1 下列方程属于一元二次方程的是 （）

A.$x - 4 = 2x$
B.$x^{2} + x - 5 = 0$
C.$x^{2} - 4y + 2 = 0$
D.$\dfrac{1}{x^{2}} - x + 2 = 0$

1. B

【分析】要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣其核心定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程。解题时，先明确定义的三个关键要点，再逐一分析每个选项是否满足这三个条件，排除不符合的选项即可。
【解析】根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程。
选项A：整理后为$x + 4 = 0$，未知数最高次数是1，属于一元一次方程，不符合；
选项B：方程仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义；
选项C：方程含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合；
选项D：方程中$\frac{1}{x^2}$是分式，该方程不是整式方程，不符合要求。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的基础定义，属于初中数学的基础题型，需准确掌握定义的三个关键要素，排查时注意区分一元一次、二元、分式方程，避免概念混淆。
【难度系数】0.8

2 [2026 海安段测]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+kx-6=0$的一个根是2,则$k$的值为 （）

A.0
B.1
C.2
D.3

2. B

【分析】已知一元二次方程的一个根，根据方程根的定义，将根代入方程可得到关于参数k的一元一次方程，解此方程即可求出k的值，进而选出正确选项。
【解析】因为x=2是方程$x^2 + kx -6=0$的根，所以将x=2代入方程得：
$2^2 + k×2 -6 = 0$
计算化简：$4 + 2k -6 = 0$ → $2k -2=0$，解得$k=1$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；代入法求参数
【点评】本题考查一元二次方程根的定义，属于基础题型，解题关键是利用根的定义代入计算，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8

3 某品牌新能源汽车2023年的销售量为20万辆,随着消费人群的不断增加,该品牌新能源汽车的销售量逐年递增,2025年的销售量比2023年增加了31.2万辆. 如果设从2023年到2025年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为$x$,那么可列出的方程是（）

A.$20(1+2x)=31.2$
B.$20(1+2x)-20=31.2$
C.$20(1+x)^2=31.2$
D.$20(1+x)^2-20=31.2$

3. D

【分析】本题是增长率相关的一元二次方程应用题，需明确年平均增长率的计算逻辑：若初始量为$a$，年平均增长率为$x$，则经过$n$年后的量为$a(1+x)^n$。题目中2023年（初始年）销量为20万辆，到2025年经过了2年，因此2025年销量可表示为$20(1+x)^2$；再根据“2025年比2023年增加了31.2万辆”的条件，找准“2025年销量 - 2023年销量 = 增加的量”这一等量关系，即可列出方程。
【解析】解：设从2023年到2025年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为$x$，
2024年的销售量为：$20(1+x)$万辆；
2025年的销售量为：$20(1+x)(1+x)=20(1+x)^2$万辆；
根据“2025年比2023年增加了31.2万辆”，可得等量关系：$2025年销售量 - 2023年销售量 = 31.2$，
代入得方程：$20(1+x)^2 - 20 = 31.2$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题考查一元二次方程在增长率问题中的实际应用，易错点是混淆“2025年的总销售量”和“2025年比2023年增加的销售量”，需仔细审题，明确等量关系后再列方程。
【难度系数】0.7

4 [2026 南通段测] $△ ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$ ,且 $b+c=8,bc=a^2-12a+52$, 则 $△ ABC$ 是三角形(按边分类).

