2026年一本预备新高一数学第56页答案
【变式5】已知当$1＜x≤ 4$时，不等式$x^2-(a+2)x+4≥ -a-1$恒成立，求实数$a$的取值范围。

答案

当$1＜x≤4$时,$x^2-(a+2)x+4≥-a-1$恒成立,即$x^2-(a+2)x+5+a≥0$恒成立,即$a(x-1)≤x^2-2x+5$恒成立。
因为$1＜x≤4$,所以$0＜x-1≤3$,所以$a≤\dfrac{x^2-2x+5}{x-1}=x-1+\dfrac{4}{x-1}$恒成立。因为$x-1+\dfrac{4}{x-1}≥2\sqrt{(x-1)·\dfrac{4}{x-1}}=4$,当且仅当$x-1=\dfrac{4}{x-1}$,即$x=3$时,等号成立,所以$a≤4$。
故实数$a$的取值范围为$\{a∣ a≤4\}$。
1.(新课标I卷)已知集合$M=\{x∣ -4＜x＜2\}$，$N=\{x∣ x^2 - x -6 ＜0\}$，则$M∩ N=$（
C
）

A.$\{x∣ -4＜x＜3\}$
B.$\{x∣ -4＜x＜-2\}$
C.$\{x∣ -2＜x＜2\}$
D.$\{x∣ 2＜x＜3\}$

答案

因为$M=\{x∣ -4＜x＜2\},N=\{x∣ x^2-x-6＜0\}=\{x∣ -2＜x＜3\}$,所以$M∩N=\{x∣ -2＜x＜2\}$。
2.不等式$(2-x)(2x-3)＞0$的解集是（
C
）

A.$\{x|x＜1.5$或$x＞2\}$
B.$\mathbf{R}$
C.$\{x|1.5＜x＜2\}$
D.$∅$

答案

由$(2-x)(2x-3)＞0$,得$(x-2)(2x-3)＜0$,解得$1.5＜x＜2$,所以原不等式的解集是$\{x∣ 1.5＜x＜2\}$。
3.若不等式$x^2 + ax + b ＞ 0$的解集是$\{x | x ＜ -3或x ＞ 2\}$，则（
C
）

A.$a=1,b=6$
B.$a=-1,b=6$
C.$a=1,b=-6$
D.$a=-1,b=-6$

答案

由题意,得$-3,2$是方程$x^2+ax+b=0$的两个根,故$-3+2=-a$,$-3×2=b$,解得$a=1,b=-6$。
4.(教材改编题)若对于任意实数$x$，不等式$(a-2)x^2 - 2(a-2)x -4＜0$恒成立，则实数$a$的取值范围为（
D
）

A.$\{a|a＜2\}$
B.$\{a|a≤2\}$
C.$\{a|-2＜a＜2\}$
D.$\{a|-2＜a≤2\}$

答案

当$a-2=0$,即$a=2$时,得$-4＜0$,恒成立,符合题意;
当$a-2≠0$时,由题意,得$\begin{cases}a-2＜0,\\4(a-2)^2+16(a-2)＜0,\end{cases}$ 解得$-2＜a＜2$。
综上所述,实数$a$的取值范围为$\{a∣ -2＜a≤2\}$。
5.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，那么二次函数$y=ax^2+bx+c$的零点是
$x_1=-1,x_2=2$
；一元二次不等式$ax^2+bx+c≥0$的解集是
$\{x∣ x≤-1或x≥2\}$
。

答案

根据题图可得,二次函数$y=ax^2+bx+c$的零点是$x_1=-1,x_2=2$,一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是$x_1=-1,x_2=2$,则一元二次不等式$ax^2+bx+c≥0$的解集是$\{x∣ x≤-1或x≥2\}$。