登录
13 [2026 海安期中] 如图，$PA$，$PB$ 是$\odot O$ 的切线，$A$，$B$ 为切点，$AC$ 是$\odot O$ 的直径. 若$∠ BAC=25°$，则$∠ P$ 的度数为（
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
B
）A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
13. B
解析
【分析】
要解决本题，需运用圆的切线性质、切线长定理和三角形内角和知识：首先，根据切线性质，PA是⊙O的切线，AC为直径，可推出PA⊥AC，进而算出∠PAB的度数；再由切线长定理得PA=PB，△PAB为等腰三角形，最后结合三角形内角和求出∠P的度数。
【解析】
∵ PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴ PA⊥AC（圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ ∠PAC=90°，
已知∠BAC=25°，则∠PAB=∠PAC - ∠BAC=90° - 25°=65°，
∵ PA、PB是⊙O的两条切线，
∴ PA=PB（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等），
∴ △PAB是等腰三角形，故∠PBA=∠PAB=65°，
在△PAB中，由三角形内角和为180°，得：
∠P=180° - ∠PAB - ∠PBA=180° - 65°×2=50°。
【答案】
B
【知识点】
圆的切线性质，切线长定理，三角形内角和
【点评】
本题是圆的切线相关基础题，综合考查切线性质、切线长定理与等腰三角形内角和，解题思路清晰，属于学生应掌握的常规题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需运用圆的切线性质、切线长定理和三角形内角和知识：首先，根据切线性质，PA是⊙O的切线，AC为直径，可推出PA⊥AC，进而算出∠PAB的度数；再由切线长定理得PA=PB，△PAB为等腰三角形，最后结合三角形内角和求出∠P的度数。
【解析】
∵ PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴ PA⊥AC（圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ ∠PAC=90°，
已知∠BAC=25°，则∠PAB=∠PAC - ∠BAC=90° - 25°=65°，
∵ PA、PB是⊙O的两条切线，
∴ PA=PB（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等），
∴ △PAB是等腰三角形，故∠PBA=∠PAB=65°，
在△PAB中，由三角形内角和为180°，得：
∠P=180° - ∠PAB - ∠PBA=180° - 65°×2=50°。
【答案】
B
【知识点】
圆的切线性质，切线长定理，三角形内角和
【点评】
本题是圆的切线相关基础题，综合考查切线性质、切线长定理与等腰三角形内角和，解题思路清晰，属于学生应掌握的常规题型。
【难度系数】
0.6
14 [2026 崇川段测]在平面直角坐标系中,以点$A(4,3)$为圆心、$R$为半径作$\odot A$与$x$轴相切,则$\odot A$的半径$R$为（
A.3
B.4
C.5
D.$2\sqrt{3}$
A
）A.3
B.4
C.5
D.$2\sqrt{3}$
答案
14. A
解析
【分析】要解决本题，需利用圆与直线相切的核心性质：圆与直线相切时，圆心到该直线的距离等于圆的半径。本题中⊙A与x轴相切，因此圆心A到x轴的距离等于半径R；结合点到坐标轴的距离计算规则，即可求出R的值。
【解析】因为⊙A与x轴相切，所以圆心A到x轴的距离等于半径R。已知点A的坐标为(4,3)，点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，即|3|=3，因此半径R=3，对应选项A。
【答案】A
【知识点】圆与直线相切的性质；点到坐标轴的距离
【点评】本题考查圆与坐标轴相切的基础知识点，解题关键是掌握“圆心到切线的距离等于半径”以及点到x轴距离的计算方法，属于基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】因为⊙A与x轴相切，所以圆心A到x轴的距离等于半径R。已知点A的坐标为(4,3)，点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，即|3|=3，因此半径R=3，对应选项A。
【答案】A
【知识点】圆与直线相切的性质；点到坐标轴的距离
