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1. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
).A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确矩形是特殊的平行四边形，既拥有平行四边形的所有通用性质，也有自身独有的特殊性质。我们可以先分别回忆平行四边形、矩形的全部性质，再逐一比对四个选项，筛选出仅属于矩形、不属于平行四边形通用性质的选项即可。
【解析】
首先回忆两类图形的性质：
1. 平行四边形的通用性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；
2. 矩形的性质：具备平行四边形的所有性质，同时特有性质为四个角都是直角、对角线相等。
逐个分析选项：
A. 对边相等是平行四边形的通用性质，所有平行四边形都满足，不符合要求；
B. 对角相等是平行四边形的通用性质，所有平行四边形都满足，不符合要求；
C. 对角线相等是矩形特有的性质，普通平行四边形的对角线仅互相平分，长度不一定相等，符合要求；
D. 对角线互相平分是平行四边形的通用性质，所有平行四边形都满足，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的性质、特殊四边形性质辨析
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分普通平行四边形和特殊平行四边形（矩形）的性质差异，解题的关键是熟记两类图形的性质，明确特殊平行四边形兼具通性与独有特性。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确矩形是特殊的平行四边形，既拥有平行四边形的所有通用性质，也有自身独有的特殊性质。我们可以先分别回忆平行四边形、矩形的全部性质，再逐一比对四个选项，筛选出仅属于矩形、不属于平行四边形通用性质的选项即可。
【解析】
首先回忆两类图形的性质：
1. 平行四边形的通用性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；
2. 矩形的性质：具备平行四边形的所有性质，同时特有性质为四个角都是直角、对角线相等。
逐个分析选项：
A. 对边相等是平行四边形的通用性质，所有平行四边形都满足，不符合要求；
B. 对角相等是平行四边形的通用性质，所有平行四边形都满足，不符合要求；
C. 对角线相等是矩形特有的性质，普通平行四边形的对角线仅互相平分，长度不一定相等，符合要求；
D. 对角线互相平分是平行四边形的通用性质，所有平行四边形都满足，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的性质、特殊四边形性质辨析
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分普通平行四边形和特殊平行四边形（矩形）的性质差异，解题的关键是熟记两类图形的性质，明确特殊平行四边形兼具通性与独有特性。
【难度系数】
0.8
2. 如图,小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,有下列四个条件:
①$AB=BC$,②$∠ABC=90°$,③$AC=BD$,④$AC⊥BD$,从中选两个作为补充条件,使$□ ABCD$成为正方形.现有下列四种选法,其中错误的是(
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
①$AB=BC$,②$∠ABC=90°$,③$AC=BD$,④$AC⊥BD$,从中选两个作为补充条件,使$□ ABCD$成为正方形.现有下列四种选法,其中错误的是(
B
).A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
答案
2.B
解析
【分析】
要解决本题，首先明确已知四边形ABCD是平行四边形，而正方形的判定逻辑是：平行四边形需同时满足菱形的判定条件和矩形的判定条件，才能成为正方形。我们只需逐一判断每个选项的两个条件是否分别对应菱形、矩形的判定，即可得出结论。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，我们逐个分析选项：
A. 选①②：①$AB=BC$，说明平行四边形有一组邻边相等，即$ABCD$是菱形；②$∠ ABC=90°$，说明菱形有一个内角是直角，因此$ABCD$是正方形，该选法正确，不符合题意。
B. 选②③：②$∠ ABC=90°$，说明平行四边形有一个内角是直角，即$ABCD$是矩形；矩形的对角线本身就相等，因此③$AC=BD$是矩形的固有性质，添加该条件后仍只能判定是矩形，无法判定是正方形，该选法错误，符合题意。
C. 选①③：①$AB=BC$，说明平行四边形有一组邻边相等，即$ABCD$是菱形；③$AC=BD$，说明菱形的对角线相等，对角线相等的菱形是正方形，因此$ABCD$是正方形，该选法正确，不符合题意。
