【问题背景】排队是生活中常见的场景. 如图,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间、安检通道数之间的关系.
【研究条件】
条件 1: 观众进场立即排队安检, 在任意时刻都满足: 排队人数 $w=$ 现场总人数 $y-$ 已入场人数;
条件 2: 该演出场地最多可开放 9 条安检通道, 平均每条通道每分钟可安检 6 人.
【模型构建】该演出前 30 分钟开始进行安检, 经研究发现, 现场总人数 $y$ 与安检时间 $x$ (分钟)之间满足函数解析式: $y=-x^2+60x+100(0 ≤ x ≤ 30)$.
结合上述信息,解答问题:
(1) 当开放 3 条安检通道, 安检时间为 $x$ 分钟时, 已入场人数为, 排队人数 $w$ 与安检时间$x$(分钟)之间的函数解析式为.
【模型应用】
(2) 在(1)的条件下,排队人数在第几分钟时最多,最多人数为多少?
(3) 已知该演出主办方要求:① 排队人数在安检开始 10 分钟内(包含 10 分钟)减少;② 尽量少开放安检通道,以节省开支. 若同时满足以上两个要求,可开放几条安检通道?

(1) 18x，$w=-x^2+42x+100(0≤x≤30)$
(2) $\because w=-x^2+42x+100=-(x-21)^2+541,\therefore$ 当 $x=21$ 时,$w$ 取得最大值,为 541. $\therefore$ 排队人数在第 21 分钟时最多,最多人数为 541
(3) 设开放 $m$ 条安检通道. 由题意,得 $w=y-6mx=-x^2+60x+100-6mx=-x^2+6(10-m)x+100,\therefore$ 该函数图象的对称轴为直线 $x=3(10-m).\because$ 排队人数在安检开始 10 分钟内(包含 10 分钟)减少, $\therefore 0≤3(10-m)≤10. \therefore \frac{20}{3}≤m≤10.$
$\because$ 最多可开放 9 条安检通道, $\therefore \frac{20}{3}≤m≤9. \because m$ 为正整数,
$\therefore m$ 的最小值为 7,即可开放 7 条安检通道

【分析】
本题是二次函数在实际排队场景中的应用，核心是明确排队人数的计算公式：排队人数$w=$现场总人数$y-$已入场人数，而已入场人数由安检通道数、单通道安检效率和时间决定。解题时需先推导各变量的函数表达式，再利用二次函数的性质（对称轴、最值、单调性）解决问题，步骤清晰对应实际条件即可。
【解析】
(1) 已知平均每条通道每分钟安检6人，开放3条通道时，每分钟已入场人数为$3×6=18$人，因此$x$分钟时已入场人数为$18x$。
结合现场总人数$y=-x^2+60x+100$，根据排队人数公式得：
$w=-x^2+60x+100 -18x=-x^2+42x+100$（$0≤x≤30$）。
(2) 对$w=-x^2+42x+100$配方：
$w=-(x^2-42x)+100=-(x-21)^2 + 21^2 +100=-(x-21)^2 +541$。
因二次项系数为$-1＜0$，函数图象开口向下，顶点处取最大值，当$x=21$时，$w$最大值为541，即排队人数在第21分钟时最多，最多人数为541。
(3) 设开放$m$条安检通道，则每分钟已入场人数为$6m$，排队人数：
$w=y -6mx=-x^2+60x+100 -6mx=-x^2 +6(10 -m)x +100$（$0≤x≤30$）。
该函数对称轴为$x=3(10 -m)$，因开口向下，要求10分钟内排队人数减少，需对称轴满足$0≤3(10 -m)≤10$，解得$\frac{20}{3}≤m≤10$。结合$m$为正整数且最多开放9条通道，得$m$最小值为7，即可开放7条安检通道。
【答案】
(1) $18x$；$w=-x^2+42x+100(0≤x≤30)$
(2) 第21分钟；541
(3) 7条
【知识点】
二次函数的应用；排队问题建模；二次函数的最值
【点评】
本题将二次函数与生活中的安检排队场景结合，考查二次函数表达式推导、最值与单调性的应用，关键是理解排队人数的计算逻辑，体现了数学解决实际问题的作用，难度适中。
【难度系数】
0.5