反比例函数 $y=\frac{k^{2}+1}{x}$ 的图象上,且 $y_{2}＞y_{1}$,则 m 的取值范围是.

4. $0＜m＜3$

【分析】首先，根据反比例函数的比例系数符号确定函数所在象限和增减性；再由点A的坐标判断其所在象限及y₁的符号；最后结合y₂＞y₁，确定点B的位置，利用反比例函数在同一象限内的增减性推导m的取值范围。
【解析】因为k²≥0，所以k²+1≥1＞0，因此反比例函数$y=\frac{k^2+1}{x}$的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
已知点A(3,y₁)，x=3＞0，故点A在第一象限，y₁＞0。
又因为y₂＞y₁＞0，所以点B(m,y₂)必在第一象限（若在第三象限，y₂＜0，不可能大于y₁），因此m＞0。
在第一象限内，y随x的增大而减小，且y₂＞y₁，故对应的x满足m＜3。
综上，m的取值范围是0＜m＜3。
【答案】0＜m＜3
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】本题考查反比例函数的基础性质，解题核心是先确定函数所在象限，再结合增减性分析点的位置，属于需熟练掌握的基础题型。
【难度系数】0.6

5. 已知反比例函数 $y=\frac{m-5}{x}$,当 $x＞0$ 时,y 随 x 的增大而减小,则 m 的取值范围是.

5. $m＞5$

【分析】首先回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。本题中已知$x＞0$（即函数在第一象限）时$y$随$x$增大而减小，因此需要反比例函数的比例系数大于0，据此列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，在$x＞0$的象限内，$y$随$x$的增大而减小。本题中反比例函数为$y=\frac{m-5}{x}$，且当$x＞0$时$y$随$x$增大而减小，因此比例系数满足：$m - 5 ＞ 0$，解这个不等式得：$m ＞ 5$。
【答案】$m＞5$
【知识点】反比例函数的性质、一元一次不等式的解法
【点评】本题是反比例函数性质的基础应用题，核心考察反比例函数比例系数与增减性的对应关系，只要牢记相关性质即可快速求解，属于基础题。
【难度系数】0.7

6. 考察函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象,当 $x=-2$ 时,$y=$;当 $x＜-2$ 时,y 的取值范围是;当 $y＞-1$ 时,x 的取值范围是.

6. $-1$ $-1＜y＜0$ $x＜-2$或$x＞0$

【分析】
这道题围绕反比例函数$y=\frac{2}{x}$展开，解题思路分三步：1. 直接代入$x$的值计算对应的$y$值；2. 利用反比例函数的单调性（$k＞0$时，每个象限内$y$随$x$增大而减小），结合$x＜-2$的范围确定$y$的取值范围；3. 解不等式$\frac{2}{x} ＞ -1$时，需分$x＞0$和$x＜0$两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
1. 当$x=-2$时，将$x=-2$代入函数$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{-2}=-1$；
2. 反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，在$x＜0$的第二象限内，$y$随$x$的增大而减小。当$x=-2$时$y=-1$，当$x＜-2$时，$x$更负，对应的$y$值比$-1$大，且$x＜0$时$y＜0$，因此$y$的取值范围是$-1＜y＜0$；
3. 当$y＞-1$时，即$\frac{2}{x} ＞ -1$，分情况讨论：
若$x＞0$，不等式两边乘正数$x$，不等号方向不变，得$2 ＞ -x$，即$x ＞ -2$，结合$x＞0$，得$x＞0$；
若$x＜0$，不等式两边乘负数$x$，不等号方向改变，得$2 ＜ -x$，即$x ＜ -2$，结合$x＜0$，得$x＜-2$。
综上，$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞0$。
【答案】
$-1$；$-1＜y＜0$；$x＜-2$或$x＞0$
【知识点】
反比例函数的性质、函数值计算、不等式的应用
【点评】
本题是反比例函数基础应用题，重点考查对反比例函数图象与性质的掌握，需注意分象限讨论取值范围，避免漏解，属于巩固反比例函数知识点的典型题目。
【难度系数】
0.5

7. 在平面直角坐标系中,若点$(-2,y_{1}),(1,y_{2}),(-1,y_{3})$都在函数 $y=\frac{k}{x}(k＜0)$ 的图象上,则 $y_{1},$ $y_{2},y_{3}$ 的大小关系是(用“＜”号连接).

