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11 (新定义)定义：$a*b=(a^{b})^{m}+(b^{a})^{n}$($a$，$b$，$m$，$n$均为正整数)，例如：$3*2=(3^{2})^{m}+(2^{3})^{n}$.若$1*4 = 8$，$2*2 = 10$，则$4^{2m + n}$的值为(
A.18
B.24
C.36
D.63
D
)A.18
B.24
C.36
D.63
答案
11. D
12 已知$2^{3}×32 = 4^{n}$，则$n$的值为
4
.答案
12. 4
13 已知$a^{m}=4$，$a^{2m + n}=32$，则$a^{n}$的值为
2
.答案
13. 2
14 已知$x^{2}=m$，$x^{3}=n$，则用含$m$，$n$的代数式表示$x^{11}$为
$ m ^ { 4 } n $（答案不唯一）
.答案
14. $ m ^ { 4 } n $（答案不唯一）
15 (易错题)(2025无锡江阴月考)
（1）若$a + 3b = 4$，求$3^{a}×27^{b}$的值；
（2）若$2^{x}=3$，求$(2^{3x + 2}· 2^{2x})^{2}$的值.
（1）若$a + 3b = 4$，求$3^{a}×27^{b}$的值；
（2）若$2^{x}=3$，求$(2^{3x + 2}· 2^{2x})^{2}$的值.
答案
15. 解：(1) 根据题意，得 $ 3 ^ { a } × 2 7 ^ { b } = 3 ^ { a } × ( 3 ^ { 3 } ) ^ { b } = 3 ^ { a } × 3 ^ { 3 b } = 3 ^ { a + 3 b } $
因为 $ a + 3 b = 4 $，
所以 $ 3 ^ { a } × 2 7 ^ { b } = 3 ^ { 4 } = 8 1 $
(2) 原式 $ = ( 2 ^ { 5 x + 2 } ) ^ { 2 } = 2 ^ { 1 0 x + 4 } = ( 2 ^ { x } ) ^ { 1 0 } × 2 ^ { 4 } = 3 ^ { 1 0 } × 1 6 $
因为 $ a + 3 b = 4 $，
所以 $ 3 ^ { a } × 2 7 ^ { b } = 3 ^ { 4 } = 8 1 $
(2) 原式 $ = ( 2 ^ { 5 x + 2 } ) ^ { 2 } = 2 ^ { 1 0 x + 4 } = ( 2 ^ { x } ) ^ { 1 0 } × 2 ^ { 4 } = 3 ^ { 1 0 } × 1 6 $
16 若$a^{m}=a^{n}$（$a＞0$，且$a≠1$，$m$，$n$是正整数），则$m = n$.已知$(9^{x})^{3}=3^{9}$，求$x$的值.
答案
16. 解：根据题意，得 $ ( 9 ^ { x } ) ^ { 3 } = 3 ^ { 6 x } = 3 ^ { 9 } $，
所以 $ 6 x = 9 $，解得 $ x = \frac { 3 } { 2 } $
所以 $ 6 x = 9 $，解得 $ x = \frac { 3 } { 2 } $
17 (2025扬州仪征期中)已知$n$为正整数，且$x^{2n}=4$，求下列各式的值.
（1）$x^{n}$；
（2）$(x^{3n})^{2}+2(x^{2})^{2n}$.
（1）$x^{n}$；
（2）$(x^{3n})^{2}+2(x^{2})^{2n}$.
答案
17. 解：(1) 根据题意，得 $ x ^ { 2 n } = ( x ^ { n } ) ^ { 2 } = 4 $，
所以 $ x ^ { n } = \pm 2 $
(2) $ ( x ^ { 3 n } ) ^ { 2 } + 2 ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 n } = ( x ^ { 2 n } ) ^ { 3 } + 2 ( x ^ { 2 n } ) ^ { 2 } = 4 ^ { 3 } + 2 × 4 ^ { 2 } = 6 4 + 3 2 = 9 6 $
所以 $ x ^ { n } = \pm 2 $
(2) $ ( x ^ { 3 n } ) ^ { 2 } + 2 ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 n } = ( x ^ { 2 n } ) ^ { 3 } + 2 ( x ^ { 2 n } ) ^ { 2 } = 4 ^ { 3 } + 2 × 4 ^ { 2 } = 6 4 + 3 2 = 9 6 $
18 (2025南京鼓楼月考)请阅读下列材料：若$a^{3}=2$，$b^{5}=3$，比较$a$，$b$的大小关系.
解：根据题意，得$a^{15}=(a^{3})^{5}=2^{5}=32$，$b^{15}=(b^{5})^{3}=3^{3}=27$.
因为$32＞27$，所以$a^{15}＞b^{15}$，所以$a＞b$.
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用的幂的运算性质是
A. 同底数幂的乘法
B. 幂的乘方
(2)已知$a＞0$，$b＞0$，$a^{3}=9$，$b^{2}=8$，试比较$a$，$b$的大小关系.
解：根据题意，得$a^{15}=(a^{3})^{5}=2^{5}=32$，$b^{15}=(b^{5})^{3}=3^{3}=27$.
因为$32＞27$，所以$a^{15}＞b^{15}$，所以$a＞b$.
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用的幂的运算性质是
B
；A. 同底数幂的乘法
B. 幂的乘方
(2)已知$a＞0$，$b＞0$，$a^{3}=9$，$b^{2}=8$，试比较$a$，$b$的大小关系.
答案
18. 解：(1) B
(2) 因为 $ a ^ { 3 } = 9 $，$ b ^ { 2 } = 8 $，所以 $ a ^ { 6 } = ( a ^ { 3 } ) ^ { 2 } = 9 ^ { 2 } = 8 1 $，$ b ^ { 6 } = ( b ^ { 2 } ) ^ { 3 } = 8 ^ { 3 } = 5 1 2 $
因为 $ 8 1 ＜ 5 1 2 $，所以 $ a ^ { 6 } ＜ b ^ { 6 } $
又 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，所以 $ a ＜ b $
(2) 因为 $ a ^ { 3 } = 9 $，$ b ^ { 2 } = 8 $，所以 $ a ^ { 6 } = ( a ^ { 3 } ) ^ { 2 } = 9 ^ { 2 } = 8 1 $，$ b ^ { 6 } = ( b ^ { 2 } ) ^ { 3 } = 8 ^ { 3 } = 5 1 2 $
因为 $ 8 1 ＜ 5 1 2 $，所以 $ a ^ { 6 } ＜ b ^ { 6 } $
又 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，所以 $ a ＜ b $
