1 下列条件不能判定$△ ABC$是等腰三角形的是（）

A.$BC=3,AC=3,AB=4$
B.$BC:AC:AB=2:3:4$
C.$∠ B=50°,∠ C=80°$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:1$

1. B

【分析】要判断△ABC是否为等腰三角形，需依据等腰三角形的判定方法：要么有两边相等，要么有两个角相等。我们逐个分析选项：选项A看边长是否有相等；选项B看边长比例是否有相等边；选项C、D结合三角形内角和计算角度，看是否有相等角，从而确定是否为等腰三角形。
【解析】等腰三角形的判定规则：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
选项A：BC=AC=3，存在两边相等，可判定△ABC是等腰三角形；
选项B：三边比例为2:3:4，三边长度均不相等，既无相等边，也无法推出相等角，不能判定△ABC是等腰三角形；
选项C：根据三角形内角和为180°，∠A=180°−50°−80°=50°，则∠A=∠B=50°，存在两角相等，可判定△ABC是等腰三角形；
选项D：设∠A=x，∠B=2x，∠C=x，由内角和得x+2x+x=180°，解得x=45°，故∠A=∠C=45°，存在两角相等，可判定△ABC是等腰三角形。
综上，不能判定的是选项B。
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】本题属于基础题，主要考查等腰三角形的两种判定方法，结合三角形内角和定理分析边长或角度关系即可快速判断，需准确掌握判定规则避免出错。
【难度系数】0.7

2 如图,$AC$ 和 $BD$ 相交于点$O$,$AB// DC$,$OA=OB=4$. 若 $OC=3$,则 $BD$ 的长为 （）

A.5
B.6
C.7
D.8

2. C

【分析】
要解决本题，需结合等腰三角形的性质和平行线的性质推导。首先由OA=OB得到△OAB是等腰三角形，推出∠A=∠B；再利用AB//DC的条件，通过平行线内错角相等得到∠A=∠C、∠B=∠D，进而推出∠C=∠D，得到△OCD为等腰三角形，求出OD的长度，最终计算BD的长。
【解析】
1. 因为OA=OB，所以△OAB是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，得∠A=∠B。
2. 已知AB//DC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠A=∠C，∠B=∠D。
3. 通过等量代换，∠C=∠D，因此△OCD是等腰三角形，根据等腰三角形的判定，得OD=OC=3。
4. 已知OB=4，所以BD=OB + OD = 4 + 3 =7。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题将平行线与等腰三角形的性质结合考查，核心是通过角的等量关系推导OD的长度，进而计算BD，属于基础几何综合题，需熟练掌握相关性质即可解决。
【难度系数】
0.6

3 教材P81练习第1题变式 如图，$∠ B=∠ C=36°$，$∠ ADE=∠ AED=72°$，则图中的等腰三角形有个.

3. 6

【分析】要确定图中等腰三角形的个数，需依据“等角对等边”的判定定理，结合三角形内角和、外角性质计算各三角形的内角度数，逐一验证是否存在两个相等的角，从而找出所有等腰三角形。
【解析】
1. △ABC：已知∠B=∠C=36°，根据等角对等边，AB=AC，故△ABC是等腰三角形；
2. △ABD：∠ADE是△ABD的外角，∠ADE=∠B+∠BAD，代入∠ADE=72°、∠B=36°，得∠BAD=72°-36°=36°，则∠BAD=∠B，故AB=AD，△ABD是等腰三角形；
3. △AEC：∠AED是△AEC的外角，∠AED=∠C+∠EAC，代入∠AED=72°、∠C=36°，得∠EAC=72°-36°=36°，则∠EAC=∠C，故AE=AC，△AEC是等腰三角形；
4. △ADE：已知∠ADE=∠AED=72°，根据等角对等边，AD=AE，故△ADE是等腰三角形；
5. △ABE：∠AEB=180°-∠AED=108°，在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-36°-108°=36°，则∠BAE=∠B，故AE=BE，△ABE是等腰三角形；
6. △ADC：∠ADC=180°-∠ADE=108°，在△ADC中，∠DAC=180°-∠C-∠ADC=180°-36°-108°=36°，则∠DAC=∠C，故AD=DC，△ADC是等腰三角形。
综上，图中等腰三角形共6个。
【答案】6
【知识点】等腰三角形判定、三角形内角和、三角形外角性质
【点评】本题需结合角度计算与等腰三角形判定，逐一排查所有三角形，避免遗漏，是基础几何计数题，关键在于熟练运用角度关系推导。
【难度系数】0.5