D. 选②④：②$∠ ABC=90°$，说明平行四边形有一个内角是直角，即$ABCD$是矩形；④$AC⊥ BD$，说明矩形的对角线互相垂直，对角线垂直的矩形是正方形，因此$ABCD$是正方形，该选法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定逻辑，解题关键是理清平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的从属关系，明确正方形需要同时具备菱形和矩形的核心特征，即可快速筛选出错误选项。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确已知四边形ABCD是平行四边形，而正方形的判定逻辑是：平行四边形需同时满足菱形的判定条件和矩形的判定条件，才能成为正方形。我们只需逐一判断每个选项的两个条件是否分别对应菱形、矩形的判定，即可得出结论。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，我们逐个分析选项：
A. 选①②：①$AB=BC$，说明平行四边形有一组邻边相等，即$ABCD$是菱形；②$∠ ABC=90°$，说明菱形有一个内角是直角，因此$ABCD$是正方形，该选法正确，不符合题意。
B. 选②③：②$∠ ABC=90°$，说明平行四边形有一个内角是直角，即$ABCD$是矩形；矩形的对角线本身就相等，因此③$AC=BD$是矩形的固有性质，添加该条件后仍只能判定是矩形，无法判定是正方形，该选法错误，符合题意。
C. 选①③：①$AB=BC$，说明平行四边形有一组邻边相等，即$ABCD$是菱形；③$AC=BD$，说明菱形的对角线相等，对角线相等的菱形是正方形，因此$ABCD$是正方形，该选法正确，不符合题意。
D. 选②④：②$∠ ABC=90°$，说明平行四边形有一个内角是直角，即$ABCD$是矩形；④$AC⊥ BD$，说明矩形的对角线互相垂直，对角线垂直的矩形是正方形，因此$ABCD$是正方形，该选法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定逻辑，解题关键是理清平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的从属关系，明确正方形需要同时具备菱形和矩形的核心特征，即可快速筛选出错误选项。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AH⊥BC于点H.若$BO=4$,$S_{菱形ABCD}=24$,则$AH=\underline{\hspace{5em}}$.
答案
3.$\dfrac{24}{5}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，先求出对角线BD的长度；第二步，结合菱形面积等于对角线乘积的一半的公式，算出另一条对角线AC的长度，进而得到OC的长度；第三步，在Rt△BOC中用勾股定理求出菱形的边长BC；第四步，利用菱形面积等于底×高的另一种计算方式，代入面积和BC的长度，即可求出高AH的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O
∴BD=2BO，AC⊥BD，已知BO=4，
∴BD=2×4=8
∵菱形面积公式为$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD$，且$S_{菱形ABCD}=24$
代入得：$\frac{1}{2}×AC×8=24$，解得$AC=6$
∴$OC=\frac{1}{2}AC=3$
在Rt△BOC中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BO^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
又
∵菱形面积也可表示为$S_{菱形ABCD}=BC· AH$
代入得：$5AH=24$，解得$AH=\frac{24}{5}$
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是典型的菱形性质综合应用题，需要熟练掌握菱形面积的两种计算方法，结合勾股定理求解边长，解题时要注意灵活选择合适的面积公式进行计算。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，先求出对角线BD的长度；第二步，结合菱形面积等于对角线乘积的一半的公式，算出另一条对角线AC的长度，进而得到OC的长度；第三步，在Rt△BOC中用勾股定理求出菱形的边长BC；第四步，利用菱形面积等于底×高的另一种计算方式，代入面积和BC的长度，即可求出高AH的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O
∴BD=2BO，AC⊥BD，已知BO=4，
∴BD=2×4=8
∵菱形面积公式为$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD$，且$S_{菱形ABCD}=24$
代入得：$\frac{1}{2}×AC×8=24$，解得$AC=6$
∴$OC=\frac{1}{2}AC=3$
在Rt△BOC中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BO^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
又
∵菱形面积也可表示为$S_{菱形ABCD}=BC· AH$
代入得：$5AH=24$，解得$AH=\frac{24}{5}$
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是典型的菱形性质综合应用题，需要熟练掌握菱形面积的两种计算方法，结合勾股定理求解边长，解题时要注意灵活选择合适的面积公式进行计算。
【难度系数】
0.7
4. 如图,已知$AB=AE=DC$,$AD=CE$,$CE ⊥ AE$,垂足为$E$.添加一个条件:________,________,使四边形$ABCD$为矩形.
