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1. 历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得$π$的近似值，他的方法被后人称为割圆术. 近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种$π$值的表达式纷纷出现，使得$π$值的计算精度也迅速增加. 华理斯在1655年求出一个公式：$\frac{π}{2}=\frac{2×2×4×4×6×6×···}{1×3×3×5×5×7×···}$，根据该公式绘制出了估计圆周率$π$的近似值的程序框图，如图所示. 执行该程序框图，已知输出的$T＞2.8$，若判断框内填入的条件为$k≥ m$，则正整数$m$的最小值是 （
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2. 已知半径为1的单位圆，其周长$C=2π$. 在
根据几何知识：圆内部正多边形周长$＜$圆周长$＜$圆外部正多边形周长. 设圆内接正$n$边形周长为$C_{\mathrm{内}}$，圆外切正$n$边形周长为$C_{\mathrm{外}}$，则$C_{\mathrm{内}}＜2π＜C_{\mathrm{外}}$. 两边同时除以2，可得圆周率$π$的范围：$\frac{C_{\mathrm{内}}}{2}＜π＜\frac{C_{\mathrm{外}}}{2}$.
（1）请完成下表，并根据表格结果，写出边数分别为6，12，24，48，96时，$π$的估计范围.
（2）随着正多边形的边数的增加，你有什么发现？
B
）A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2. 已知半径为1的单位圆，其周长$C=2π$. 在
根据几何知识：圆内部正多边形周长$＜$圆周长$＜$圆外部正多边形周长. 设圆内接正$n$边形周长为$C_{\mathrm{内}}$，圆外切正$n$边形周长为$C_{\mathrm{外}}$，则$C_{\mathrm{内}}＜2π＜C_{\mathrm{外}}$. 两边同时除以2，可得圆周率$π$的范围：$\frac{C_{\mathrm{内}}}{2}＜π＜\frac{C_{\mathrm{外}}}{2}$.
（1）请完成下表，并根据表格结果，写出边数分别为6，12，24，48，96时，$π$的估计范围.
（2）随着正多边形的边数的增加，你有什么发现？
答案
1. B 提示:根据流程图求代数式的值,再结合不等式进行判断可得,当k=1,T=2时,执行 $T=T · \frac{2k}{2k-1} · \frac{2k}{2k+1},k=1$, 所以 $T=2 × \frac{2×1}{2×1-1} × \frac{2×1}{2×1+1}=2×\frac{2}{1}×\frac{2}{3}=\frac{8}{3}≈2.6667$,所以 $k=k+1=2$. 因为 $T≈2.6667＜2.8$,故不满足输出条件,继续循环. 第二次循环: 执行 $T=T · \frac{2k}{2k-1} · \frac{2k}{2k+1}$,此时 $k=2$,所以 $T=\frac{8}{3}×\frac{4}{3}×\frac{4}{5}=\frac{8}{3}×\frac{16}{15}=\frac{128}{45}≈2.8444$,所以 $k=k+1=3$. 因为 $T≈2.8444＞2.8$,所以当 $k≥3$ 时输出 $T$,正整数 $m$ 的最小值是 3.
2. 解:(1) $3.000 00＜π＜3.464 10,3.105 83＜π＜3.215 39,3.132 63＜π＜3.159 66,3.139 35＜π＜3.146 085,3.141 03＜π＜3.142 715$.
(2) 随着正多边形边数的增加,内部与外部正多边形的周长越来越接近圆周长,π的估计范围越来越精确.(答案不唯一)
2. 解:(1) $3.000 00＜π＜3.464 10,3.105 83＜π＜3.215 39,3.132 63＜π＜3.159 66,3.139 35＜π＜3.146 085,3.141 03＜π＜3.142 715$.
(2) 随着正多边形边数的增加,内部与外部正多边形的周长越来越接近圆周长,π的估计范围越来越精确.(答案不唯一)