【点评】本题考查圆与坐标轴相切的基础知识点，解题关键是掌握“圆心到切线的距离等于半径”以及点到x轴距离的计算方法，属于基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
15 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,则直线 $y=x+\sqrt{2}$ 与以点 O 为圆心、1 为半径的圆的位置关系为
相切
.答案
15. 相切
解析
【分析】要判断直线与圆的位置关系，核心是计算圆心到直线的距离，再与圆的半径比较：若距离等于半径则相切，大于半径相离，小于半径相交。本题中圆心为原点O，先将直线化为一般式，用点到直线距离公式算出距离，再和半径1对比即可得出结论。
【解析】1. 确定圆的基本参数：圆心为O(0,0)，半径r=1；2. 将直线y=x+√2整理为一般式：x - y + √2 = 0；3. 用点到直线距离公式计算圆心到直线的距离：d=|1×0 -1×0 + √2| / √(1² + (-1)²) = √2 / √2 =1；4. 比较距离与半径：d=1=r，因此直线与圆相切。
【答案】相切
【知识点】直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式
【点评】本题考查直线与圆位置关系的基础判定，核心是掌握点到直线距离公式的应用，属于常规基础题，适合巩固相关知识点。
【难度系数】0.6
【解析】1. 确定圆的基本参数：圆心为O(0,0)，半径r=1；2. 将直线y=x+√2整理为一般式：x - y + √2 = 0；3. 用点到直线距离公式计算圆心到直线的距离：d=|1×0 -1×0 + √2| / √(1² + (-1)²) = √2 / √2 =1；4. 比较距离与半径：d=1=r，因此直线与圆相切。
【答案】相切
【知识点】直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式
【点评】本题考查直线与圆位置关系的基础判定，核心是掌握点到直线距离公式的应用，属于常规基础题，适合巩固相关知识点。
【难度系数】0.6
16 如图,将$\odot O$的圆周 12 等分,圆内接矩形$ABCD$的面积为 20,则圆内接正六边形的面积为
30
.答案
16. 30
解析
【分析】
要解决本题，首先利用圆周12等分求出每份圆心角，再结合圆内接矩形的性质，确定矩形邻边对应的圆心角，通过弦长公式用圆半径$r$表示矩形面积；再利用圆内接正六边形的面积公式，结合已知矩形面积计算出结果。
【解析】
1. 圆周被12等分，每份对应的圆心角为：$360° ÷ 12 = 30°$。
2. 圆内接矩形ABCD的对角线为圆的直径，矩形邻边AB、AD对应的圆心角之和为$180°$（矩形内角为直角，对应半圆）。观察图形，弧AB占2份，圆心角为$2 × 30° = 60°$，则弧AD对应的圆心角为$180° - 60° = 120°$。
3. 设圆的半径为$r$，根据弦长公式：弦长$=2r\sin\frac{θ}{2}$（$θ$为弦对应的圆心角），可得：
$AB = 2r\sin\frac{60°}{2} = 2r\sin30° = 2r × \frac{1}{2} = r$，
$AD = 2r\sin\frac{120°}{2} = 2r\sin60° = 2r × \frac{\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3}$。
4. 矩形ABCD的面积为$AB × AD = r × r\sqrt{3} = r^2\sqrt{3}$，已知面积为20，因此$r^2\sqrt{3} = 20$，即$r^2 = \frac{20}{\sqrt{3}}$。
5. 圆内接正六边形可分成6个边长为$r$的等边三角形，每个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$，故正六边形面积为：
$6 × \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$。
6. 将$r^2 = \frac{20}{\sqrt{3}}$代入，得正六边形面积为：
$\frac{3\sqrt{3}}{2} × \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{3 × 20}{2} = 30$。
【答案】
30
【知识点】
圆内接矩形、圆周等分、正六边形面积
【点评】
本题结合圆周等分和圆内接图形的性质，核心是利用弦长公式关联矩形边长与圆半径，再通过正六边形的面积公式简化计算，需掌握弦长公式和正多边形面积的推导方法。
【难度系数】
0.4
要解决本题，首先利用圆周12等分求出每份圆心角，再结合圆内接矩形的性质，确定矩形邻边对应的圆心角，通过弦长公式用圆半径$r$表示矩形面积；再利用圆内接正六边形的面积公式，结合已知矩形面积计算出结果。
