4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$D,F$分别为$AB,AC$的中点,且$DE⊥ AB$,$FG⊥$$AC$,点$E,G$在$BC$上,$BC=18\ \mathrm{cm}$,求线段$EG$的长.

4.解:如答图,连接 AE,AG.
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵D 为 AB 的中点,ED⊥AB,
∴EB=EA,
∴∠BAE=∠B=30°,
∴∠AEG=∠B+∠BAE=60°.
同理可得∠AGE=60°,
∴△AEG 为等边三角形,
∴AE=EG=AG.
又
∵AE=BE,AG=GC,
∴BE=EG=GC.
又
∵BE+EG+GC=BC=18 cm,
∴EG=6 cm.

5. 如图,点 D,E 分别在 BA,AC 的延长线上,且$AB=AC,AD=AE$,求证:$DE⊥ BC$.

5.证明:如答图,过点 A 作 AM⊥BC 于点 M.
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴∠BAC=2∠BAM.
∵AD=AE,
∴∠D=∠E,
∴∠BAC=∠D+∠E=2∠D,
∴∠BAM=∠D,
∴DE//AM.
∵AM⊥BC,
∴DE⊥BC.

6. 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$E$是$AD$上一点,$EB ⊥ AB$,且$EA=EC$.
(1)若$∠ BAC=50^{ \circ }$,求$∠ AEC$的度数;
(2)求证:$AC=2AB$.

6.(1)解:
∵AD 平分∠BAC,∠BAC=50°,
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=25°.
∵EA=EC,
∴∠ECA=∠EAC=25°,
∴∠AEC=180°-25°-25°=130°.
(2)证明:如答图,过点 E 作 EF⊥AC 于点 F.
∵EA=EC,EF⊥AC,
∴AC=2AF.
在△ABE 和△AFE 中,$\begin{cases}∠EAB=∠EAF,\\∠ABE=∠AFE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE(AAS),
∴AB=AF,
∴AC=2AB.

[模型]“三线合一”

①若$AB=AC,AD⊥ BC$,则$BD=CD,∠ 1=∠ 2$;
②若$AB=AC,BD=CD$,则$∠ 1=∠ 2,AD⊥ BC$;
③若$AB=AC,∠ 1=∠ 2$,则$AD⊥ BC,BD=CD$

证明：
① 已知$AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ ACD\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore BD=CD$，$∠ 1=∠ 2$。
② 已知$AB=AC$，$BD=CD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC \\BD=CD \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD\ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$，$∠ ADB=∠ ADC$，
又$\because ∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，即$AD⊥ BC$。
③ 已知$AB=AC$，$∠ 1=∠ 2$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠ 1=∠ 2 \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD\ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CD$，$∠ ADB=∠ ADC$，
又$\because ∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，即$AD⊥ BC$。