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8. 如图, 在矩形$ABCD$中, 以点$B$为圆心、$BC$长为半径画弧,交$AD$边于点$E$,连结$BE$,过点$C$作$CF⊥ BE$,垂足为$F$.猜想线段$BF$与图中现有的哪一条线段相等?将你猜想出的结论填写在下面的横线上,并加以证明.
结论:$BF=\_\_\_\_\_\_$.
证明:
结论:$BF=\_\_\_\_\_\_$.
证明:
答案
8.AE,
证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ A = 90°，$$AD // BC，$
∴ $∠ AEB = ∠ FBC。$
由作图可知，$BE = BC。$
∵ $CF ⊥ BE，$
∴ $∠ BFC = 90°，$
∴ $∠ A = ∠ BFC。$
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ BFC \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ FCB$（AAS），
∴ $BF = AE。$
证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ A = 90°，$$AD // BC，$
∴ $∠ AEB = ∠ FBC。$
由作图可知，$BE = BC。$
∵ $CF ⊥ BE，$
∴ $∠ BFC = 90°，$
∴ $∠ A = ∠ BFC。$
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ BFC \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ FCB$（AAS），
∴ $BF = AE。$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件分析：首先由矩形的性质可得∠A=90°且AD//BC，能推出内错角∠AEB=∠FBC；由作图可知BE和BC都是圆的半径，故BE=BC；再结合CF⊥BE得∠BFC=90°，可发现△ABE和△FCB均为直角三角形，且满足两角及一角对边相等的全等条件，证明两个三角形全等后，对应边相等即可得到BF对应的相等线段。
【解析】
结论：$BF=AE$
证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ A = 90°$，$AD // BC$，
∴ $∠ AEB = ∠ FBC$。
由作图可知，$BE = BC$。
∵ $CF ⊥ BE$，
∴ $∠ BFC = 90°$，
∴ $∠ A = ∠ BFC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ BFC \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ FCB$（AAS），
∴ $BF = AE$。
【答案】
$AE$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将矩形、全等三角形、圆的基础知识点相结合，解题的核心是通过已知条件挖掘三角形全等的判定条件，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件分析：首先由矩形的性质可得∠A=90°且AD//BC，能推出内错角∠AEB=∠FBC；由作图可知BE和BC都是圆的半径，故BE=BC；再结合CF⊥BE得∠BFC=90°，可发现△ABE和△FCB均为直角三角形，且满足两角及一角对边相等的全等条件，证明两个三角形全等后，对应边相等即可得到BF对应的相等线段。
【解析】
结论：$BF=AE$
证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ A = 90°$，$AD // BC$，
∴ $∠ AEB = ∠ FBC$。
由作图可知，$BE = BC$。
∵ $CF ⊥ BE$，
∴ $∠ BFC = 90°$，
∴ $∠ A = ∠ BFC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ BFC \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ FCB$（AAS），
∴ $BF = AE$。
【答案】
$AE$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将矩形、全等三角形、圆的基础知识点相结合，解题的核心是通过已知条件挖掘三角形全等的判定条件，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,分别以$△ ABC$的三边为边在$BC$的同侧作三个等边三角形$△ ABD$, $△ BCE,△ ACF$.
(1) 求证:四边形$AFED$是平行四边形.
(2) 当$△ ABC$满足什么条件时,四边形$AFED$是矩形?
(3) 当$△ ABC$满足什么条件时,四边形$AFED$是菱形?
(4) 对于任意$△ ABC$,$□ AFED$是否总存在?
(1) 求证:四边形$AFED$是平行四边形.
(2) 当$△ ABC$满足什么条件时,四边形$AFED$是矩形?
(3) 当$△ ABC$满足什么条件时,四边形$AFED$是菱形?
(4) 对于任意$△ ABC$,$□ AFED$是否总存在?
