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1. (2026 盐城市东台市期末)如图,阴影部分是一个长方形,则长方形的面积是 （
A.$4\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$5\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$6\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$12\ \mathrm{cm^{2}}$
B
）A.$4\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$5\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$6\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$12\ \mathrm{cm^{2}}$
答案
1.B
2. (2026 扬州市邗江区期末) 如图, 在 $△ A B C$中, $∠ C=90°, A B$ 的垂直平分线分别交$A B, A C$ 于点 $D, E$. 若 $B C=\sqrt{5}, A E:$ $E C=3: 2$, 则 $A B$ 的长为（
A.$\sqrt{41}$
B.$\sqrt{30}$
C.$\sqrt{10}$
D.3
B
）A.$\sqrt{41}$
B.$\sqrt{30}$
C.$\sqrt{10}$
D.3
答案
2.B
3.（2026 淮安市期末）图 1 是第七届国际数学教育大会(ICME - 7)会徽图案，它是由一串有公共顶点$O$的直角三角形(如图 2)演化而成的. 如果图 2 中的$OA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=\dots=A_{7}A_{8}=1$，那么$OA_{8}$的长为（
A.$\sqrt{10}$
B.$4$
C.$3$
D.$\sqrt{8}$
D
）A.$\sqrt{10}$
B.$4$
C.$3$
D.$\sqrt{8}$
答案
3.D
4. (2026 连云港市海州区期末) 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D$在边$BC$上，$AD=BD$，$DE$平分$∠ ADB$交$AB$于点$E$。若$AC=6$，$BC=8$，则$AE$的长为
5
。答案
4.5
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=6$,$M$为$BC$的中点,$MN ⊥ AC$于点$N$,则$MN$的长是
$\dfrac{12}{5}$
.答案
5.$\dfrac{12}{5}$ 提示:连接AM. 因为AB=AC=5,M为BC的中点,所以AM⊥CM,BM=CM=$\dfrac{1}{2}$BC=3.在Rt△ABM中,根据勾股定理,得AM=$\sqrt{AB^2-BM^2}$=4.又因为$S_{△ AMC}=\dfrac{1}{2}MN· AC=\dfrac{1}{2}AM· CM$,所以MN=$\dfrac{AM· CM}{AC}=\dfrac{12}{5}$.
6.（2026 徐州市期末）如
图，在四边形 $ABCD$
中，$∠ BAD=∠ BCD=$
$90°$，$M,N$ 分别是对角
线 $BD,AC$ 的中点. 若
$AC=8$，$BD=12$，则
$MN$ 的长为
图，在四边形 $ABCD$
中，$∠ BAD=∠ BCD=$
$90°$，$M,N$ 分别是对角
线 $BD,AC$ 的中点. 若
$AC=8$，$BD=12$，则
$MN$ 的长为
$2\sqrt{5}$
.答案
6.$2\sqrt{5}$ 提示:连接AM,CM.在Rt△BAD中,M是BD的中点,则AM=$\dfrac{1}{2}$BD=$\dfrac{1}{2}×12$=6.同理可得,CM=$\dfrac{1}{2}$BD=6.所以AM=CM.又因为N是AC的中点,所以MN⊥AC,AN=NC=$\dfrac{1}{2}$AC=4.由勾股定理得,MN=$\sqrt{AM^2-AN^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$.
7. (2025 扬州市邗江区期中)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一,它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷.
(1) 应用一:最短路径问题
如图 1,一只蚂蚁从点 A 沿圆柱侧面爬到相对一侧中点 B 处,如果圆柱的高为 8 cm, 圆柱的底面半径为$\dfrac{3}{π }\ \mathrm{cm}$,那么最短的路线长是
(2) 应用二:解决实际问题
如图 2,某公园有一秋千,秋千静止时,踏板离地的垂直高度 $BE=0.5\ \mathrm{m}$, 将它往前推 2 m 至 C 处时,即水平距离$CD=2\ \mathrm{m}$, 踏板离地的垂直高度 $CF=$1.5 m,它的绳索始终拉直,求绳索 AC的长.
(1) 应用一:最短路径问题
如图 1,一只蚂蚁从点 A 沿圆柱侧面爬到相对一侧中点 B 处,如果圆柱的高为 8 cm, 圆柱的底面半径为$\dfrac{3}{π }\ \mathrm{cm}$,那么最短的路线长是
5
cm.(2) 应用二:解决实际问题
如图 2,某公园有一秋千,秋千静止时,踏板离地的垂直高度 $BE=0.5\ \mathrm{m}$, 将它往前推 2 m 至 C 处时,即水平距离$CD=2\ \mathrm{m}$, 踏板离地的垂直高度 $CF=$1.5 m,它的绳索始终拉直,求绳索 AC的长.
答案
7. 解:(1) 5 提示:将圆柱侧面展开得到平面图形，如图所示，由题意可得，AC=$2π×\dfrac{3}{π}×\dfrac{1}{2}$=3(cm)，BC=$8×\dfrac{1}{2}$=4(cm)，在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}$=5 cm。
(2) 由题意可得，AC=AB，DE=CF=1.5 m，CD=2 m，BE=0.5 m，所以BD=DE-BE=1.5-0.5=1(m)。设AC=x m，则AD=AB-BD=(x-1) m。在Rt△ADC中，∠ADC=90°，因为AD²+DC²=AC²，所以$(x-1)^2+2^2=x^2$，解得x=2.5。故绳索AC的长为2.5 m。
