8 教材 P85 习题 15.3 第 9 题变式 如图,一艘船位于灯塔 $P$ 的南偏东 $70°$ 方向的点 $M$ 处,它以 $40\ \mathrm{n mile/h}$ 的速度向正北方向航行,$2\ \mathrm{h}$ 后到达位于灯塔 $P$ 的北偏东 $40°$ 方向的点 $N$ 处,则点 $N$ 处与灯塔 $P$ 之间的距离为$\mathrm{n mile}.$

8. 80 【解析】由题图,易知$∠ NPM=70°$,$∠ M=70°$,$\therefore ∠ NPM=∠ M$. $\therefore NP=MN=40× 2=80(\mathrm{n\ mile})$,即点$N$处与灯塔$P$之间的距离为$80\ \mathrm{n\ mile}$.

【分析】要解决这个问题，需先根据航行的速度和时间求出MN的长度，再结合方位角确定三角形的内角度数，通过角的关系判定等腰三角形，进而求出NP的距离。具体思路：1. 利用路程公式计算MN的长度；2. 根据方位角和平角性质求出∠NPM的度数，结合正北方向的平行关系得到∠M的度数；3. 由等角对等边判定△NPM为等腰三角形，从而得到NP=MN，即可得出结果。
【解析】
1. 计算MN的长度：船的速度为40 n mile/h，航行时间为2 h，因此$MN = 40×2 = 80\ \mathrm{n\ mile}$。
2. 求∠NPM的度数：由方位角可知，P点正北方向与PN的夹角为40°，正南方向与PM的夹角为70°，因此$∠ NPM = 180° - 40° - 70° = 70°$。
3. 求∠M的度数：船从M向正北航行到N，故NM为正北方向，与P点南北方向平行，因此$∠ M = 70°$。
4. 判定等腰三角形：因为$∠ NPM = ∠ M = 70°$，所以$△ NPM$是等腰三角形，对应边相等，即$NP = MN = 80\ \mathrm{n\ mile}$。
【答案】80
【知识点】方位角、等腰三角形的判定与性质
【点评】本题结合方位角的实际场景，考查等腰三角形的判定与性质，核心是通过方位角推导内角度数，属于基础几何应用题，侧重知识的实际运用。
【难度系数】0.6

9 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,过线段$CD$上一点$E$作$EG// AD$,交$AC$于点$F$,交$BA$的延长线于点$G$.
(1) 求证:$△ AFG$是等腰三角形;
(2) 若$CE=EF$,$∠ BAC=80°$,求$∠ B$的度数.
$M$

9. (1) $\because AD$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$. $\because EG// AD$,$\therefore ∠ BAD=∠ G$,$∠ CAD=∠ AFG$. $\therefore ∠ G=∠ AFG$. $\therefore AF=AG$. $\therefore △ AFG$是等腰三角形 (2) $\because CE=EF$,$\therefore ∠ CFE=∠ C$. $\because ∠ AFG=∠ CFE$,$∠ AFG=∠ CAD$,$\therefore ∠ C=∠ CAD$. $\because ∠ BAC=80°$,$AD$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ C=∠ CAD=40°$. $\therefore ∠ B=180°-∠ BAC-∠ C=60°$

【分析】
第(1)问要证明△AFG是等腰三角形，需证明两个底角相等。已知AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠CAD；结合EG//AD，利用平行线的性质，可推出∠BAD=∠G、∠CAD=∠AFG，进而得到∠G=∠AFG，即可证明AF=AG，完成等腰三角形的判定。第(2)问求∠B，先由CE=EF得∠CFE=∠C，结合对顶角相等和第(1)问的角关系，推出∠C=∠CAD；再根据AD平分∠BAC算出∠CAD，最后用三角形内角和定理求出∠B。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ EG//AD，
∴ ∠BAD = ∠G（两直线平行，同位角相等），
∠CAD = ∠AFG（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠G = ∠AFG，
∴ AF = AG（等角对等边），
即△AFG是等腰三角形。
(2) 解：
∵ CE = EF，
∴ ∠CFE = ∠C（等边对等角）。
∵ ∠AFG = ∠CFE（对顶角相等），且由(1)知∠AFG = ∠CAD，
∴ ∠C = ∠CAD。
∵ AD平分∠BAC，∠BAC=80°，
∴ ∠CAD = ½∠BAC = 40°，
∴ ∠C = 40°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠B = 180° - ∠BAC - ∠C = 180° - 80° - 40° = 60°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ∠B的度数为60°。
【知识点】
角平分线性质、平行线性质、等腰三角形判定、三角形内角和定理
【点评】
本题为几何综合题，结合角平分线、平行线、等腰三角形的性质与三角形内角和定理，考查逻辑推理能力，解题核心是通过平行线转化角的关系，推导角度等量关系，属于中等难度的基础几何题。
【难度系数】
0.6

10 [2025 海安期末]如图,在锐角三角形 ABC 中,E 是边 AB 上一点,$BE=CE$,$AD ⊥ BC$于点 D,AD 与 EC 交于点 G.
(1) 求证:$△ AEG$ 为等腰三角形;
(2) 若$DG=5$,G 为 CE 的中点,求 AG 的长.

