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7. 在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,O是AC的中点,AD//BC,AC=8,BD=6.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若AC⊥BD,求$□ ABCD$的面积.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若AC⊥BD,求$□ ABCD$的面积.
答案
(1)略
(2) 24
(2) 24
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ABCD是平行四边形，已知O是AC中点，AD//BC，可先通过平行线的性质得到内错角相等，结合对顶角相等、AO=CO证明△AOD≌△COB，得到OD=OB，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得证；
(2) 当AC⊥BD时，可将平行四边形的面积拆分为△ABD和△BCD的面积之和，利用三角形面积公式代入AC、BD的长度计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ O是AC的中点，
∴ AO=CO，
∵ AD//BC，
∴ ∠OAD=∠OCB，
在△AOD和△COB中：
$\{\begin{array}{l}∠OAD=∠OCB \\AO=CO \\∠AOD=∠COB\end{array} $
∴ △AOD≌△COB（ASA），
∴ OD=OB，
又
∵ AO=CO，即四边形ABCD的对角线互相平分，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
(2) 解：
∵ AC⊥BD，
∴ 平行四边形ABCD的面积$S = S_{△ABD} + S_{△BCD}$，
$S_{△ABD}=\frac{1}{2} × BD × AO$，$S_{△BCD}=\frac{1}{2} × BD × CO$，
∴ $S=\frac{1}{2} × BD × AO + \frac{1}{2} × BD × CO = \frac{1}{2} × BD × (AO+CO) = \frac{1}{2} × BD × AC$，
代入AC=8，BD=6得：
$S=\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boxed{24}$
【知识点】
平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，四边形面积计算
【点评】
本题属于几何基础题，既考察了平行四边形的判定定理，也考察了对角线垂直的四边形面积的计算方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的证明方法，以及合理拆分图形计算面积。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明四边形ABCD是平行四边形，已知O是AC中点，AD//BC，可先通过平行线的性质得到内错角相等，结合对顶角相等、AO=CO证明△AOD≌△COB，得到OD=OB，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得证；
(2) 当AC⊥BD时，可将平行四边形的面积拆分为△ABD和△BCD的面积之和，利用三角形面积公式代入AC、BD的长度计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ O是AC的中点，
∴ AO=CO，
∵ AD//BC，
∴ ∠OAD=∠OCB，
在△AOD和△COB中：
$\{\begin{array}{l}∠OAD=∠OCB \\AO=CO \\∠AOD=∠COB\end{array} $
∴ △AOD≌△COB（ASA），
∴ OD=OB，
又
∵ AO=CO，即四边形ABCD的对角线互相平分，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
(2) 解：
∵ AC⊥BD，
∴ 平行四边形ABCD的面积$S = S_{△ABD} + S_{△BCD}$，
$S_{△ABD}=\frac{1}{2} × BD × AO$，$S_{△BCD}=\frac{1}{2} × BD × CO$，
∴ $S=\frac{1}{2} × BD × AO + \frac{1}{2} × BD × CO = \frac{1}{2} × BD × (AO+CO) = \frac{1}{2} × BD × AC$，
代入AC=8，BD=6得：
$S=\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boxed{24}$
【知识点】
平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，四边形面积计算
【点评】
本题属于几何基础题，既考察了平行四边形的判定定理，也考察了对角线垂直的四边形面积的计算方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的证明方法，以及合理拆分图形计算面积。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在$□ ABCD$中,$AD=2AB$,F是AD的中点,过点 C 作$CE⊥AB$于点 E,连结 EF,CF,有下列结论:①$∠DCF=\frac {1}{2}∠BCD$;②$EF=CF$;③$S_{△ BEC}=2S_{△ CEF}$;④$∠DFE=3∠AEF$.其中正确的结论是
①②④
.(填序号)答案
8. ①②④
解析
【分析】
要判断四个结论是否正确，我们结合平行四边形的性质、等腰三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质逐个验证：
1. 验证结论①：利用“AD=2AB，F是AD中点”可得DF=CD，结合AD//BC推出角相等，即可判断CF是否平分∠BCD；
2. 验证结论②：可延长EF交CD的延长线于点G，通过证明△AEF≌△DGF得到EF=FG，再结合CE⊥AB、AB//CD得△ECG是直角三角形，利用直角三角形斜边中线性质即可判断；
