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16. 先化简,再求值:
(1)$(x+2)(x-2)+x(4-x)$,其中$x=\dfrac{1}{4}$;
(2)$(x+5)(x-1)+(x-2)^2$,其中$x=-2$。
(1)$(x+2)(x-2)+x(4-x)$,其中$x=\dfrac{1}{4}$;
(2)$(x+5)(x-1)+(x-2)^2$,其中$x=-2$。
答案
16.解:(1)原式$=x^2 - 4 + 4x - x^2 = 4x - 4$,当$x = \dfrac{1}{4}$时,原式$=4 × \dfrac{1}{4} - 4 = 1 - 4 = -3$。
(2)原式$=x^2 + 4x - 5 + x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 1$,当$x = -2$时,原式$=2x^2 - 1 = 2 × (-2)^2 - 1 = 7$。
(2)原式$=x^2 + 4x - 5 + x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 1$,当$x = -2$时,原式$=2x^2 - 1 = 2 × (-2)^2 - 1 = 7$。
解析
【分析】
整式化简求值题的通用解题思路分为两步：第一步先化简，遵循整式运算顺序，优先计算乘法：可借助平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则展开各项，再合并同类项得到最简结果；第二步代入给定的未知数取值，准确计算出最终结果。
具体到本题：
(1) 先用平方差公式计算$(x+2)(x-2)$，再用单项式乘多项式法则计算$x(4-x)$，合并同类项后代入$x=\dfrac{1}{4}$计算即可；
(2) 先用多项式乘多项式法则计算$(x+5)(x-1)$，再用完全平方公式计算$(x-2)^2$，合并同类项后代入$x=-2$计算即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、单项式乘多项式法则展开：
原式$=x^2 - 4 + 4x - x^2$
合并同类项化简得：原式$=4x - 4$
将$x = \dfrac{1}{4}$代入化简结果：
原式$=4 × \dfrac{1}{4} - 4 = 1 - 4 = -3$
(2) 利用多项式乘多项式法则、完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开：
原式$=x^2 + 4x - 5 + x^2 - 4x + 4$
合并同类项化简得：原式$=2x^2 - 1$
将$x = -2$代入化简结果：
原式$=2 × (-2)^2 - 1 = 2×4 -1 = 7$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{7}$
【知识点】
整式乘法运算，合并同类项，化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查乘法公式和整式运算法则的掌握情况，解题时要注意展开各项时的符号问题，合并同类项要准确，代入负数计算时注意乘方的运算规则。
【难度系数】
0.8
整式化简求值题的通用解题思路分为两步：第一步先化简，遵循整式运算顺序，优先计算乘法：可借助平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则展开各项，再合并同类项得到最简结果；第二步代入给定的未知数取值，准确计算出最终结果。
具体到本题：
(1) 先用平方差公式计算$(x+2)(x-2)$，再用单项式乘多项式法则计算$x(4-x)$，合并同类项后代入$x=\dfrac{1}{4}$计算即可；
(2) 先用多项式乘多项式法则计算$(x+5)(x-1)$，再用完全平方公式计算$(x-2)^2$，合并同类项后代入$x=-2$计算即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、单项式乘多项式法则展开：
原式$=x^2 - 4 + 4x - x^2$
合并同类项化简得：原式$=4x - 4$
将$x = \dfrac{1}{4}$代入化简结果：
原式$=4 × \dfrac{1}{4} - 4 = 1 - 4 = -3$
(2) 利用多项式乘多项式法则、完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开：
原式$=x^2 + 4x - 5 + x^2 - 4x + 4$
合并同类项化简得：原式$=2x^2 - 1$
将$x = -2$代入化简结果：
原式$=2 × (-2)^2 - 1 = 2×4 -1 = 7$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{7}$
【知识点】
整式乘法运算，合并同类项，化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查乘法公式和整式运算法则的掌握情况，解题时要注意展开各项时的符号问题，合并同类项要准确，代入负数计算时注意乘方的运算规则。