4. 等腰

【分析】要判断△ABC的形状，已知b+c和bc的值，可利用完全平方公式变形得到(b-c)²的表达式，结合平方的非负性求出a的值，进而确定b与c的关系，从而判断三角形类型。
【解析】因为b+c=8，bc=a²-12a+52，根据完全平方公式的变形：(b-c)²=(b+c)²-4bc，代入得：
(b-c)²=8² -4(a²-12a+52)=64 -4a² +48a -208=-4a²+48a-144=-4(a²-12a+36)=-4(a-6)²。
由于平方数具有非负性，即(b-c)²≥0，而-4(a-6)²≤0，因此只有当(b-c)²=0时等式成立，即-4(a-6)²=0，解得a=6，此时b=c。
又因为b+c=8，所以b=c=4，△ABC的三边长为6,4,4，有两边相等，故为等腰三角形。
【答案】等腰
【知识点】完全平方公式，等腰三角形，平方的非负性
【点评】本题通过代数变形结合平方的非负性求解三角形边长关系，核心是利用(b-c)²的非负性确定a的值，进而判断b与c相等，属于代数与几何结合的中等难度题，考查学生的代数运算和几何判断能力。
【难度系数】0.6

5 一元二次方程 $(x-2)(2x+1)=x^2-4$ 的一般形式为，其中二次项系数是，常数项是.

5. $x^2-3x+2=0$ 1 2

【分析】要将给定的一元二次方程化为一般形式，需先展开方程左边的多项式，再通过移项、合并同类项整理成$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式，进而确定二次项系数和常数项。
【解析】先展开方程左边：$(x-2)(2x+1)=2x^2 + x - 4x - 2 = 2x^2 - 3x - 2$；将右边的$x^2 -4$移到左边得：$2x^2 -3x -2 -x^2 +4 =0$；合并同类项后得到一般形式：$x^2 -3x +2=0$；其中二次项为$x^2$，系数是1；常数项是2。
【答案】$x^2-3x+2=0$；1；2
【知识点】一元二次方程的一般形式，二次项系数，常数项
【点评】本题考查一元二次方程一般形式的转化，核心是掌握多项式展开、移项合并同类项的基本运算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

6 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x+m=0$有两个相等的实数根，则$m$的值为.

6. 4

【分析】
要解决本题，需掌握一元二次方程根的判别式与根的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根。据此，先确定题目中方程的$a、b、c$的值，再令判别式为0，解关于$m$的方程即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=m$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，代入参数得：
$(-4)^2 - 4×1×m = 0$
计算得：$16 - 4m = 0$，移项后解得$4m = 16$，即$m = 4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，属于一元二次方程章节的核心基础考点，难度较低，只要牢记判别式与根的对应关系即可快速求解，适合作为基础巩固类题目。
【难度系数】
0.7

7 若 $m$ 是方程 $x^{2}-2x-1=0$ 的根,则 $m^{2}+\dfrac{1}{m^{2}}=$.

7. 6 【解析】$\because m$ 是方程 $x^2-2x-1=0$ 的根,$\therefore m^2-2m-1=0$, 即 $m^2 - 1 = 2m$. $\therefore m^2 + \dfrac{1}{m^2} = (m-\dfrac{1}{m})^2 + 2 = (\dfrac{m^2-1}{m})^2 +2=2^2+2=6.$

【分析】
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义，将根$m$代入方程得到关于$m$的等式；接着验证$m≠0$（若$m=0$代入方程不成立），对等式变形得到$m$与$\frac{1}{m}$的差；最后利用完全平方公式将所求代数式变形，代入计算即可。
【解析】
∵ $m$是方程$x^2 - 2x -1=0$的根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 -2m -1=0$。
又
∵ 若$m=0$，代入方程左边得$-1≠0$，故$m≠0$，
等式两边同时除以$m$，得：$m - 2 - \frac{1}{m}=0$，
整理得：$m - \frac{1}{m}=2$。
根据完全平方公式$a^2 + b^2=(a - b)^2 + 2ab$，令$a=m$，$b=\frac{1}{m}$，则：
$m^2 + \frac{1}{m^2}=(m - \frac{1}{m})^2 + 2×m×\frac{1}{m}=(m - \frac{1}{m})^2 + 2$，
将$m - \frac{1}{m}=2$代入上式，得：$2^2 + 2=4 + 2=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的根，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题结合一元二次方程根的定义与完全平方公式变形考查代数式求值，关键是通过方程得到$m$与$\frac{1}{m}$的关系，需注意隐含条件$m≠0$的应用，属于基础题型。
【难度系数】
0.5