3. 验证结论③：分别表示出两个三角形的面积，对比即可判断是否存在2倍关系；
4. 验证结论④：设∠AEF=x，利用等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质，推导∠DFE与x的关系即可判断。
【解析】
我们逐个分析结论：
结论①
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AD//BC，AD=BC。
∵ AD=2AB，F是AD中点，
∴ $DF=\frac{1}{2}AD=AB=CD$，
∴ △DFC是等腰三角形，∠DFC=∠DCF。
又
∵ AD//BC，
∴ ∠DFC=∠BCF，
∴ ∠DCF=∠BCF，即$∠DCF=\frac{1}{2}∠BCD$，故①正确。
结论②
延长EF，交CD的延长线于点G。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠A=∠FDG。
∵ F是AD中点，
∴ AF=FD。
在△AEF和△DGF中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠FDG \\AF=FD \\∠AFE=∠DFG\end{array} $
∴ △AEF≌△DGF（ASA），
∴ EF=FG，即F是EG的中点。
∵ CE⊥AB，AB//CD，
∴ CE⊥CD，即△ECG是直角三角形，∠ECG=90°。
∵ 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $CF=\frac{1}{2}EG=EF$，故②正确。
结论③
∵ F是EG中点，
∴ $S_{△CEF}=S_{△CFG}=\frac{1}{2}S_{△CEG}$。
$S_{△CEG}=\frac{1}{2}×CE×CG$，$CG=CD+DG=AB+AE$；
$S_{△BEC}=\frac{1}{2}×CE×BE$，$BE=AB-AE$。
显然$AB+AE$与$2(AB-AE)$不一定相等，因此$S_{△BEC}$不一定等于$2S_{△CEF}$，故③错误。
结论④
设∠AEF=x，
∵ AB//CD，
∴ ∠G=∠AEF=x，
∵ CF=FG，
∴ ∠FCG=∠G=x，
∴ ∠EFC=∠G+∠FCG=2x，
由结论①知∠DFC=∠DCF=x，
∴ ∠DFE=∠EFC+∠DFC=2x+x=3x=3∠AEF，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形、等腰三角形、全等三角形、直角三角形的相关性质，解题的关键是合理作出辅助线，利用全等三角形转化线段和角的关系，逐个验证结论。
【难度系数】
0.65
要判断四个结论是否正确，我们结合平行四边形的性质、等腰三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质逐个验证：
1. 验证结论①：利用“AD=2AB，F是AD中点”可得DF=CD，结合AD//BC推出角相等，即可判断CF是否平分∠BCD；
2. 验证结论②：可延长EF交CD的延长线于点G，通过证明△AEF≌△DGF得到EF=FG，再结合CE⊥AB、AB//CD得△ECG是直角三角形，利用直角三角形斜边中线性质即可判断；
3. 验证结论③：分别表示出两个三角形的面积，对比即可判断是否存在2倍关系；
4. 验证结论④：设∠AEF=x，利用等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质，推导∠DFE与x的关系即可判断。
【解析】
我们逐个分析结论：
结论①
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AD//BC，AD=BC。
∵ AD=2AB，F是AD中点，
∴ $DF=\frac{1}{2}AD=AB=CD$，
∴ △DFC是等腰三角形，∠DFC=∠DCF。
又
∵ AD//BC，
∴ ∠DFC=∠BCF，
∴ ∠DCF=∠BCF，即$∠DCF=\frac{1}{2}∠BCD$，故①正确。
结论②
延长EF，交CD的延长线于点G。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠A=∠FDG。
∵ F是AD中点，
∴ AF=FD。
在△AEF和△DGF中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠FDG \\AF=FD \\∠AFE=∠DFG\end{array} $
∴ △AEF≌△DGF（ASA），
∴ EF=FG，即F是EG的中点。
∵ CE⊥AB，AB//CD，
∴ CE⊥CD，即△ECG是直角三角形，∠ECG=90°。
∵ 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $CF=\frac{1}{2}EG=EF$，故②正确。
结论③
∵ F是EG中点，
∴ $S_{△CEF}=S_{△CFG}=\frac{1}{2}S_{△CEG}$。
$S_{△CEG}=\frac{1}{2}×CE×CG$，$CG=CD+DG=AB+AE$；
$S_{△BEC}=\frac{1}{2}×CE×BE$，$BE=AB-AE$。
显然$AB+AE$与$2(AB-AE)$不一定相等，因此$S_{△BEC}$不一定等于$2S_{△CEF}$，故③错误。
结论④
设∠AEF=x，
∵ AB//CD，
∴ ∠G=∠AEF=x，
∵ CF=FG，
∴ ∠FCG=∠G=x，
∴ ∠EFC=∠G+∠FCG=2x，
由结论①知∠DFC=∠DCF=x，
∴ ∠DFE=∠EFC+∠DFC=2x+x=3x=3∠AEF，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形、等腰三角形、全等三角形、直角三角形的相关性质，解题的关键是合理作出辅助线，利用全等三角形转化线段和角的关系，逐个验证结论。
【难度系数】
0.65
9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连结ED，EB，FD，FB.给出以下结论：①$BE// DF$；②$BE=DF$；③$AE=CF$. 请你从中选取一个条件，使$∠1=∠2$成立，并给出证明.
