三、解答题（共 52 分）
13.（20 分）解方程：
(1)$2x+1=4x-3$；
(2)$1-3(8-x)=-2(15-2x)$；
(3)$\dfrac{x-1}{4}=1+\dfrac{x+1}{3}$；
(4)$\dfrac{x}{2}-1=\dfrac{2x+1}{3}.$

13.(1)移项,得$2x-4x=-3-1$,合并同类项,得$-2x=-4$,系数化为1,得$x=2$.
(2)去括号,得$1-24+3x=-30+4x$,移项,得$3x-4x=-30-1+24$,合并同类项,得$-x=-7$,系数化为1,得$x=7$.
(3)去分母,得$3(x-1)=12+4(x+1)$,去括号,得$3x-3=12+4x+4$,移项,得$3x-4x=12+4+3$,合并同类项,得$-x=19$,系数化为1,得$x=-19$.
(4)去分母,得$3x-6=2(2x+1)$,去括号,得$3x-6=4x+2$,移项,得$3x-4x=2+6$,合并同类项,得$-x=8$,系数化为1,得$x=-8$.

14. (10 分)当 $a$ 取何值时,代数式 $\dfrac{2a+4}{2}$ 的值比 $\dfrac{5a-1}{3}$ 的值大 1?

14.由题意,得$\dfrac{2a+4}{2}=\dfrac{5a-1}{3}+1$,去分母,得$3(2a+4)=2(5a-1)+6$,去括号,得$6a+12=10a-2+6$,移项,得$6a-10a=-2+6-12$,合并同类项,得$-4a=-8$,系数化为1,得$a=2$,所以当$a=2$时,代数式$\dfrac{2a+4}{2}$的值比$\dfrac{5a-1}{3}$的值大1.

15. (10 分) 某同学在解方程 $\dfrac{2x-1}{3}=\dfrac{x+a}{3}-1$ 去分母时,方程右边的 $-1$ 没有乘 3,因而求得方程的解为 $x=2$.
(1)求 $a$ 的值.
(2)求出方程正确的解.

15.(1)根据该同学的做法,去分母,得$2x-1=x+a-1$,解得$x=a$,因为$x=2$是方程$2x-1=x+a-1$的解,所以$a=2$.
(2)原方程为$\dfrac{2x-1}{3}=\dfrac{x+2}{3}-1$,去分母,得$2x-1=x+2-3$,解得$x=0$.故原方程正确的解是$x=0$.

16. (12分)定义:若两个一元一次方程的解的乘积为1,则这两个方程互为“倒数方程”,例如:方程$3x-1=0$与$x-3=0$互为“倒数方程”.
(1)若关于$x$的方程$4x-3=0$与$3x-m=0$互为“倒数方程”,则$m=$.
(2)已知关于$x$的方程$3x-(n+3)=0$与其“倒数方程”的解都是整数,求$n$的值.
(3)已知关于$x$的方程$3(x-1)+2=0$与$\dfrac{17}{2025}x+5=2x+k$互为“倒数方程”,求关于$y$的一元一次方程$\dfrac{17}{2025}(y+1)+4=2y+k+1$的解.

16.(1)4 解析:解方程$4x-3=0$,得$x=\dfrac{3}{4}$,解方程$3x-m=0$,得$x=\dfrac{m}{3}$,因为关于$x$的方程$4x-3=0$与$3x-m=0$互为“倒数方程”,所以$\dfrac{3}{4}×\dfrac{m}{3}=1$,解得$m=4$.
(2)解方程$3x-(n+3)=0$,得$x=\dfrac{n+3}{3}$,所以其“倒数方程”的解为$x=\dfrac{3}{n+3}$,因为$\dfrac{n+3}{3}$与$\dfrac{3}{n+3}$都是整数,所以$n+3=\pm3$,解得$n=0$或$n=-6$.
(3)解方程$3(x-1)+2=0$,得$x=\dfrac{1}{3}$,所以它的“倒数方程”$\dfrac{17}{2025}x+5=2x+k$的解为$x=3$.方程$\dfrac{17}{2025}(y+1)+4=2y+k+1$可化为$\dfrac{17}{2025}(y+1)+5=2(y+1)+k$,则$y+1=3$,解得$y=2$,所以关于$y$的一元一次方程$\dfrac{17}{2025}(y+1)+4=2y+k+1$的解为$y=2$.