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1. 下列是各数的大小比较,其中正确的是 （
A.$2\sqrt{3} ＞ 3\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{6} ＜ -\sqrt{8}$
C.$-\dfrac{π}{3} ＜ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$4 ＞ \sqrt[3]{64}$
C
）A.$2\sqrt{3} ＞ 3\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{6} ＜ -\sqrt{8}$
C.$-\dfrac{π}{3} ＜ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$4 ＞ \sqrt[3]{64}$
答案
1. C
2. 已知 $\min\{a,b,c\}$ 表示取三个数中最小的那个数. 例如: $\min\{|-2|,(-2)^2,(-2)^3\}=-8$. 当 $\min\{\sqrt{x},x^2,x\}=\dfrac{1}{16}$ 时, $x$ 的值为（
A.$\dfrac{1}{16}$
B.$\dfrac{1}{8}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$
C
）A.$\dfrac{1}{16}$
B.$\dfrac{1}{8}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
2. C 提示:当$\sqrt{x}=\dfrac{1}{16}$时,$x=\dfrac{1}{256},x＜\sqrt{x}$,不符合题意. 当$x^2=\dfrac{1}{16}$时,$x=\pm\dfrac{1}{4}$,当$x=-\dfrac{1}{4}$时,$x＜x^2$,不符合题意;当$x=\dfrac{1}{4}$时,$\sqrt{x}=\dfrac{1}{2},x^2＜x＜\sqrt{x}$,符合题意. 当$x=\dfrac{1}{16}$时,$x^2=\dfrac{1}{256},x^2＜x$,不符合题意.
综上所述,$x$的值为$\dfrac{1}{4}$.
综上所述,$x$的值为$\dfrac{1}{4}$.
3. 已知$a=\sqrt{2}-1,b=\sqrt{3}-\sqrt{2},c=\sqrt{5}-2$,那么$a , b , c$的大小关系是（
A.$a＜b＜c$
B.$b＜c＜a$
C.$c＜b＜a$
D.$a＜c＜b$
C
）A.$a＜b＜c$
B.$b＜c＜a$
C.$c＜b＜a$
D.$a＜c＜b$
答案
3. C
4. 比较大小：$\dfrac{\sqrt{6}-1}{2}$
＞
$\dfrac{1}{2}.$答案
4. ＞ 提示:因为$\sqrt{6}＞2$,所以$\sqrt{6}-1＞1$,所以$\dfrac{\sqrt{6}-1}{2}＞\dfrac{1}{2}$.
5.【问题情境】一天小明在复习数学的时候，看到课本多次出现无理数$\sqrt{2}$，于是他展开了联想:$\sqrt{2}$有多大? 小数部分是什么样的?能在数轴上表示出来吗? 怎么表示呢?
【实践操作】小明按计算器，发现计算器显示$\sqrt{2}=1.414\ 213\ 56···$，了解到$\sqrt{2}$是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分.随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数$\sqrt{a}$的大小呢? 于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料.材料如下：
【学以致用】$\sqrt{17}$的整数部分是
【拓展应用】小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题:
(1) 写出$-\sqrt{17}+8$介于哪两个相邻整数之间？$|1-\sqrt{3}|$去绝对值等于多少？
(2) 若$|x-\sqrt{3}|=5$，求$x$的值.
【实践操作】小明按计算器，发现计算器显示$\sqrt{2}=1.414\ 213\ 56···$，了解到$\sqrt{2}$是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分.随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数$\sqrt{a}$的大小呢? 于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料.材料如下：
【学以致用】$\sqrt{17}$的整数部分是
4
，小数部分是$\sqrt{17}-4$
.【拓展应用】小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题:
(1) 写出$-\sqrt{17}+8$介于哪两个相邻整数之间？$|1-\sqrt{3}|$去绝对值等于多少？
(2) 若$|x-\sqrt{3}|=5$，求$x$的值.
答案
5. 解:【学以致用】4 $\sqrt{17}-4$ 提示:因为$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$,所以$4＜\sqrt{17}＜5$. 所以$\sqrt{17}$的整数部分是4,小数部分是$\sqrt{17}-4$.
【拓展应用】(1) 因为$4＜\sqrt{17}＜5$,所以$-5＜-\sqrt{17}＜-4$. 所以$3＜-\sqrt{17}+8＜4$.
因为$1＜\sqrt{3}＜2$,所以$-2＜-\sqrt{3}＜-1$. 所以$-1＜1-\sqrt{3}＜0$. 所以$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$.
(2) $|x-\sqrt{3}|=5$,解得$x=\sqrt{3}-5$或$x=\sqrt{3}+5$.
【拓展应用】(1) 因为$4＜\sqrt{17}＜5$,所以$-5＜-\sqrt{17}＜-4$. 所以$3＜-\sqrt{17}+8＜4$.
因为$1＜\sqrt{3}＜2$,所以$-2＜-\sqrt{3}＜-1$. 所以$-1＜1-\sqrt{3}＜0$. 所以$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$.
(2) $|x-\sqrt{3}|=5$,解得$x=\sqrt{3}-5$或$x=\sqrt{3}+5$.
6. 小明在比较$\dfrac{2}{3}$与$\dfrac{3}{4}$的大小时,采用一种不同的方法,写出如下的解题过程:因为$\dfrac{2}{3}-$
$\dfrac{3}{4}=\dfrac{8}{12}-\dfrac{9}{12}=-\dfrac{1}{12}＜0,所以\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}＜0,所$以$\dfrac{2}{3}＜\dfrac{3}{4}$. 这种比较大小的方法通常称为作差法.
(1) 利用上述方法比较$7-\sqrt{11}$与$\sqrt{9}$的大小;
(2) 利用上述方法比较$3a-1$与$2a+1$的大小.
$\dfrac{3}{4}=\dfrac{8}{12}-\dfrac{9}{12}=-\dfrac{1}{12}＜0,所以\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}＜0,所$以$\dfrac{2}{3}＜\dfrac{3}{4}$. 这种比较大小的方法通常称为作差法.
(1) 利用上述方法比较$7-\sqrt{11}$与$\sqrt{9}$的大小;
(2) 利用上述方法比较$3a-1$与$2a+1$的大小.
答案
6. 解: (1) 因为$\sqrt{9}=3$,所以$7 -\sqrt{11}-\sqrt{9}=4-\sqrt{11}＞0$,所以$7-\sqrt{11}＞\sqrt{9}$.
(2) $(3a-1)-(2a+1)=a-2$. 当$a-2＞0$,即$a＞2$时,$3a-1＞2a+1$;当$a-2=0$,即$a=2$时,$3a-1=2a+1$;当$a-2＜0$,即$a＜2$时,$3a-1＜2a+1$.
(2) $(3a-1)-(2a+1)=a-2$. 当$a-2＞0$,即$a＞2$时,$3a-1＞2a+1$;当$a-2=0$,即$a=2$时,$3a-1=2a+1$;当$a-2＜0$,即$a＜2$时,$3a-1＜2a+1$.