答案
4. $AD=BC$ 或 $AB// CD$ 或 $EC=BC$
解析
【分析】
首先我们先从已知条件入手推导隐含结论：已知AB=AE=DC，AD=CE，结合公共边AC可先证△AEC和△CDA全等，由CE⊥AE可得∠E=90°，进而推出∠D=90°，同时得到AB=CD这组对边相等的条件。要判定四边形ABCD为矩形，根据矩形判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此我们只需要添加条件使四边形ABCD先成为平行四边形即可：可添加另一组对边相等，或添加已有相等对边互相平行，也可添加与CE相等的边得到对边相等的条件。
【解析】
第一步：证△AEC≌△CDA
在△AEC和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}AE=DC\\ CE=AD\\ AC=CA\end{array} $
∴△AEC≌△CDA（SSS）
∵CE⊥AE，
∴∠E=90°，
∴∠D=∠E=90°，且已知AB=DC。
第二步：添加条件推导为矩形：
1. 若添加$\boldsymbol{AD=BC}$：
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
又
∵∠D=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
2. 若添加$\boldsymbol{AB// CD}$：
∵AB=DC且AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又
∵∠D=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形。
3. 若添加$\boldsymbol{EC=BC}$：
∵已知AD=CE，
∴AD=BC，后续同第一种情况，可得四边形ABCD是矩形。
以上三个条件任选其一即可。
【答案】
$AD=BC$（或$AB// CD$，或$EC=BC$，答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定
【点评】
本题为开放性几何题，需要先从已知条件推导隐含的边、角关系，再结合矩形的判定逻辑补充合适的条件，解题时可从平行四边形的判定条件出发寻找合适的添加项，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
首先我们先从已知条件入手推导隐含结论：已知AB=AE=DC，AD=CE，结合公共边AC可先证△AEC和△CDA全等，由CE⊥AE可得∠E=90°，进而推出∠D=90°，同时得到AB=CD这组对边相等的条件。要判定四边形ABCD为矩形，根据矩形判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此我们只需要添加条件使四边形ABCD先成为平行四边形即可：可添加另一组对边相等，或添加已有相等对边互相平行，也可添加与CE相等的边得到对边相等的条件。
【解析】
第一步：证△AEC≌△CDA
在△AEC和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}AE=DC\\ CE=AD\\ AC=CA\end{array} $
∴△AEC≌△CDA（SSS）
∵CE⊥AE，
∴∠E=90°，
∴∠D=∠E=90°，且已知AB=DC。
第二步：添加条件推导为矩形：
1. 若添加$\boldsymbol{AD=BC}$：
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
又
∵∠D=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
2. 若添加$\boldsymbol{AB// CD}$：
∵AB=DC且AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又
∵∠D=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形。
3. 若添加$\boldsymbol{EC=BC}$：
∵已知AD=CE，
∴AD=BC，后续同第一种情况，可得四边形ABCD是矩形。
以上三个条件任选其一即可。
【答案】
$AD=BC$（或$AB// CD$，或$EC=BC$，答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定
【点评】
本题为开放性几何题，需要先从已知条件推导隐含的边、角关系，再结合矩形的判定逻辑补充合适的条件，解题时可从平行四边形的判定条件出发寻找合适的添加项，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
5. 平行四边形内角平分线能够围成的四边形(
A.是梯形
B.是矩形
C.是正方形
D.不是平行四边形
B
).A.是梯形
B.是矩形
C.是正方形
D.不是平行四边形
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形邻角互补的性质，结合角平分线的定义推导围成四边形的内角度数特征，再结合特殊四边形的判定定理判断类型。首先平行四边形相邻内角和为180°，两个邻角的角平分线将角各分一半，可得两个半角之和为90°，即两条角平分线的夹角为直角，同理可证围成的四边形四个内角都是直角，结合矩形判定即可得结论；同时注意正方形需要原平行四边形为菱形的额外限定，本题无相关条件，因此不选正方形。