4 新考向 条件开放题 如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$于点$D$,再添加一个条件,就可以确定$△ ABC$是等腰三角形,你添加的条件是(写一个即可).

4. 答案不唯一,如$BD=CD$

【分析】要确定△ABC是等腰三角形，已知AD⊥BC，即AD是BC边上的高，可通过添加条件使AB=AC来判定。可结合全等三角形的判定、等腰三角形的性质等思路，比如添加BD=CD，通过证明三角形全等得到AB=AC，从而判定△ABC为等腰三角形。
【解析】添加条件BD=CD，推导过程如下：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°。
在△ADB和△ADC中：
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ ∠ADB=∠ADC \\ BD=CD \end{array} $
∴ △ADB ≌ △ADC（SAS）。
∴ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
（注：也可添加∠B=∠C、∠BAD=∠CAD等，任选其一即可）
【答案】BD=CD（答案不唯一）
【知识点】等腰三角形的判定、全等三角形的判定
【点评】本题为条件开放题，答案不唯一，主要考查等腰三角形的判定方法，解题时可结合全等三角形的性质分析，难度适中。
【难度系数】0.6

5 一题多解 已知在$△ ABC$中，$∠ ABC=∠ ACB$，$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$，$BE$平分$∠ ABC$交$AC$于点$E$. 求证：$CD=BE$.

5. 解法一:如图①,$\because ∠ ABC=∠ ACB$,BE,CD是$△ ABC$的角平分线,$\therefore ∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4$. 在$△ BCD$和$△ CBE$中,
$\begin{cases}∠ 4=∠ 2,\\BC=CB,\\∠ DBC=∠ ECB,\end{cases}$
$\therefore △ BCD≌△ CBE.\ \therefore CD=BE$
解法二:如图②,作边$BC$上的高所在直线$l$,设$BE$与$CD$相交于点$O$. $\because ∠ ABC=∠ ACB$,$\therefore △ ABC$是等腰三角形. $\therefore$ 易得$l$过点$O$,则$OD=OE$,$OB=OC$. $\therefore OC+OD=OB+OE$,即$CD=BE$

【分析】要证明CD=BE，可通过证明包含CD和BE的三角形全等推导。已知△ABC中∠ABC=∠ACB，故△ABC为等腰三角形，BE、CD是角平分线，可得到对应角相等，结合公共边BC，利用ASA判定三角形全等，即可得到CD=BE。
【解析】
∵ ∠ABC=∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴ ∠2=½∠ABC，∠4=½∠ACB，
∴ ∠2=∠4。
在△BCD和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠DBC=∠ECB,\\BC=CB,\\∠4=∠2,\end{array} $
∴ △BCD≌△CBE（ASA），
∴ CD=BE。
【答案】
【知识点】等腰三角形性质、角平分线定义、全等三角形判定
【点评】本题为一题多解的几何证明题，核心考查等腰三角形性质与全等三角形的判定，通过全等三角形的对应边相等完成证明，体现了几何解题的基本思路。
【难度系数】0.5

6 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ CAB=36°$,以$C$为原点,$AC$所在直线为$y$轴,$BC$所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点$M$,使$△ MAB$为等腰三角形,符合条件的点$M$有（）