答案
9. 选取①或③,证明略
解析
【分析】
要证$∠ 1=∠ 2$，观察图形可知$∠ 1$和$∠ 2$是直线$ED$、$BF$被对角线$AC$所截形成的内错角，因此只需证明$ED// BF$即可，进一步可通过证明四边形$BEDF$是平行四边形实现。结合平行四边形$ABCD$对角线互相平分的性质，我们可从给出的三个结论中选取合适条件，推导四边形$BEDF$为平行四边形即可完成证明。这里以选取③$AE=CF$为例讲解思路：先设$AC$与$BD$交于点$O$，根据平行四边形性质得$OA=OC$、$OB=OD$，结合$AE=CF$推出$OE=OF$，即四边形$BEDF$对角线互相平分，可判定其为平行四边形，进而得到$ED// BF$，推出内错角$∠ 1=∠ 2$。
【解析】
我们以选取条件③$AE=CF$为例，证明如下：
设对角线$AC$、$BD$交于点$O$。
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OA=OC$，$OB=OD$。
2. 已知$AE=CF$，因此$OA-AE=OC-CF$，即$OE=OF$。
3. 由于$OB=OD$且$OE=OF$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定四边形$BEDF$是平行四边形。
4. 所以$ED// BF$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 1=∠ 2$。
（若选取条件①$BE// DF$，证明如下：
设对角线$AC$、$BD$交于点$O$。
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OB=OD$。
2. 已知$BE// DF$，可得$∠ BEO=∠ DFO$，又$∠ BOE=∠ DOF$（对顶角相等），因此$△ BOE≌△ DOF$（AAS）。
3. 由全等得$OE=OF$，结合$OB=OD$，可判定四边形$BEDF$是平行四边形，因此$ED// BF$，故$∠ 1=∠ 2$。）
【答案】
选取条件①$BE// DF$或③$AE=CF$均可使$∠ 1=∠ 2$成立。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题为开放性几何证明题，解题思路灵活，核心是将证角相等的问题转化为证线平行，再转化为平行四边形的判定问题，需要熟练掌握平行四边形相关定理，能锻炼逻辑推导和条件转化的能力。
【难度系数】
0.7
要证$∠ 1=∠ 2$，观察图形可知$∠ 1$和$∠ 2$是直线$ED$、$BF$被对角线$AC$所截形成的内错角，因此只需证明$ED// BF$即可，进一步可通过证明四边形$BEDF$是平行四边形实现。结合平行四边形$ABCD$对角线互相平分的性质，我们可从给出的三个结论中选取合适条件，推导四边形$BEDF$为平行四边形即可完成证明。这里以选取③$AE=CF$为例讲解思路：先设$AC$与$BD$交于点$O$，根据平行四边形性质得$OA=OC$、$OB=OD$，结合$AE=CF$推出$OE=OF$，即四边形$BEDF$对角线互相平分，可判定其为平行四边形，进而得到$ED// BF$，推出内错角$∠ 1=∠ 2$。
【解析】
我们以选取条件③$AE=CF$为例，证明如下：
设对角线$AC$、$BD$交于点$O$。
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OA=OC$，$OB=OD$。
2. 已知$AE=CF$，因此$OA-AE=OC-CF$，即$OE=OF$。
3. 由于$OB=OD$且$OE=OF$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定四边形$BEDF$是平行四边形。
4. 所以$ED// BF$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 1=∠ 2$。
（若选取条件①$BE// DF$，证明如下：
设对角线$AC$、$BD$交于点$O$。
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OB=OD$。
2. 已知$BE// DF$，可得$∠ BEO=∠ DFO$，又$∠ BOE=∠ DOF$（对顶角相等），因此$△ BOE≌△ DOF$（AAS）。
3. 由全等得$OE=OF$，结合$OB=OD$，可判定四边形$BEDF$是平行四边形，因此$ED// BF$，故$∠ 1=∠ 2$。）
【答案】
选取条件①$BE// DF$或③$AE=CF$均可使$∠ 1=∠ 2$成立。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题为开放性几何证明题，解题思路灵活，核心是将证角相等的问题转化为证线平行，再转化为平行四边形的判定问题，需要熟练掌握平行四边形相关定理，能锻炼逻辑推导和条件转化的能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,$A(1,3)$,$B(2,1)$,直角坐标系中存在点 C,使得 O,A,B,C 四点构成平行四边形,则点 C 的坐标为________.
