1. 把分式$\frac{1}{x-y},\frac{1}{x+y},\frac{1}{x^2 - y^2}$进行通分,它们的最简公分母是 （）

A.$x-y$
B.$x+y$
C.$x^2 - y^2$
D.$(x+y)(x-y)(x^2 - y^2)$

1.C

【分析】
要确定几个分式的最简公分母，首先要把所有分母因式分解，再取各分母中所有不同因式的最高次幂的乘积即可。首先对第三个分母用平方差公式分解，再对比三个分母的因式，就能快速找到最简公分母。
【解析】
首先列出三个分式的分母：$x-y$、$x+y$、$x^2-y^2$。
根据平方差公式因式分解第三个分母：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$。
最简公分母的确定规则为：取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积。本题中出现的不同因式只有$x+y$和$x-y$，均为一次，因此最简公分母为$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，最简公分母，分式通分
【点评】
本题考查分式通分中最简公分母的确定，解题关键是先将分母因式分解再找公共因式，易错点是容易误选包含重复因式的选项，掌握最简公分母的确定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 下列分式是最简分式的是（）

A.$\dfrac{x-1}{x^2 - x}$
B.$\dfrac{x-1}{x+1}$
C.$\dfrac{x-1}{x^2 -1}$
D.$\dfrac{a^2 bc}{ab}$

2.B

【分析】
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题思路为：先将每个选项的分子、分母进行因式分解，再判断二者是否存在公因式，存在公因式的不是最简分式，不存在公因式的即为正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对分母因式分解得$x^2 - x = x(x-1)$，和分子$x-1$有公因式$x-1$，可约分为$\frac{1}{x}$，不是最简分式；
B选项：分子$x-1$和分母$x+1$没有公因式，无法约分，是最简分式；
C选项：对分母因式分解得$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，和分子$x-1$有公因式$x-1$，可约分为$\frac{1}{x+1}$，不是最简分式；
D选项：分子$a^2bc$和分母$ab$有公因式$ab$，可约分为$ac$，不是最简分式。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的定义；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于基础题，主要考查最简分式的判断，解题核心是熟练掌握提公因式、公式法等因式分解方法，准确判断分子分母是否存在公因式即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 下列运算结果正确的是 （）

A.$ m^2 + m^2 = m^4 $
B.$ (m + \frac{1}{m})^2 = m^2 + \frac{1}{m^2} $
C.$ (3mn^2)^2 = 6m^2n^4 $
D.$ 2m^2n ÷ \frac{m}{n} = 2mn^2 $

3.D

【分析】
这是一道考查整式与分式基本运算的选择题，解题时需要逐一验证每个选项，对应运用合并同类项、完全平方公式、积的乘方、分式除法的运算法则，计算出正确结果后比对选项判断对错即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，故$m^2 + m^2 = 2m^2 ≠ m^4$，A错误；
B选项：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a=m,b=\frac{1}{m}$，得$(m+\frac{1}{m})^2 = m^2 + 2· m· \frac{1}{m} + \frac{1}{m^2} = m^2 + 2 + \frac{1}{m^2} ≠ m^2+\frac{1}{m^2}$，B错误；
C选项：根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，故$(3mn^2)^2=3^2· m^2· (n^2)^2=9m^2n^4 ≠ 6m^2n^4$，C错误；
D选项：分式除法法则为除以一个数等于乘这个数的倒数，故$2m^2n ÷ \frac{m}{n} = 2m^2n × \frac{n}{m} = 2mn^2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项、完全平方公式、分式乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，覆盖了整式、分式运算中常见的易错点，比如完全平方公式漏算中间项、积的乘方漏算系数的乘方、分式除法运算规则混淆出错等，熟练掌握各类运算法则、细心计算即可选出正确答案。
【难度系数】
0.75

4. 下列运算结果为 $ x - 1 $ 的是 （）

A.$ 1 - \frac{1}{x} $
B.$ \frac{x^2 - 1}{x} · \frac{x}{x + 1} $
C.$ \frac{x + 1}{x} ÷ \frac{1}{x - 1} $
D.$ \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $

4.B

【分析】
本题考查分式的四则运算，解题思路是逐一计算每个选项的运算结果，再与目标结果$x-1$比对即可选出正确答案。计算时需先对多项式因式分解，除法运算先转化为乘法运算，再通过约分简化计算。
【解析】
我们逐个计算各选项的结果：
选项A：$1-\frac{1}{x}=\frac{x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，结果不是$x-1$，故A错误；
选项B：先利用平方差公式分解因式$x^2-1=(x+1)(x-1)$，则原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{x}·\frac{x}{x+1}$，约去公因式$x$和$x+1$后，结果为$x-1$，故B正确；
选项C：分式除法先转化为乘法，原式$=\frac{x+1}{x}·(x-1)=\frac{(x+1)(x-1)}{x}=\frac{x^2-1}{x}$，结果不是$x-1$，故C错误；
选项D：先利用完全平方公式分解因式$x^2+2x+1=(x+1)^2$，则原式$=\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$，结果不是$x-1$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握分式乘除、加减的运算法则，以及平方差、完全平方等常见因式分解方法，运算时先因式分解再约分能有效简化计算、减少错误。
【难度系数】
0.8

5. 化简$( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} ) ÷ ( \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} ) · ab$，其结果是（）

A.$\frac{a^2b^2}{a - b}$
B.$\frac{a^2b^2}{b - a}$
C.$\frac{1}{a - b}$
D.$\frac{1}{b - a}$

5.B

【分析】
这是分式混合运算类题目，解题遵循分式运算的优先级：先计算括号内的加减法，通过通分化简括号内的式子；再将除法运算转化为乘法运算，同时对可因式分解的分母利用平方差公式分解；最后按照从左到右的顺序依次约分计算，即可得到化简结果。
【解析】
第一步：化简两个括号内的式子
先对第一个括号通分：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$
再对第二个括号通分并因式分解：$\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}=\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}=\frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2}$
第二步：将除法转化为乘法，统一为连乘运算
原式$=\frac{a+b}{ab} ÷ \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2} · ab = \frac{a+b}{ab} × \frac{a^2b^2}{(b-a)(b+a)} × ab$
第三步：约分化简
分子分母的公因式$a+b$约去，第一个分母的$ab$与分子的$a^2b^2$约去$ab$后剩余$ab$，再乘最后一项的$ab$得$a^2b^2$，分母剩余$b-a$，最终结果为$\frac{a^2b^2}{b-a}$
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算、平方差公式因式分解、分式的通分约分
【点评】
本题属于分式运算的基础常规题，解题时需注意运算顺序，除法转乘法时要正确写除数的倒数，因式分解时注意符号问题，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7

6. 计算$\frac{x-2}{x+3} · \frac{x^2 -9}{x^2 -4x +4}$的结果是。

6.$\frac{x-3}{x-2}$

【分析】
做分式乘法运算时，常规解题思路是先把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，再根据分式的基本性质约去分子分母的公因式，最后将剩余因式相乘得到最简结果。本题首先观察到第二个分式的分子是平方差形式、分母是完全平方形式，先对这两个多项式因式分解，再代入原式约分即可得到结果。
【解析】
第一步：对分子分母中的多项式因式分解
根据平方差公式和完全平方公式可得：
$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$
$x^2-4x+4=(x-2)^2$
第二步：代入原式约分
将因式分解结果代入原式得：
$\frac{x-2}{x+3} · \frac{x^2 -9}{x^2 -4x +4}=\frac{x-2}{x+3} · \frac{(x+3)(x-3)}{(x-2)^2}$
约去分子分母的公因式$x+3$（$x≠-3$）和$x-2$（$x≠2$），最终化简得：
$\frac{x-3}{x-2}$
【答案】
$\frac{x-3}{x-2}$
【知识点】
1. 分式乘法运算
2. 因式分解
3. 分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是准确对多项式进行因式分解，再通过约分得到最简结果，计算时要注意因式分解的正确性，避免因分解错误导致约分出错。
【难度系数】
0.8

7. 计算：$\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y}{x^2 - y^2} =$ 。

7.$\frac{2}{x+y}$

【分析】
这是同分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步，根据同分母分式加减法法则，分母保持不变，将两个分式的分子相减；第二步，对得到的新分式的分子提取公因式，分母利用平方差公式进行因式分解；第三步，约去分子和分母的公因式，化为最简分式即可得到最终结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2x-2y}{x^2-y^2}\\&=\frac{2(x-y)}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{2}{x+y}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2}{x+y}$
【知识点】
同分母分式加减法、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握同分母分式的运算规则，合并分子后要注意先对分子、分母因式分解再约分，避免出现未化简就直接作为结果的错误。
【难度系数】
0.85