10. (1) $\because AD⊥ BC$,$\therefore ∠ ADB=∠ GDC=90°$,$∠ B+∠ BAG=90°$,$∠ GCD+∠ CGD=90°$. $\because BE=CE$,$\therefore ∠ B=∠ GCD$. $\therefore ∠ BAG=∠ CGD=∠ AGE$. $\therefore AE=GE$. $\therefore △ AEG$为等腰三角形 (2) 如图,过点$E$作$EH⊥ AD$,垂足为$H$,则$∠ EHG=90°$. $\because G$为$CE$的中点,$\therefore EG=CG$. 在$△ EHG$和$△ CDG$中,
$\begin{cases}∠ EHG=∠ CDG,\\∠ EGH=∠ CGD,\\EG=CG,\end{cases}$
$\therefore △ EHG≌△ CDG$. $\therefore HG=DG$. $\because AE=GE$,$EH⊥ AD$,$\therefore AH=HG=DG$. $\because DG=5$,$\therefore AG=AH+HG=10$

【分析】
第一问需证明△AEG为等腰三角形，核心是证AE=GE，即推导∠EAG=∠AGE。利用AD⊥BC得到直角，结合BE=CE得∠B=∠ECB，通过同角的余角相等、对顶角相等，可推出∠EAG=∠AGE，进而证得AE=GE；第二问已知G为CE中点，过E作EH⊥AD构造全等三角形，结合等腰三角形三线合一即可计算AG长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠GDC = 90°，
∴ 在Rt△ABD中，∠B + ∠BAG = 90°，
在Rt△GDC中，∠GCD + ∠CGD = 90°。
又
∵ BE = CE，
∴ ∠B = ∠GCD，
∴ ∠BAG = ∠CGD（等角的余角相等）。
∵ ∠CGD = ∠AGE（对顶角相等），
∴ ∠BAG = ∠AGE，
∴ AE = GE，
即△AEG为等腰三角形。
(2) 解：
过点E作EH⊥AD，垂足为H，如图所示，
则∠EHG = 90°。
∵ G为CE的中点，
∴ EG = CG。
在△EHG和△CDG中：
$\begin{cases}∠EHG = ∠CDG = 90°, \\∠EGH = ∠CGD, \\EG = CG,\end{cases}$
∴ △EHG ≌ △CDG（AAS），
∴ HG = DG = 5。
由(1)知AE = GE，又
∵ EH⊥AD，
∴ AH = HG（等腰三角形三线合一），
∴ AH = HG = 5，
∴ AG = AH + HG = 5 + 5 = 10。
【答案】
(1) 证明成立；(2) AG的长为10。

【知识点】
等腰三角形判定、全等三角形性质、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形与全等三角形的相关知识，解题关键是利用角的关系推导边相等，通过构造辅助线证明三角形全等，结合等腰三角形三线合一求解线段长度，逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.4

11 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=36°$,$BD$是$∠ ABC$的平分线,交$AC$于点$D$,$E$是$AB$的中点,连接$ED$并延长,交$BC$的延长线于点$F$,连接$AF$.求证:
(1) $EF ⊥ AB$;
(2) $△ ACF$为等腰三角形.

11. (1) $\because AB=AC$,$∠ BAC=36°$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=72°$. $\because BD$是$∠ ABC$的平分线,
$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$. $\therefore ∠ BAD=∠ ABD$. $\therefore AD=BD$. 又$\because E$是$AB$的中点,$\therefore DE⊥ AB$,即$EF⊥ AB$
(2) $\because EF⊥ AB$,$E$是$AB$的中点,$\therefore EF$垂直平分$AB$.
$\therefore AF=BF$. $\therefore ∠ BAF=∠ ABF$. 由(1),知$∠ ABD=∠ BAD=36°$,$\therefore$ 易得$∠ FAD=∠ FBD=72°-36°=36°$. 又$\because ∠ ACB=72°$,$\therefore ∠ AFC=∠ ACB-∠ CAF=36°$.
$\therefore ∠ CAF=∠ AFC=36°$. $\therefore AC=CF$,即$△ ACF$为等腰三角形

【分析】
要证明(1) $EF ⊥ AB$，先利用等腰三角形$ABC$的内角和与底角相等的性质算出$∠ ABC$的度数，再结合角平分线的定义推出$AD=BD$，最后根据等腰三角形三线合一的性质，由$E$是$AB$中点得到$DE ⊥ AB$，即$EF ⊥ AB$；要证明(2) $△ ACF$为等腰三角形，由$EF ⊥ AB$且$E$是$AB$中点，可知$EF$是$AB$的垂直平分线，利用垂直平分线性质得$AF=BF$，进而推出角相等，再通过角度计算得出$∠ CAF=∠ AFC$，从而证得$AC=CF$，即$△ ACF$是等腰三角形。
【解析】
(1) $\because AB=AC$，$∠ BAC=36°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$。
$\because BD$是$∠ ABC$的平分线，
$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×72°=36°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ ABD=36°$，故$AD=BD$。
又$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore$ 在等腰$△ ABD$中，$DE$是底边$AB$的中线，根据等腰三角形三线合一，$DE ⊥ AB$，即$EF ⊥ AB$。
(2) $\because EF ⊥ AB$，$E$是$AB$的中点，
$\therefore EF$垂直平分$AB$，根据垂直平分线的性质，得$AF=BF$，
$\therefore ∠ BAF=∠ ABF=72°$。
由(1)知$∠ BAD=36°$，
$\therefore ∠ FAD=∠ BAF-∠ BAD=72°-36°=36°$。
又$\because ∠ ACB$是$△ ACF$的外角，
$\therefore ∠ ACB=∠ CAF+∠ AFC$，其中$∠ CAF=∠ FAD=36°$，$∠ ACB=72°$，
$\therefore ∠ AFC=∠ ACB-∠ CAF=72°-36°=36°$，
$\therefore ∠ CAF=∠ AFC=36°$，故$AC=CF$，即$△ ACF$为等腰三角形。
【答案】
(1) $EF ⊥ AB$；(2) $△ ACF$为等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形性质与判定、垂直平分线性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形的角度计算、三线合一性质及垂直平分线的性质，解题关键是通过角度推导和线段垂直关系逐步证明结论，需熟练掌握等腰三角形相关定理，属于中等难度的几何证明题。
【难度系数】
0.5