答案
9.(1)略
(2) 当$∠BAC=150°$时
(3) 当$∠BAC≠60°$且$AB=AC$时
(4) 当$∠BAC=60°$时,不存在
(2) 当$∠BAC=150°$时
(3) 当$∠BAC≠60°$且$AB=AC$时
(4) 当$∠BAC=60°$时,不存在
解析
【分析】
(1) 要证四边形AFED是平行四边形，可证两组对边分别相等：利用等边三角形边相等、角相等的性质，通过SAS证明△DBE≌△ABC、△ABC≌△FEC，得到DE=AF、AD=EF即可得证。
(2) 平行四边形要为矩形，需有一个内角为直角，结合等边三角形内角为60°，计算∠DAF=90°时对应的∠BAC的度数即可。
(3) 平行四边形要为菱形，需邻边相等，即AB=AC，同时需排除D、A、F三点共线无法构成四边形的情况，即∠BAC≠60°。
(4) 判断是否总存在，需看是否存在三点共线的情况：当∠BAC=60°时，D、A、F共线，无法构成四边形。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABD、△BCE均为等边三角形，
∴$BD=BA$，$BE=BC$，$∠ DBA=∠ EBC=60°$，
∴$∠ DBA - ∠ EBA = ∠ EBC - ∠ EBA$，即$∠ DBE=∠ ABC$。
在△DBE和△ABC中，
$\begin{cases} BD=BA \\ ∠ DBE=∠ ABC \\ BE=BC \end{cases}$
∴$△ DBE≌△ ABC(\mathrm{SAS})$，
∴$DE=AC$。
∵△ACF是等边三角形，
∴$AC=AF$，
∴$DE=AF$。
同理可证$△ ABC≌△ FEC$，得$EF=AB$，
又
∵△ABD是等边三角形，
∴$AB=AD$，
∴$EF=AD$。
∴四边形AFED的两组对边分别相等，故四边形AFED是平行四边形。
(2) 解：若四边形AFED是矩形，则平行四边形的内角$∠ DAF=90°$。
∵△ABD、△ACF是等边三角形，
∴$∠ DAB=∠ FAC=60°$，
∴$∠ DAF=360° - ∠ DAB - ∠ FAC - ∠ BAC = 360° - 60° - 60° - ∠ BAC = 240° - ∠ BAC$，
令$240° - ∠ BAC = 90°$，解得$∠ BAC=150°$。
(3) 解：若四边形AFED是菱形，则平行四边形邻边$AD=AF$。
∵$AD=AB$（等边△ABD的边），$AF=AC$（等边△ACF的边），
∴$AB=AC$。
当$∠ BAC=60°$时，$∠ DAF=240° - 60°=180°$，即D、A、F三点共线，无法构成四边形，因此需满足$∠ BAC≠60°$。
(4) 解：不是总存在。当$∠ BAC=60°$时，$∠ DAF=180°$，点D、A、F在同一条直线上，无法构成四边形AFED，因此$□ AFED$不是对任意△ABC都存在。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 当$∠BAC=150°$时；
(3) 当$∠BAC≠60°$且$AB=AC$时；
(4) 不是总存在，当$∠BAC=60°$时不存在。
【知识点】
等边三角形的性质，平行四边形的判定，特殊平行四边形的判定
【点评】
本题综合考查了三角形全等、等边三角形性质与特殊四边形的判定，解题核心是通过全等三角形转化边的等量关系，分析特殊四边形的条件时要注意三点共线的特殊情况，需全面思考避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证四边形AFED是平行四边形，可证两组对边分别相等：利用等边三角形边相等、角相等的性质，通过SAS证明△DBE≌△ABC、△ABC≌△FEC，得到DE=AF、AD=EF即可得证。
(2) 平行四边形要为矩形，需有一个内角为直角，结合等边三角形内角为60°，计算∠DAF=90°时对应的∠BAC的度数即可。
