1. 在等边三角形$ABC$中,$E$为边$AB$上任意一点,点$D$在边$CB$的延长线上,且$ED=EC$.
(1)如图①,若$E$为$AB$的中点,求证:$AE=DB$;
(2)如图②,若$E$为$AB$上任意一点,猜想$AE$与$DB$的数量关系,并证明你的猜想.

1.(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,AB=AC=BC.
∵E为AB的中点,
∴BE=AE,∠BCE=30°.
∵ED=EC,
∴∠D=∠BCE=30°,
∴∠BED=30°,
∴∠D=∠BED,
∴BD=BE,
∴AE=DB.
(2)解:AE=DB.证明如下:
如答图,过点E作EF//BC交AC于点F.

∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC.
∵EF//BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
∴AE=EF=AF.
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,
∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°.
∵DE=EC,
∴∠D=∠ECD,
∴∠BED=∠ECF.
在△DEB和△ECF中,
$\begin{cases} ∠DEB=∠ECF, \\ ∠DBE=∠EFC, \\ DE=EC, \end{cases}$
∴△DEB≌△ECF(AAS),
∴BD=FE.
∵FE=AE,
∴AE=BD.

2. (1)如图①,在$△ ABC$中,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线交于点$O$,过点$O$作$EF// BC$分别交$AB$,$AC$于点$E,F$,则线段$EF$与$BE,CF$之间有怎样的数量关系?说明你的理由;
(2)如图②,若$△ ABC$中$∠ ABC$的平分线$BO$与三角形外角平分线$CO$交于点$O$,过点$O$作$OE// BC$交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$,直接写出$EF$与$BE,CF$之间的数量关系.

2.(1)解:EF=BE+CF.理由如下:
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB.
∵EF//BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,
∴EB=EO,FC=FO.
∵EF=EO+FO,
∴EF=BE+CF.
(2)EF=BE-CF

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ C$,$AD$是$∠ BAC$的平分线. 求证:$AC=AB+BD$.

3.证明:如答图,在AC上截取AE=AB,连接DE.

∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠BAD.
在△AED和△ABD中,
$\begin{cases} AE=AB, \\ ∠EAD=∠BAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△ABD(SAS),
∴ED=BD,∠AED=∠B.
∵∠B=2∠C,
∴∠AED=2∠C.
∵∠AED为△CED的外角,
∴∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠C=∠EDC,
∴EC=ED,
∴EC=BD,
∴AC=AE+EC=AB+BD.