【解析】
1. 圆周被12等分，每份对应的圆心角为：$360° ÷ 12 = 30°$。
2. 圆内接矩形ABCD的对角线为圆的直径，矩形邻边AB、AD对应的圆心角之和为$180°$（矩形内角为直角，对应半圆）。观察图形，弧AB占2份，圆心角为$2 × 30° = 60°$，则弧AD对应的圆心角为$180° - 60° = 120°$。
3. 设圆的半径为$r$，根据弦长公式：弦长$=2r\sin\frac{θ}{2}$（$θ$为弦对应的圆心角），可得：
$AB = 2r\sin\frac{60°}{2} = 2r\sin30° = 2r × \frac{1}{2} = r$，
$AD = 2r\sin\frac{120°}{2} = 2r\sin60° = 2r × \frac{\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3}$。
4. 矩形ABCD的面积为$AB × AD = r × r\sqrt{3} = r^2\sqrt{3}$，已知面积为20，因此$r^2\sqrt{3} = 20$，即$r^2 = \frac{20}{\sqrt{3}}$。
5. 圆内接正六边形可分成6个边长为$r$的等边三角形，每个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$，故正六边形面积为：
$6 × \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$。
6. 将$r^2 = \frac{20}{\sqrt{3}}$代入，得正六边形面积为：
$\frac{3\sqrt{3}}{2} × \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{3 × 20}{2} = 30$。
【答案】
30
【知识点】
圆内接矩形、圆周等分、正六边形面积
【点评】
本题结合圆周等分和圆内接图形的性质，核心是利用弦长公式关联矩形边长与圆半径，再通过正六边形的面积公式简化计算，需掌握弦长公式和正多边形面积的推导方法。
【难度系数】
0.4
17 如图, A B, B C, C D 分别与 $\odot O$ 相切于点 E, F, G, 且 $A B / / C D, B O=6, C O=8$, 连接 O F.
(1) 判断 $△ O B C$ 的形状, 并证明你的结论;
(2) 求 BC 的长;
(3) 求 $\odot O$ 的半径.
(1) 判断 $△ O B C$ 的形状, 并证明你的结论;
(2) 求 BC 的长;
(3) 求 $\odot O$ 的半径.
答案
17. (1) $△ OBC$ 是直角三角形 $\because AB,BC,CD$ 分别与$\odot O$ 相切于点 $E,F,G$,$\therefore ∠ OBE = ∠ OBF = \frac{1}{2}∠ EBF$,$∠ OCG = ∠ OCF = \frac{1}{2}∠ GCF. \because AB// CD$,$\therefore ∠ EBF+∠ GCF=180°$.
$\therefore ∠ OBF+∠ OCF=90°. \therefore ∠ BOC=90°. \therefore △ OBC$ 是直角三角形
(2) 由(1),得$∠ BOC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中,$BO=6$,$CO=8$,$\therefore BC=\sqrt{BO^2+CO^2}=10$
(3) $\because BC$ 与$\odot O$ 相切于点 $F$,$\therefore OF⊥ BC. \therefore S_{△ OBC} = \frac{1}{2} BO · CO = \frac{1}{2} BC · OF$.
$\therefore OF = \frac{BO · CO}{BC} = \frac{6×8}{10}=4.8$,即$\odot O$ 的半径为 4.8
$\therefore ∠ OBF+∠ OCF=90°. \therefore ∠ BOC=90°. \therefore △ OBC$ 是直角三角形
(2) 由(1),得$∠ BOC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中,$BO=6$,$CO=8$,$\therefore BC=\sqrt{BO^2+CO^2}=10$
(3) $\because BC$ 与$\odot O$ 相切于点 $F$,$\therefore OF⊥ BC. \therefore S_{△ OBC} = \frac{1}{2} BO · CO = \frac{1}{2} BC · OF$.