【难度系数】
0.8
17.若$x+y=3$，且$(x+2)(y+2)=12$。
(1)求$xy$的值；
(2)求$x^2+3xy+y^2$的值。
(1)求$xy$的值；
(2)求$x^2+3xy+y^2$的值。
答案
17.解:(1)$\because (x + 2)(y + 2) = 12$,$\therefore xy + 2(x + y) + 4 = 12$。$\because x + y = 3$,$\therefore xy + 2 × 3 + 4 = 12$,$\therefore xy = 2$。
(2)$\because x + y = 3$,$\therefore (x + y)^2 = 3^2$,即$x^2 + 2xy + y^2 = 9$,由(1)知$xy = 2$,$\therefore x^2 + 3xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 + xy = 9 + 2 = 11$。
(2)$\because x + y = 3$,$\therefore (x + y)^2 = 3^2$,即$x^2 + 2xy + y^2 = 9$,由(1)知$xy = 2$,$\therefore x^2 + 3xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 + xy = 9 + 2 = 11$。
解析
【分析】
(1) 要求$xy$的值，先利用多项式乘多项式的法则将$(x+2)(y+2)=12$展开，整理后式子会出现$x+y$和$xy$的组合形式，再把已知的$x+y=3$整体代入，即可直接求出$xy$的值。
(2) 观察所求代数式$x^2+3xy+y^2$，可将其拆分为$(x^2+2xy+y^2)+xy$，其中$x^2+2xy+y^2$是完全平方公式的展开形式，可转化为$(x+y)^2$，再将已知的$x+y=3$和(1)中求出的$xy$的值整体代入，就能算出结果。
【解析】
(1) $\because (x + 2)(y + 2) = 12$
$\therefore xy + 2x + 2y + 4 = 12$，整理得$xy + 2(x + y) + 4 = 12$
$\because x + y = 3$，代入上式得：
$xy + 2×3 + 4 = 12$
解得$xy = 2$
(2) 对所求式子变形：
$x^2 + 3xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + xy = (x+y)^2 + xy$
$\because x + y = 3$，且由(1)知$xy=2$
代入得：原式$=3^2 + 2 = 9 + 2 = 11$
【答案】
(1) $\boldsymbol{xy=2}$；(2) $\boldsymbol{11}$
【知识点】
整式乘法运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题侧重考查代数式的变形能力和整体代入思想，解题核心是熟练掌握多项式乘法法则和完全平方公式，通过对已知条件和所求式子的合理变形，利用整体代入简化计算，无需单独求出$x$、$y$的具体值。
【难度系数】
0.8
(1) 要求$xy$的值，先利用多项式乘多项式的法则将$(x+2)(y+2)=12$展开，整理后式子会出现$x+y$和$xy$的组合形式，再把已知的$x+y=3$整体代入，即可直接求出$xy$的值。
(2) 观察所求代数式$x^2+3xy+y^2$，可将其拆分为$(x^2+2xy+y^2)+xy$，其中$x^2+2xy+y^2$是完全平方公式的展开形式，可转化为$(x+y)^2$，再将已知的$x+y=3$和(1)中求出的$xy$的值整体代入，就能算出结果。
【解析】
(1) $\because (x + 2)(y + 2) = 12$
$\therefore xy + 2x + 2y + 4 = 12$，整理得$xy + 2(x + y) + 4 = 12$
$\because x + y = 3$，代入上式得：
$xy + 2×3 + 4 = 12$
解得$xy = 2$
(2) 对所求式子变形：
$x^2 + 3xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + xy = (x+y)^2 + xy$
$\because x + y = 3$，且由(1)知$xy=2$
代入得：原式$=3^2 + 2 = 9 + 2 = 11$
【答案】
(1) $\boldsymbol{xy=2}$；(2) $\boldsymbol{11}$
【知识点】
整式乘法运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题侧重考查代数式的变形能力和整体代入思想，解题核心是熟练掌握多项式乘法法则和完全平方公式，通过对已知条件和所求式子的合理变形，利用整体代入简化计算，无需单独求出$x$、$y$的具体值。
【难度系数】
0.8
