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3. 已知一个锐角的余角等于这个角的4倍,则这个角的补角的度数为。
答案
$\boldsymbol{162°}$
解析
我们可以利用余角、补角的定义通过设未知数求解：
1. 定义回顾：两个角的和为90°时，这两个角互为余角；两个角的和为180°时，这两个角互为补角。
2. 设这个锐角的度数为$ x $，则它的余角为$ 90° - x $。
3. 根据题意列方程：$ 90° - x = 4x $，解得$ x = 18° $。
4. 计算这个角的补角：$ 180° - 18° = 162° $。
1. 定义回顾：两个角的和为90°时，这两个角互为余角；两个角的和为180°时，这两个角互为补角。
2. 设这个锐角的度数为$ x $，则它的余角为$ 90° - x $。
3. 根据题意列方程：$ 90° - x = 4x $，解得$ x = 18° $。
4. 计算这个角的补角：$ 180° - 18° = 162° $。
4. 如图,直线AB, CD交于点O。
(1)若∠1+∠3=68°,则∠1=°。
(2)若∠2:∠3=4:1,则∠2=°。
(3)若∠2−∠1=100°,则∠3=°。
(1)若∠1+∠3=68°,则∠1=°。
(2)若∠2:∠3=4:1,则∠2=°。
(3)若∠2−∠1=100°,则∠3=°。
答案
(1) 34；(2) 144；(3) 40
解析
本题考查相交线形成的对顶角、邻补角的性质：对顶角相等，互为邻补角的两个角和为180°。
(1) 由对顶角相等可知∠1=∠3，已知∠1+∠3=68°，因此2∠1=68°，解得∠1=34°。
(2) 由邻补角和为180°可知∠2+∠3=180°，已知∠2:∠3=4:1，设∠3=x，则∠2=4x，代入得4x+x=180°，解得x=36°，因此∠2=4×36°=144°。
(3) 由邻补角和为180°可知∠1+∠2=180°，已知∠2-∠1=100°，联立两式解得∠1=40°，又由对顶角相等得∠3=∠1=40°。
(1) 由对顶角相等可知∠1=∠3，已知∠1+∠3=68°，因此2∠1=68°，解得∠1=34°。
(2) 由邻补角和为180°可知∠2+∠3=180°，已知∠2:∠3=4:1，设∠3=x，则∠2=4x，代入得4x+x=180°，解得x=36°，因此∠2=4×36°=144°。
(3) 由邻补角和为180°可知∠1+∠2=180°，已知∠2-∠1=100°，联立两式解得∠1=40°，又由对顶角相等得∠3=∠1=40°。
5. 如图，$∠ ABC=90°$，$BD ⊥ AC$，垂足为$D$，则点$B$到直线$AC$的距离是线段________的长度。
答案
BD
解析
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。已知$BD ⊥ AC$，垂足为$D$，点$B$到直线$AC$的垂线段为$BD$，因此点$B$到直线$AC$的距离是线段$BD$的长度。
6. 如图,已知三个点 A, B, C,按下列要求画图。
(1)画射线 CA, CB,连结 AB。
(2)画$∠ACB$的角平分线,交 AB 于点 D。
(3)过点 B 画直线 AC 的垂线段 BE。
(画图工具不限,不需写出结论,只需画出图形、标注字母)
(1)画射线 CA, CB,连结 AB。
(2)画$∠ACB$的角平分线,交 AB 于点 D。
(3)过点 B 画直线 AC 的垂线段 BE。
(画图工具不限,不需写出结论,只需画出图形、标注字母)
答案
按上述步骤画出所有符合要求的图形，标注对应字母即可。
解析
按要求分步完成作图即可：
(1) 以点C为端点，分别经过点A延伸画出射线CA，经过点B延伸画出射线CB，再用线段连接A、B两点，得到线段AB；
(2) 借助量角器或尺规作图法，画出将∠ACB平分为两个相等角的角平分线，标记该线与AB的交点为D；
(3) 借助直角三角板，使三角板的一条直角边与直线AC重合，平移三角板让另一条直角边经过点B，从B点向AC作垂线段，标记垂足为E，线段BE即为所求垂线段。
(1) 以点C为端点，分别经过点A延伸画出射线CA，经过点B延伸画出射线CB，再用线段连接A、B两点，得到线段AB；
(2) 借助量角器或尺规作图法，画出将∠ACB平分为两个相等角的角平分线，标记该线与AB的交点为D；