(3) 平行四边形要为菱形，需邻边相等，即AB=AC，同时需排除D、A、F三点共线无法构成四边形的情况，即∠BAC≠60°。
(4) 判断是否总存在，需看是否存在三点共线的情况：当∠BAC=60°时，D、A、F共线，无法构成四边形。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABD、△BCE均为等边三角形，
∴$BD=BA$，$BE=BC$，$∠ DBA=∠ EBC=60°$，
∴$∠ DBA - ∠ EBA = ∠ EBC - ∠ EBA$，即$∠ DBE=∠ ABC$。
在△DBE和△ABC中，
$\begin{cases} BD=BA \\ ∠ DBE=∠ ABC \\ BE=BC \end{cases}$
∴$△ DBE≌△ ABC(\mathrm{SAS})$，
∴$DE=AC$。
∵△ACF是等边三角形，
∴$AC=AF$，
∴$DE=AF$。
同理可证$△ ABC≌△ FEC$，得$EF=AB$，
又
∵△ABD是等边三角形，
∴$AB=AD$，
∴$EF=AD$。
∴四边形AFED的两组对边分别相等，故四边形AFED是平行四边形。
(2) 解：若四边形AFED是矩形，则平行四边形的内角$∠ DAF=90°$。
∵△ABD、△ACF是等边三角形，
∴$∠ DAB=∠ FAC=60°$，
∴$∠ DAF=360° - ∠ DAB - ∠ FAC - ∠ BAC = 360° - 60° - 60° - ∠ BAC = 240° - ∠ BAC$，
令$240° - ∠ BAC = 90°$，解得$∠ BAC=150°$。
(3) 解：若四边形AFED是菱形，则平行四边形邻边$AD=AF$。
∵$AD=AB$（等边△ABD的边），$AF=AC$（等边△ACF的边），
∴$AB=AC$。
当$∠ BAC=60°$时，$∠ DAF=240° - 60°=180°$，即D、A、F三点共线，无法构成四边形，因此需满足$∠ BAC≠60°$。
(4) 解：不是总存在。当$∠ BAC=60°$时，$∠ DAF=180°$，点D、A、F在同一条直线上，无法构成四边形AFED，因此$□ AFED$不是对任意△ABC都存在。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 当$∠BAC=150°$时；
(3) 当$∠BAC≠60°$且$AB=AC$时；
(4) 不是总存在，当$∠BAC=60°$时不存在。
【知识点】
等边三角形的性质，平行四边形的判定，特殊平行四边形的判定
【点评】
本题综合考查了三角形全等、等边三角形性质与特殊四边形的判定，解题核心是通过全等三角形转化边的等量关系，分析特殊四边形的条件时要注意三点共线的特殊情况，需全面思考避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 边长为a,b的矩形发生形变后成为边长为a,b的平行四边形，如图①所示，平行四边形ABCD中，AB=a，AB边上的高为h，我们把h与a的比值叫作这个平行四边形的“形变比”.
（1）若形变后是菱形ABCD(如图②所示),a=b,则形变前是什么图形?
（2）若图②中菱形ABCD的“形变比”为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,求菱形ABCD形变前后的面积之比.
（3）当边长为3,4的矩形形变后成为一个内角是30°的平行四边形时,求这个平行四边形的“形变比”.
（1）若形变后是菱形ABCD(如图②所示),a=b,则形变前是什么图形?
（2）若图②中菱形ABCD的“形变比”为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,求菱形ABCD形变前后的面积之比.
（3）当边长为3,4的矩形形变后成为一个内角是30°的平行四边形时,求这个平行四边形的“形变比”.
