4. 如图，$∠ MAN=120°$，$AC$ 平分 $∠ MAN$，$∠ ABC+∠ ADC=180°$。
求证:(1)$DC=BC$；
(2)$AD+AB=AC$。

4.证明:(1)如答图,在AN上截取AE=AC,连接CE.
∵AC平分∠MAN,∠MAN=120°,
∴∠CAB=∠CAD=60°,
∴△ACE是等边三角形,
∴∠AEC=60°,AC=EC=AE.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠EBC=180°,
∴∠ADC=∠EBC.
在△ADC和△EBC中,
$\begin{cases} ∠DAC=∠BEC, \\ ∠ADC=∠EBC, \\ AC=EC, \end{cases}$
∴△ADC≌△EBC(AAS),
∴DC=BC.
(2)由(1)得△ADC≌△EBC,
∴AD=BE,
∴AB+AD=AB+BE=AE,
∴AB+AD=AC.

5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=120^{ \circ }$,$AD ⊥ BC$于点$D$,且$AB+BD=DC$,求$∠ C$的度数.

5.解:如答图,在DC上截取DH,使得DH=DB,连接AH.

∵BD=DH,AD⊥BH,
∴AB=AH.
∵AB+BD=DC,DC=DH+HC,
∴AB=CH=AH,
∴∠B=∠AHD,∠C=∠HAC.
设∠C=x,则∠AHB=∠B=2x.
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴3x+120°=180°,解得x=20°,
∴∠C=20°.

6. 如图，$D$ 为 $△ ABC$ 外一点.
(1) 如图①，若 $AC$ 平分 $∠ BAD$，$CE ⊥ AB$ 于点 $E$，$∠ B + ∠ ADC = 180°$，求证：$BC = CD$；
(2) 如图②，若 $∠ ACB = 90°$，$AC = BC$，$F$ 是 $AC$ 上一点，$AD ⊥ BF$ 交 $BF$ 的延长线于点 $D$，且$BF$ 是 $∠ CBA$ 的平分线，求证：$2AD = BF$.

6.证明:(1)如答图①,在AB上取点G,使AG=AD,连接GC.
∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠GAC.
又
∵AD=AG,AC=AC,
∴△ADC≌△AGC(SAS),
∴DC=GC,∠CDA=∠CGA.
又
∵∠B+∠ADC=180°,∠CGE+∠AGC=180°,
∴∠B=∠CGE,
∴BC=CG.
又
∵CD=CG,
∴BC=CD.
(2)如答图②,分别延长AD,BC交于点H.
∵BD平分∠CBA,
∴∠DBC=∠ABD.
∵AD⊥BF,
∴∠ADB=∠HDB=90°.
又
∵BD=BD,
∴△ADB≌△HDB(ASA),
∴∠DAB=∠DHB,AB=BH,AD=DH,
∴△ABH为等腰三角形.
又
∵AD=DH,
∴2AD=AH.
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴∠HAC=∠FBC,∠HCA=90°=∠FCB,又AC=CB,
∴△ACH≌△BCF(ASA),
∴AH=BF.
又
∵2AD=AH,
∴2AD=BF.