(3) 借助直角三角板，使三角板的一条直角边与直线AC重合，平移三角板让另一条直角边经过点B，从B点向AC作垂线段，标记垂足为E，线段BE即为所求垂线段。
7. 根据几何语言作出几何图形，可使几何问题变得直观。因此，在分析几何问题时，常常需要根据题目中的几何语言所给出的条件作出相应的几何图形，再分析、解决问题。但在作图时，要注意同样的几何语言可能对应不同的图形。请分析下面的几何问题，画出图形，再求出相应的结果，体会几何语言与图形间的联系。
问题:在直线AB上任意取点O，过点O作射线OC，OD，使得 $ OC ⊥ OD $。若$ ∠ AOC = 20° $，求$ ∠ BOD $的度数。
问题:在直线AB上任意取点O，过点O作射线OC，OD，使得 $ OC ⊥ OD $。若$ ∠ AOC = 20° $，求$ ∠ BOD $的度数。
答案
70°或110°
解析
本题需分两种情况讨论射线OC、OD的位置，避免漏解：
1. 当射线OC、OD在直线AB的同侧时：
∵ 点O在直线AB上，∴ ∠AOB=180°
∵ OC⊥OD，∴ ∠COD=90°
∴ ∠AOC + ∠BOD = ∠AOB - ∠COD = 180° - 90° = 90°
代入∠AOC=20°，得∠BOD=90°-20°=70°
2. 当射线OC、OD在直线AB的异侧时：
∵ OC⊥OD，∴ ∠COD=90°
∴ ∠AOD = ∠COD - ∠AOC = 90° - 20° = 70°
又∵ ∠AOD + ∠BOD = 180°
∴ ∠BOD=180°-70°=110°
综上，∠BOD的度数为70°或110°
1. 当射线OC、OD在直线AB的同侧时：
∵ 点O在直线AB上，∴ ∠AOB=180°
∵ OC⊥OD，∴ ∠COD=90°
∴ ∠AOC + ∠BOD = ∠AOB - ∠COD = 180° - 90° = 90°
代入∠AOC=20°，得∠BOD=90°-20°=70°
2. 当射线OC、OD在直线AB的异侧时：
∵ OC⊥OD，∴ ∠COD=90°
∴ ∠AOD = ∠COD - ∠AOC = 90° - 20° = 70°
又∵ ∠AOD + ∠BOD = 180°
∴ ∠BOD=180°-70°=110°
综上，∠BOD的度数为70°或110°
1. 在同一平面内,两条不重合直线的位置关系有和。
答案
相交；平行
解析
根据七年级平面几何的相关定义，在同一平面内，两条不重合的直线不存在既不平行也不相交的情况，垂直属于相交的特殊情形，不属于独立的位置分类，因此对应的两类位置关系为相交和平行。
2. 在同一平面内的三条直线,若其中有且只有两条直线互相平行,则它们的交点个数是（）。
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
C
解析
同一平面内，互相平行的两条直线没有交点；已知三条直线中有且只有两条互相平行，说明第三条直线与这两条平行直线都不平行，会分别和两条平行线相交，各产生1个交点，因此总交点个数是2。
3. 如图，$∠ 1 = ∠ 2$，由此能判断$AB // DF$吗？为什么？若不能判断$AB // DF$，你认为需要再添加的一个条件是什么？写出这个条件，并说明你的理由。
答案
不能判断$AB// DF$，可添加的条件如$BC// DE$（答案不唯一，合理即可），对应理由如上。
解析
仅由$∠ 1=∠ 2$不能判断$AB// DF$，原因是$∠ 1$和$∠ 2$不是直线$AB$、$DF$被同一条直线所截形成的同位角或内错角，不满足平行线的判定要求，无法直接推导两直线平行。
可添加的条件不唯一，示例添加条件：$BC// DE$，理由如下：
$\because BC// DE$，
$\therefore ∠ CBD=∠ EDB$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1+∠ CBD=∠ 2+∠ EDB$，即$∠ ABD=∠ FDB$，
$\therefore AB// DF$（内错角相等，两直线平行）。
可添加的条件不唯一，示例添加条件：$BC// DE$，理由如下：
$\because BC// DE$，
$\therefore ∠ CBD=∠ EDB$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1+∠ CBD=∠ 2+∠ EDB$，即$∠ ABD=∠ FDB$，
$\therefore AB// DF$（内错角相等，两直线平行）。