A.6个
B.7个
C.8个
D.9个

6. C

【分析】要确定坐标轴上使△MAB为等腰三角形的点M，需分三类情况讨论等腰三角形的腰：①AB为底边（MA=MB）；②AB为腰，以A为顶点（MA=AB）；③AB为腰，以B为顶点（MB=AB）。分别在x轴、y轴的正负半轴上寻找满足条件的点，排除与A、B重合的点，统计所有不重复的点即可。
【解析】
已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，A在y轴正半轴，B在x轴正半轴，坐标轴包含x轴正负半轴、y轴正负半轴，分情况分析：
1. AB为底边（MA=MB）：
点M在AB的垂直平分线上，AB的垂直平分线与x轴交于1个点，与y轴交于1个点，共2个符合条件的点。
2. AB为腰，以A为顶点（MA=AB）：
以A为圆心、AB长为半径作圆，该圆与坐标轴的交点：与y轴交于A点（舍去，与A重合）和y轴负半轴1个点；与x轴交于B点（舍去，与B重合）和x轴负半轴1个点，共2个新的符合条件的点。
3. AB为腰，以B为顶点（MB=AB）：
以B为圆心、AB长为半径作圆，该圆与坐标轴的交点：与x轴交于B点（舍去）、x轴正半轴1个点、x轴负半轴1个点；与y轴交于A点（舍去）和y轴负半轴1个点，共4个新的符合条件的点。
三类情况合计2+2+4=8个不重复的点，即符合条件的M点共8个。
【答案】C
【知识点】等腰三角形判定、平面直角坐标系、垂直平分线性质
【点评】本题通过分类讨论等腰三角形的腰，结合平面直角坐标系的正负半轴分析，需注意排除与A、B重合的点，避免漏解，是几何与坐标系结合的典型题型。
【难度系数】0.5

7 [2026 海安期中]如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$F$,过点$F$作$DE// BC$交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$,则下列说法错误的是（）

A.$△ BDF$是等腰三角形
B.$DF=EF$
C.若$∠ A=50°$,则$∠ BFC=115°$
D.$DE=BD+CE$

7. B 【解析】$\because ∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$F$,
$\therefore ∠ ABF=∠ CBF$,$∠ ACF=∠ BCF$. $\because DE// BC$,$\therefore ∠ DFB=∠ CBF$,$∠ EFC=∠ BCF$. $\therefore ∠ ABF=∠ DFB$,$∠ ACF=∠ EFC$. $\therefore DB=DF$,$EF=EC$. $\therefore △ BDF$是等腰三角形,$DE=DF+EF=BD+CE$. 故A,D正确,不符合题意. 根据现有条件,无法得出$DF=EF$,$\therefore$ B错误,符合题意. $\because ∠ A=50°$,$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-50°=130°$. $\because ∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$F$,$\therefore ∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ BCF=\frac{1}{2}∠ ACB$.
$\therefore ∠ CBF+∠ BCF=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=65°$. $\therefore ∠ BFC=180°-(∠ CBF+∠ BCF)=180°-65°=115°$. 故C正确,不符合题意.

【分析】
要判断各选项正误，需结合角平分线性质、平行线性质、等腰三角形判定及三角形内角和定理分析：先由角平分线得角相等，再由DE//BC得内错角相等，推出等腰三角形，进而分析A、D；判断B选项是否成立；最后利用三角形内角和计算∠BFC，判断C选项。
【解析】
∵ BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴ ∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF。
∵ DE//BC，
∴ ∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠BCF，
∴ ∠ABF=∠DFB，∠ACF=∠EFC，
∴ DB=DF，EF=EC，
∴ △BDF是等腰三角形，A选项正确；
DE=DF+EF=BD+CE，D选项正确；
对于B选项，题目未给出AB=AC的条件，无法推出DF=EF，故B选项错误；
若∠A=50°，则∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵ BF、CF是角平分线，
∴ ∠CBF=1/2∠ABC，∠BCF=1/2∠ACB，
∴ ∠CBF+∠BCF=1/2(∠ABC+∠ACB)=65°，
∴ ∠BFC=180°-65°=115°，C选项正确。
综上，错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
角平分线性质、平行线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查角平分线、平行线、等腰三角形及三角形内角和的相关知识，解题关键是利用“角平分线+平行线”推出等腰三角形，需注意区分条件，避免无依据推导，难度适中。
【难度系数】
0.6