8 对于结论“周长一定的矩形在长和宽相等时面积最大”，小明通过图形割补用特例进行了说明：将图①中周长为8的矩形裁成矩形A(边长为2和$x$)和矩形B，并拼成图②，由面积相等，得$x(4-x)=2^2-(2-x)^2$，所以当$x=2$时，矩形的面积取得最大值，为4. 据此可得，代数式$(\dfrac{1}{2}x+2)(8-x)$的最大值为.

8. 18 【解析】$\because (\dfrac{1}{2}x+2)(8-x)=-\dfrac{1}{2}(x+4)(x-8)=-\dfrac{1}{2}(x^2-4x-32)=-\dfrac{1}{2}[(x^2-4x+4)-36]=18-\dfrac{1}{2}(x-2)^2$,$\therefore$ 当$x=2$时,代数式$(\dfrac{1}{2}x+2)(8-x)$取得最大值,为18.

【分析】
要解决代数式$(\dfrac{1}{2}x+2)(8-x)$的最大值问题，需先将该代数式展开为二次函数形式，再通过配方转化为顶点式，利用二次函数的性质（二次项系数为负时，顶点处取得最大值）求解，核心是对二次式进行配方变形，找到使平方项为0的x值，代入得到最大值。
【解析】
先展开并化简代数式：
$\begin{aligned}(\dfrac{1}{2}x + 2)(8 - x) &= \dfrac{1}{2}x · 8 - \dfrac{1}{2}x · x + 2 · 8 - 2 · x \\&= 4x - \dfrac{1}{2}x^2 + 16 - 2x \\&= -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 16\end{aligned}$
对二次式配方，提取二次项系数：
$\begin{aligned}-\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 16 &= -\dfrac{1}{2}(x^2 - 4x) + 16 \\&= -\dfrac{1}{2}[(x^2 - 4x + 4) - 4] + 16 \\&= -\dfrac{1}{2}(x - 2)^2 + 2 + 16 \\&= -\dfrac{1}{2}(x - 2)^2 + 18\end{aligned}$
因为$\dfrac{1}{2}(x - 2)^2 ≥ 0$，所以$-\dfrac{1}{2}(x - 2)^2 ≤ 0$，当$-\dfrac{1}{2}(x - 2)^2 = 0$时，代数式取得最大值，最大值为18。
【答案】
18
【知识点】
二次函数的最值、代数式配方
【点评】
本题通过配方将二次代数式转化为顶点式，利用二次函数性质求最值，是代数求最值的常用方法，需掌握配方步骤，属于基础代数应用题型。
【难度系数】
0.6

9 [2026 海门期中] 用适当的方法解方程：
(1) $x^{2}-2x+1=4$；
(2) $x^{2}+2x=3x+6$.

9. (1) $x_1=-1,x_2=3$ (2) $x_1=3,x_2=-2$

【分析】
解一元二次方程时，优先观察方程结构选择简便方法：第(1)题左边是完全平方式，适合用直接开平方法；第(2)题移项后可通过因式分解简化计算，避免复杂运算。先整理方程为标准形式，再选择对应方法求解即可。
【解析】
(1) 原方程可变形为：$(x-1)^2 = 4$，
两边直接开平方得：$x - 1 = ±2$，
即 $x - 1 = 2$ 或 $x - 1 = -2$，
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = -1$；
(2) 移项整理原方程得：$x^2 - x - 6 = 0$，
因式分解得：$(x - 3)(x + 2) = 0$，
则 $x - 3 = 0$ 或 $x + 2 = 0$，
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = -2$；
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=3$；(2) $x_1=3,x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基本解法，属于基础题型，需熟练掌握直接开平方法、因式分解法的适用场景，通过观察方程结构选择简便方法可提高解题效率。
【难度系数】
0.8