【解析】
设平行四边形为ABCD，∠BAD和∠ABC是它的一组邻角：
1. 根据平行四边形性质，AD//BC，因此∠BAD + ∠ABC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）；
2. 设AE平分∠BAD，BG平分∠ABC，根据角平分线定义可得：$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ ABG=\frac{1}{2}∠ ABC$；
3. 计算得$∠ BAE+∠ ABG=\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ ABC)=\frac{1}{2}×180°=90°$，因此$∠ AEB=180°-90°=90°$，即围成四边形的一个内角为直角；
4. 同理可证该四边形其余三个内角均为90°，根据“四个角都是直角的四边形是矩形”，可判定围成的四边形是矩形。
另外，只有原平行四边形为菱形时，围成的四边形才是正方形，本题无该限定，因此C错误；该四边形四个角都是直角，必然是平行四边形，不是梯形，因此A、D错误。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；矩形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，将平行四边形性质与特殊四边形的判定相结合，解题核心是通过角度运算推导新四边形的内角特征，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形邻角互补的性质，结合角平分线的定义推导围成四边形的内角度数特征，再结合特殊四边形的判定定理判断类型。首先平行四边形相邻内角和为180°，两个邻角的角平分线将角各分一半，可得两个半角之和为90°，即两条角平分线的夹角为直角，同理可证围成的四边形四个内角都是直角，结合矩形判定即可得结论；同时注意正方形需要原平行四边形为菱形的额外限定，本题无相关条件，因此不选正方形。
【解析】
设平行四边形为ABCD，∠BAD和∠ABC是它的一组邻角：
1. 根据平行四边形性质，AD//BC，因此∠BAD + ∠ABC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）；
2. 设AE平分∠BAD，BG平分∠ABC，根据角平分线定义可得：$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ ABG=\frac{1}{2}∠ ABC$；
3. 计算得$∠ BAE+∠ ABG=\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ ABC)=\frac{1}{2}×180°=90°$，因此$∠ AEB=180°-90°=90°$，即围成四边形的一个内角为直角；
4. 同理可证该四边形其余三个内角均为90°，根据“四个角都是直角的四边形是矩形”，可判定围成的四边形是矩形。
另外，只有原平行四边形为菱形时，围成的四边形才是正方形，本题无该限定，因此C错误；该四边形四个角都是直角，必然是平行四边形，不是梯形，因此A、D错误。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；矩形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，将平行四边形性质与特殊四边形的判定相结合，解题核心是通过角度运算推导新四边形的内角特征，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
6. 如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上. 若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是$S_1,S_2$，则$S_1,S_2$的大小关系是(
A.$S_1＜S_2$
B.$S_1＞S_2$
C.$S_1=S_2$
D.$3S_1=2S_2$
C
).A.$S_1＜S_2$
B.$S_1＞S_2$
C.$S_1=S_2$
D.$3S_1=2S_2$
答案
6.C
解析
【分析】
要比较两个矩形的面积大小，直接计算各自的长和宽较难，可通过中间量关联两个面积。首先，矩形的对角线会把矩形分成两个面积相等的三角形，因此矩形ABCD的面积是△ABC面积的2倍。再看矩形AEFC，EF和AC是矩形的对边互相平行，点B在EF上，因此点B到AC的距离等于矩形AEFC的边AE的长度，可得△ABC的面积也是矩形AEFC面积的一半，由此可推出两个矩形的面积关系。
【解析】
解：
∵矩形ABCD的对角线AC将矩形分为两个全等的三角形，
∴ $ S_1 = 2S_{△ ABC} $。
∵四边形AEFC是矩形，
∴EF//AC，AE为平行线EF与AC之间的距离，
∵点B在EF边上，
∴点B到AC的距离等于AE的长度，
∴ $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × AE $，