7. $y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$

【分析】
要比较反比例函数上点的纵坐标大小，首先根据k＜0确定函数图象所在象限，再结合各点横坐标判断所在象限，利用反比例函数在每个象限内的单调性，以及不同象限内函数值的正负性来比较大小。
【解析】
解：对于反比例函数$ y=\frac{k}{x}(k＜0) $，根据反比例函数的性质：
当$ k＜0 $时，函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$ y $随$ x $的增大而增大。
1. 点$(1,y_2)$的横坐标为正，故该点在第四象限，第四象限内函数值均小于0，因此$ y_2 ＜ 0 $；
2. 点$(-2,y_1)$和$(-1,y_3)$的横坐标均为负，故这两个点在第二象限，第二象限内函数值均大于0，因此$ y_1＞0 $，$ y_3＞0 $；
3. 在第二象限内，$ y $随$ x $的增大而增大，由于$-2 ＜ -1$，所以对应的函数值满足$ y_1 ＜ y_3 $。
综上，$ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $。
【答案】
$ y_{2}＜y_{1}＜y_{3} $
【知识点】
反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的图象与性质，解题核心是根据k的符号确定函数所在象限及单调性，结合象限内函数值的正负比较大小，属于初中数学基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6

8. (2026 无锡)已知点$A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$、$C(x_{3},y_{3})$都在反比例函数 $y=\frac{a^{2}+1}{x}$(a 是常数)的图象上,且 $y_{1}＜y_{2}＜0＜y_{3}$,则用“＞”连接$x_{1}$、$x_{2}$、$x_{3}$,得.

8. $x_{3}＞x_{1}＞x_{2}$

【分析】
要解决本题，需按以下思路推导：1. 先确定反比例函数的系数符号：由a为常数，得a²≥0，故k=a²+1＞0，由此判断函数图像所在象限及增减性；2. 根据y值的符号确定各点所在象限：y₁、y₂小于0，对应点在第三象限，y₃大于0，对应点在第一象限，进而判断x₃为正数，x₁、x₂为负数；3. 利用第三象限内的增减性比较x₁、x₂：k＞0时，第三象限内y随x增大而减小，结合y₁＜y₂，可得x₁＞x₂；最终整合三个横坐标的大小关系。
【解析】
解：
∵a是常数，
∴a²≥0，
∴k=a²+1＞0，
∴反比例函数y=(a²+1)/x的图像在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
∵y₁＜y₂＜0，
∴点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)在第三象限，因此x₁＜0，x₂＜0；
∵y₃＞0，
∴点C(x₃,y₃)在第一象限，因此x₃＞0；
故x₃是三个横坐标中最大的。
又
∵在第三象限内y随x的增大而减小，且y₁＜y₂，
∴x₁＞x₂。
综上，x₃＞x₁＞x₂。
【答案】
x₃＞x₁＞x₂
【知识点】
反比例函数的图像与性质，点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的核心性质，关键是先确定k的符号，再分象限讨论坐标大小，属于基础题型，侧重对性质的应用能力。
【难度系数】
0.6

9. 如图,点 A 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上一点,$AB⊥y$轴于点 B,点 C 在 x 轴上,连接 AC, BC. 若$△ ABC$面积为 2,则 k 的值为.

9. 4

【分析】首先设点A的坐标为$(x, y)$，因为A在反比例函数图象上，所以满足$xy=k$。AB垂直y轴，可知AB的长度为点A的横坐标$x$，B点坐标为$(0, y)$。由于AB平行于x轴，三角形ABC的面积可通过底AB和高（即点A的纵坐标$y$）计算，结合已知面积为2，建立与$k$的关系，进而求出$k$的值。
【解析】设点A的坐标为$(x, y)$，因为点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，所以$xy = k$（$k＞0$）。
因为$AB⊥y$轴，所以$AB$的长度为$x$，点$B$的坐标为$(0, y)$。
三角形$ABC$的面积$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × y = \frac{1}{2} × x × y$。
已知$S_{△ ABC}=2$，代入得$\frac{1}{2}xy = 2$，即$xy=4$。
又因为$xy=k$，所以$k=4$。
【答案】4
【知识点】反比例函数的几何意义
【点评】本题考查反比例函数中$k$的几何意义，核心是理解过反比例函数上一点作坐标轴垂线形成的三角形面积与$k$的关系，属于基础应用题型，难度不大。
【难度系数】0.6