8.若$(\dfrac{a^2}{b})^2 ÷ (\dfrac{a}{b^2})^2 = 3$,则$a^4b^4$的值是________。

8.9

【分析】
解题时先利用分式乘方的运算法则，分别计算出两个分式平方的结果，再根据分式除法的法则将除法转化为乘法，约分后可得到$a^2b^2$的值，最后利用幂的乘方的逆运算，将$a^4b^4$变形为$(a^2b^2)^2$，代入计算即可得到结果。
【解析】
先化简等式左边的式子：
$\begin{aligned}(\frac{a^2}{b})^2 ÷ (\frac{a}{b^2})^2&=\frac{a^4}{b^2} ÷ \frac{a^2}{b^4}\\&=\frac{a^4}{b^2} × \frac{b^4}{a^2}\\&=a^{4-2} · b^{4-2}\\&=a^2b^2\end{aligned}$
由题意可知化简结果为3，即$a^2b^2=3$。
再对$a^4b^4$变形：$a^4b^4=(a^2b^2)^2$，将$a^2b^2=3$代入得：
$a^4b^4=3^2=9$
【答案】
9
【知识点】
分式乘方运算、分式除法运算、幂的运算
【点评】
本题考查分式的混合运算与幂的运算性质的应用，解题的核心是正确化简已知等式得到$a^2b^2$的值，再运用整体代入的思想计算待求式，解题过程中要熟练掌握分式运算的法则，避免运算符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.7

9. 计算$( \dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x} ) ÷ \dfrac{x + y}{x}$的结果为。

9.$\frac{x-y}{y}$

【分析】
这是分式混合运算题，遵循先算括号内、再算除法的运算顺序解题：第一步先处理括号内的异分母分式减法，找最简公分母通分后合并分子；第二步根据分式除法法则，将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；第三步对分子中可因式分解的多项式分解因式，最后约分化简即可得到结果。
【解析】
解：先计算括号内的异分母分式减法：
$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x} = \dfrac{x^2}{xy} - \dfrac{y^2}{xy} = \dfrac{x^2 - y^2}{xy}$
再将除法转化为乘法：
原式$= \dfrac{x^2 - y^2}{xy} ÷ \dfrac{x + y}{x} = \dfrac{x^2 - y^2}{xy} × \dfrac{x}{x + y}$
用平方差公式因式分解$x^2 - y^2$：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，代入得：
原式$= \dfrac{(x + y)(x - y)}{xy} × \dfrac{x}{x + y}$
约掉分子分母的公因式$x$和$x+y$，得：
原式$= \dfrac{x - y}{y}$
【答案】
$\dfrac{x-y}{y}$
【知识点】
分式的混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是牢记运算顺序，异分母分式加减先通分，除法优先转化为乘法，遇到多项式可先因式分解，方便后续约分简化计算。
【难度系数】
0.8

10. 已知 $a^2 - 3a + 1 = 0$，则 $(a^2 - \frac{1}{a^2})(a - \frac{1}{a}) = \_\_\_\_\_\_$。

10.15

【分析】
解题思路如下：首先，由已知等式可判断a≠0，因此可将等式两边同时除以a，得到$a+\frac{1}{a}$的值；其次，利用平方差公式对待求式因式分解，化简为含有$a+\frac{1}{a}$和$(a-\frac{1}{a})^2$的形式；最后，利用完全平方公式的变形，由$a+\frac{1}{a}$的值求出$(a-\frac{1}{a})^2$的值，整体代入化简后的式子即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $a^2 - 3a + 1 = 0$，
∴ $a ≠ 0$（若$a=0$，等式左边=1≠0，矛盾），
将等式两边同时除以$a$，得：$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$，即 $a + \frac{1}{a} = 3$。
对待求式因式分解化简：
$\begin{aligned}(a^2 - \frac{1}{a^2})(a - \frac{1}{a})&=(a - \frac{1}{a})(a + \frac{1}{a}) · (a - \frac{1}{a})\\&=(a - \frac{1}{a})^2 (a + \frac{1}{a})\end{aligned}$
由完全平方公式变形得：
$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 3^2 = 9$，
∴ $a^2 + \frac{1}{a^2} = 9 - 2 = 7$，
则 $(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 7 - 2 = 5$。
将$(a - \frac{1}{a})^2=5$、$a + \frac{1}{a}=3$代入化简后的式子：
原式$= 5 × 3 = 15$。
【答案】
15
【知识点】
分式的基本性质，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是运用整体代入思想，通过对已知等式和待求式的变形，避免直接求解a的复杂运算，熟练掌握乘法公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.6