答案
10. (3,4)或(1,-2)或(-1,2)
解析
【分析】
题目未明确平行四边形的顶点排列顺序，因此需分三种情况讨论：分别以OA、OB、AB为平行四边形的对角线，结合平行四边形“对角线互相平分”的性质，利用中点坐标公式（两点的中点横、纵坐标分别为两点横、纵坐标的平均值），即可求出对应C点的坐标。
【解析】
设点C的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
1. 当AB为平行四边形的对角线时，AB与OC的中点重合：
AB的中点坐标为$(\frac{1+2}{2},\frac{3+1}{2})=(1.5,2)$，
OC的中点坐标为$(\frac{0+x}{2},\frac{0+y}{2})$，
因此$\frac{x}{2}=1.5$，$\frac{y}{2}=2$，解得$x=3,y=4$，即$C(3,4)$；
2. 当OA为平行四边形的对角线时，OA与BC的中点重合：
OA的中点坐标为$(\frac{1+0}{2},\frac{3+0}{2})=(0.5,1.5)$，
BC的中点坐标为$(\frac{2+x}{2},\frac{1+y}{2})$，
因此$\frac{2+x}{2}=0.5$，$\frac{1+y}{2}=1.5$，解得$x=-1,y=2$，即$C(-1,2)$；
3. 当OB为平行四边形的对角线时，OB与AC的中点重合：
OB的中点坐标为$(\frac{2+0}{2},\frac{1+0}{2})=(1,0.5)$，
AC的中点坐标为$(\frac{1+x}{2},\frac{3+y}{2})$，
因此$\frac{1+x}{2}=1$，$\frac{3+y}{2}=0.5$，解得$x=1,y=-2$，即$C(1,-2)$。
【答案】
$(3,4)$或$(1,-2)$或$(-1,2)$
【知识点】
平行四边形的性质；中点坐标公式；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略顶点顺序不确定的情况导致漏解，解题时只需将三个已知点的两两连线依次作为对角线分类讨论，结合平行四边形对角线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
题目未明确平行四边形的顶点排列顺序，因此需分三种情况讨论：分别以OA、OB、AB为平行四边形的对角线，结合平行四边形“对角线互相平分”的性质，利用中点坐标公式（两点的中点横、纵坐标分别为两点横、纵坐标的平均值），即可求出对应C点的坐标。
【解析】
设点C的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
1. 当AB为平行四边形的对角线时，AB与OC的中点重合：
AB的中点坐标为$(\frac{1+2}{2},\frac{3+1}{2})=(1.5,2)$，
OC的中点坐标为$(\frac{0+x}{2},\frac{0+y}{2})$，
因此$\frac{x}{2}=1.5$，$\frac{y}{2}=2$，解得$x=3,y=4$，即$C(3,4)$；
2. 当OA为平行四边形的对角线时，OA与BC的中点重合：
OA的中点坐标为$(\frac{1+0}{2},\frac{3+0}{2})=(0.5,1.5)$，
BC的中点坐标为$(\frac{2+x}{2},\frac{1+y}{2})$，
因此$\frac{2+x}{2}=0.5$，$\frac{1+y}{2}=1.5$，解得$x=-1,y=2$，即$C(-1,2)$；
3. 当OB为平行四边形的对角线时，OB与AC的中点重合：
OB的中点坐标为$(\frac{2+0}{2},\frac{1+0}{2})=(1,0.5)$，
AC的中点坐标为$(\frac{1+x}{2},\frac{3+y}{2})$，
因此$\frac{1+x}{2}=1$，$\frac{3+y}{2}=0.5$，解得$x=1,y=-2$，即$C(1,-2)$。
【答案】
$(3,4)$或$(1,-2)$或$(-1,2)$
【知识点】
平行四边形的性质；中点坐标公式；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略顶点顺序不确定的情况导致漏解，解题时只需将三个已知点的两两连线依次作为对角线分类讨论，结合平行四边形对角线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