$\therefore OF = \frac{BO · CO}{BC} = \frac{6×8}{10}=4.8$,即$\odot O$ 的半径为 4.8
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用圆的切线性质：从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，得出BO、CO分别是∠ABC、∠BCD的角平分线；再结合AB//CD，同旁内角互补，推出∠OBC + ∠OCB = 90°，从而判断△OBC的形状；接着利用勾股定理计算BC的长度；最后通过三角形面积的两种不同计算方式，求出⊙O的半径。
【解析】
(1) △OBC是直角三角形，证明如下：
∵ AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，
∴ BO平分∠ABC，CO平分∠BCD（圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角），
即∠OBE = ∠OBF = ½∠ABC，∠OCG = ∠OCF = ½∠BCD。
又
∵ AB//CD，
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠OBF + ∠OCF = ½(∠ABC + ∠BCD) = ½×180° = 90°，
∴ 在△OBC中，∠BOC = 180° - (∠OBF + ∠OCF) = 90°，
∴ △OBC是直角三角形。
(2) 在Rt△OBC中，BO=6，CO=8，根据勾股定理：
BC = √(BO² + CO²) = √(6² + 8²) = √100 = 10。
(3)
∵ BC与⊙O相切于点F，
∴ OF⊥BC（圆的切线垂直于过切点的半径），
△OBC的面积可表示为：S△OBC = ½×BO×CO = ½×6×8 = 24，
同时S△OBC也等于½×BC×OF，
∴ ½×10×OF = 24，
解得OF = 4.8，即⊙O的半径为4.8。
【答案】
(1) △OBC是直角三角形；(2) BC的长为10；(3) ⊙O的半径为4.8。
【知识点】
切线的性质、直角三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的综合题，综合考查切线性质、角平分线判定、直角三角形性质、勾股定理及面积法的应用，解题关键是利用切线的角平分线性质结合平行线关系判断直角，再通过勾股定理和面积法计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先利用圆的切线性质：从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，得出BO、CO分别是∠ABC、∠BCD的角平分线；再结合AB//CD，同旁内角互补，推出∠OBC + ∠OCB = 90°，从而判断△OBC的形状；接着利用勾股定理计算BC的长度；最后通过三角形面积的两种不同计算方式，求出⊙O的半径。
【解析】
(1) △OBC是直角三角形，证明如下：
∵ AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，
∴ BO平分∠ABC，CO平分∠BCD（圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角），
即∠OBE = ∠OBF = ½∠ABC，∠OCG = ∠OCF = ½∠BCD。
又
∵ AB//CD，
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠OBF + ∠OCF = ½(∠ABC + ∠BCD) = ½×180° = 90°，
∴ 在△OBC中，∠BOC = 180° - (∠OBF + ∠OCF) = 90°，
∴ △OBC是直角三角形。
(2) 在Rt△OBC中，BO=6，CO=8，根据勾股定理：
BC = √(BO² + CO²) = √(6² + 8²) = √100 = 10。
(3)
∵ BC与⊙O相切于点F，
∴ OF⊥BC（圆的切线垂直于过切点的半径），
△OBC的面积可表示为：S△OBC = ½×BO×CO = ½×6×8 = 24，
同时S△OBC也等于½×BC×OF，
∴ ½×10×OF = 24，
解得OF = 4.8，即⊙O的半径为4.8。
【答案】
(1) △OBC是直角三角形；(2) BC的长为10；(3) ⊙O的半径为4.8。
【知识点】
切线的性质、直角三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的综合题，综合考查切线性质、角平分线判定、直角三角形性质、勾股定理及面积法的应用，解题关键是利用切线的角平分线性质结合平行线关系判断直角，再通过勾股定理和面积法计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