又
∵矩形AEFC的面积 $ S_2 = AC × AE $，
∴ $ S_2 = 2S_{△ ABC} $，
∴ $ S_1 = S_2 $。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，平行线间的距离
【点评】
本题借助三角形面积作为中间桥梁关联两个矩形的面积，解题核心是发现两个矩形的面积均等于△ABC面积的2倍，无需计算具体数值即可完成比较，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
要比较两个矩形的面积大小，直接计算各自的长和宽较难，可通过中间量关联两个面积。首先，矩形的对角线会把矩形分成两个面积相等的三角形，因此矩形ABCD的面积是△ABC面积的2倍。再看矩形AEFC，EF和AC是矩形的对边互相平行，点B在EF上，因此点B到AC的距离等于矩形AEFC的边AE的长度，可得△ABC的面积也是矩形AEFC面积的一半，由此可推出两个矩形的面积关系。
【解析】
解：
∵矩形ABCD的对角线AC将矩形分为两个全等的三角形，
∴ $ S_1 = 2S_{△ ABC} $。
∵四边形AEFC是矩形，
∴EF//AC，AE为平行线EF与AC之间的距离，
∵点B在EF边上，
∴点B到AC的距离等于AE的长度，
∴ $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × AE $，
又
∵矩形AEFC的面积 $ S_2 = AC × AE $，
∴ $ S_2 = 2S_{△ ABC} $，
∴ $ S_1 = S_2 $。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，平行线间的距离
【点评】
本题借助三角形面积作为中间桥梁关联两个矩形的面积，解题核心是发现两个矩形的面积均等于△ABC面积的2倍，无需计算具体数值即可完成比较，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在正方形ABCD中,P为对角线BD上一点,PE⊥BC垂足为E,PF⊥CD垂足为F,求证:EF=AP.
答案
EF=AP，证明成立。
解析
【分析】
要证明EF=AP，可通过等量代换的思路解题：①首先观察到PE⊥BC、PF⊥CD，正方形的∠C为直角，可判定四边形PECF是矩形，根据矩形对角线相等可得EF=PC；②接下来只需证明AP=PC即可，可通过证明△ABP与△CBP全等，利用全等三角形对应边相等得到AP=PC，最终等量代换得证结论。
【解析】
证明：连接PC，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠C=90°，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
∵ PE⊥BC，PF⊥CD，
∴ ∠PEC=∠PFC=90°，
∴ 四边形PECF是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
∴ EF=PC（矩形的对角线相等），
在△ABP和△CBP中：
$\{\begin{array}{l}AB=CB \\∠ABP=∠CBP \\BP=BP\end{array} $
∴ △ABP≌△CBP（SAS），
∴ AP=CP（全等三角形对应边相等），
又
∵ EF=PC，
∴ EF=AP。
【答案】
EF=AP，证明成立。
【知识点】
正方形的性质；矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查特殊四边形性质与全等三角形的综合应用，解题核心是通过构造辅助线找到连接两条待证线段的中间量，运用等量代换思想完成证明，是几何证明题的典型考法。
【难度系数】
0.7
要证明EF=AP，可通过等量代换的思路解题：①首先观察到PE⊥BC、PF⊥CD，正方形的∠C为直角，可判定四边形PECF是矩形，根据矩形对角线相等可得EF=PC；②接下来只需证明AP=PC即可，可通过证明△ABP与△CBP全等，利用全等三角形对应边相等得到AP=PC，最终等量代换得证结论。
【解析】
证明：连接PC，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠C=90°，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
∵ PE⊥BC，PF⊥CD，
∴ ∠PEC=∠PFC=90°，
∴ 四边形PECF是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
∴ EF=PC（矩形的对角线相等），
在△ABP和△CBP中：
$\{\begin{array}{l}AB=CB \\∠ABP=∠CBP \\BP=BP\end{array} $
∴ △ABP≌△CBP（SAS），
∴ AP=CP（全等三角形对应边相等），
又
∵ EF=PC，
∴ EF=AP。
【答案】
EF=AP，证明成立。
【知识点】
正方形的性质；矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查特殊四边形性质与全等三角形的综合应用，解题核心是通过构造辅助线找到连接两条待证线段的中间量，运用等量代换思想完成证明，是几何证明题的典型考法。
【难度系数】
0.7