答案
10.(1)正方形
(2)$\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$
(3)$\dfrac{2}{3}$或$\dfrac{3}{8}$
(2)$\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$
(3)$\dfrac{2}{3}$或$\dfrac{3}{8}$
解析
【分析】
（1）首先明确矩形的性质：邻边相等的矩形是正方形，已知形变后菱形的边长a=b，说明原矩形的邻边长度相等，直接判断即可。
（2）先确定形变前图形是正方形，面积为边长的平方；形变后菱形面积=底×高，结合“形变比”的定义推导高h和a的关系，再代入计算两个面积的比值即可。
（3）分两种情况讨论：①当平行四边形的底a为3时，邻边长为4，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出底边上的高h，再计算形变比；②当平行四边形的底a为4时，邻边长为3，同理求出高h后计算形变比，注意不要漏解。
【解析】
（1）因为形变后的菱形满足$a=b$，说明原矩形的两条邻边长度相等，而邻边相等的矩形是正方形，因此形变前是正方形。
（2）已知菱形的“形变比”为$\frac{h}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
形变前是正方形，面积$S_前=a× a=a^2$；
形变后菱形的面积$S_后=底×高=a× h=a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。
因此形变前后的面积之比为$\frac{S_前}{S_后}=\frac{a^2}{\frac{\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
（3）分两种情况讨论：
①若平行四边形的底$a=3$，则邻边长为4。过顶点向底边作高，得到含30°角的直角三角形，斜边为邻边4，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得高$h=4×\frac{1}{2}=2$，此时形变比为$\frac{h}{a}=\frac{2}{3}$。
②若平行四边形的底$a=4$，则邻边长为3。同理可得高$h=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，此时形变比为$\frac{h}{a}=\frac{\frac{3}{2}}{4}=\frac{3}{8}$。
综上，这个平行四边形的形变比为$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{8}$。
【答案】
(1)正方形
(2)$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
(3)$\dfrac{2}{3}$或$\dfrac{3}{8}$
【知识点】
1. 正方形的判定 2. 平行四边形面积计算 3. 含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题结合新定义“形变比”考查特殊四边形的相关性质，解题的核心是准确理解新定义的含义，第三问需要结合底的两种情况分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
（1）首先明确矩形的性质：邻边相等的矩形是正方形，已知形变后菱形的边长a=b，说明原矩形的邻边长度相等，直接判断即可。
（2）先确定形变前图形是正方形，面积为边长的平方；形变后菱形面积=底×高，结合“形变比”的定义推导高h和a的关系，再代入计算两个面积的比值即可。
（3）分两种情况讨论：①当平行四边形的底a为3时，邻边长为4，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出底边上的高h，再计算形变比；②当平行四边形的底a为4时，邻边长为3，同理求出高h后计算形变比，注意不要漏解。
【解析】
（1）因为形变后的菱形满足$a=b$，说明原矩形的两条邻边长度相等，而邻边相等的矩形是正方形，因此形变前是正方形。
（2）已知菱形的“形变比”为$\frac{h}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
形变前是正方形，面积$S_前=a× a=a^2$；
形变后菱形的面积$S_后=底×高=a× h=a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。
因此形变前后的面积之比为$\frac{S_前}{S_后}=\frac{a^2}{\frac{\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
（3）分两种情况讨论：
①若平行四边形的底$a=3$，则邻边长为4。过顶点向底边作高，得到含30°角的直角三角形，斜边为邻边4，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得高$h=4×\frac{1}{2}=2$，此时形变比为$\frac{h}{a}=\frac{2}{3}$。
②若平行四边形的底$a=4$，则邻边长为3。同理可得高$h=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，此时形变比为$\frac{h}{a}=\frac{\frac{3}{2}}{4}=\frac{3}{8}$。
综上，这个平行四边形的形变比为$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{8}$。
【答案】
(1)正方形
(2)$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
(3)$\dfrac{2}{3}$或$\dfrac{3}{8}$
【知识点】
1. 正方形的判定 2. 平行四边形面积计算 3. 含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题结合新定义“形变比”考查特殊四边形的相关性质，解题的核心是准确理解新定义的含义，第三问需要结合底的两种情况分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
