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1 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在$AB$上,点$F$在$AC$的延长线上,且$BD=CF$,连接$DF$交$BC$于点$E$.求证:$DE=FE$.
答案
过点 D 作AF 的平行线交 BC 于点 G. $\therefore ∠ FCE=∠ DGE$,
$∠ DGB = ∠ ACB. \because AB = AC, \therefore ∠ ABC = ∠ ACB.$
$\therefore ∠ ABC=∠ DGB. \therefore DG=BD. \because BD=CF, \therefore DG=CF.$
在 $△ DGE$ 和 $△ FCE$ 中, $\begin{cases}∠ DGE=∠ FCE,\\∠ DEG=∠ FEC,\\DG=FC,\end{cases}$ $\therefore △ DGE ≌ △ FCE. \therefore DE=FE$
$∠ DGB = ∠ ACB. \because AB = AC, \therefore ∠ ABC = ∠ ACB.$
$\therefore ∠ ABC=∠ DGB. \therefore DG=BD. \because BD=CF, \therefore DG=CF.$
在 $△ DGE$ 和 $△ FCE$ 中, $\begin{cases}∠ DGE=∠ FCE,\\∠ DEG=∠ FEC,\\DG=FC,\end{cases}$ $\therefore △ DGE ≌ △ FCE. \therefore DE=FE$
解析
【分析】
要证明$DE=FE$，可通过构造全等三角形来推导。由于直接证明包含$DE$、$FE$的三角形全等缺少条件，因此作辅助线：过点$D$作$AF$的平行线交$BC$于点$G$，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，将已知的$BD=CF$转化为$DG=CF$，进而证明$△ DGE ≌ △ FCE$，即可得到$DE=FE$。
【解析】
证明：过点$D$作$DG // AF$，交$BC$于点$G$。
$\therefore ∠ DGB = ∠ ACB$，$∠ DGE = ∠ FCE$（两直线平行，同位角相等）。
$\because AB = AC$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB$（等腰三角形两底角相等）。
$\therefore ∠ ABC = ∠ DGB$（等量代换）。
$\therefore DG = BD$（等角对等边）。
又$\because BD = CF$，
$\therefore DG = CF$（等量代换）。
在$△ DGE$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}∠ DGE = ∠ FCE, \\∠ DEG = ∠ FEC, \\DG = FC,\end{cases}$
$\therefore △ DGE ≌ △ FCE$（AAS）。
$\therefore DE = FE$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$DE=FE$，证明如上。
【知识点】
等腰三角形性质、平行线性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰三角形的性质转化边的关系，是证明线段相等的典型几何题，考查学生对几何辅助线和全等判定的应用能力。
【难度系数】
0.5
要证明$DE=FE$，可通过构造全等三角形来推导。由于直接证明包含$DE$、$FE$的三角形全等缺少条件，因此作辅助线：过点$D$作$AF$的平行线交$BC$于点$G$，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，将已知的$BD=CF$转化为$DG=CF$，进而证明$△ DGE ≌ △ FCE$，即可得到$DE=FE$。
【解析】
证明：过点$D$作$DG // AF$，交$BC$于点$G$。
$\therefore ∠ DGB = ∠ ACB$，$∠ DGE = ∠ FCE$（两直线平行，同位角相等）。
$\because AB = AC$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB$（等腰三角形两底角相等）。
$\therefore ∠ ABC = ∠ DGB$（等量代换）。
$\therefore DG = BD$（等角对等边）。
又$\because BD = CF$，
$\therefore DG = CF$（等量代换）。
在$△ DGE$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}∠ DGE = ∠ FCE, \\∠ DEG = ∠ FEC, \\DG = FC,\end{cases}$
$\therefore △ DGE ≌ △ FCE$（AAS）。
$\therefore DE = FE$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$DE=FE$，证明如上。
【知识点】
等腰三角形性质、平行线性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰三角形的性质转化边的关系，是证明线段相等的典型几何题，考查学生对几何辅助线和全等判定的应用能力。
【难度系数】
0.5
2 如图, 在 $△ A B C$ 中, $∠ B A C=90°, A C=6, A B=8$, 过点 $A$ 的直线 $D E / / B C, ∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线分别交 $D E$ 于点 $E, D$, 则 $D E$ 的长为（
A.14
B.16
C.18
D.20
A
）A.14
B.16
C.18
D.20
答案
A
解析
【分析】
先利用勾股定理求出△ABC中BC的长度；再结合平行线的内错角相等、角平分线的定义，推出△ABD和△ACE是等腰三角形，得到AD=AB、AE=AC；最后将AD与AE相加得到DE的长度。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=10$。
因为$DE// BC$，所以$∠ D=∠ DBC$，$∠ E=∠ ECB$。
又BD平分∠ABC，故$∠ ABD=∠ DBC$，因此$∠ D=∠ ABD$，可得△ABD为等腰三角形，$AD=AB=8$。
同理，CE平分∠ACB，故$∠ ACE=∠ ECB$，因此$∠ E=∠ ACE$，可得△ACE为等腰三角形，$AE=AC=6$。
所以$DE=AD+AE=8+6=14$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、等腰三角形判定、平行线性质
【点评】
本题综合考查勾股定理、等腰三角形的判定及平行线的性质，核心是通过角的关系构造等腰三角形转化线段，解题关键在于利用角平分线和平行线得到等角，进而推出等腰三角形，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
先利用勾股定理求出△ABC中BC的长度；再结合平行线的内错角相等、角平分线的定义，推出△ABD和△ACE是等腰三角形，得到AD=AB、AE=AC；最后将AD与AE相加得到DE的长度。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=10$。
因为$DE// BC$，所以$∠ D=∠ DBC$，$∠ E=∠ ECB$。
又BD平分∠ABC，故$∠ ABD=∠ DBC$，因此$∠ D=∠ ABD$，可得△ABD为等腰三角形，$AD=AB=8$。
同理，CE平分∠ACB，故$∠ ACE=∠ ECB$，因此$∠ E=∠ ACE$，可得△ACE为等腰三角形，$AE=AC=6$。
所以$DE=AD+AE=8+6=14$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、等腰三角形判定、平行线性质
【点评】
本题综合考查勾股定理、等腰三角形的判定及平行线的性质，核心是通过角的关系构造等腰三角形转化线段，解题关键在于利用角平分线和平行线得到等角，进而推出等腰三角形，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
3 如图，$D$为$△ ABC$的边$BC$延长线上一点，$∠ ABC$和$∠ ACD$的平分线交于点$O$，过点$O$作$BC$的平行线，分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$.若$BE=5$，$CF=3$，则$EF=$
2
.答案
2
解析
【分析】
要解决本题，核心是利用“角平分线+平行线”的组合构造等腰三角形。首先，根据角平分线定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等，推出等角，进而判定等腰三角形得到线段相等，最后通过线段和差关系计算EF的长度。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC。
∵EO//BC，
∴∠EOB=∠OBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠EBO=∠EOB，
∴EB=EO=5（等角对等边）。
同理，
∵CO平分∠ACD，
∴∠FCO=∠OCD。
∵FO//BC，
∴∠FOC=∠OCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠FOC=∠FCO，
∴FC=FO=3（等角对等边）。
∴EF=EO - FO=5 - 3=2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线性质、平行线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线”构造等腰三角形的典型题型，需熟练掌握“角平分线+平行线→等腰三角形”的模型，通过等角对等边转化线段，属于几何基础应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，核心是利用“角平分线+平行线”的组合构造等腰三角形。首先，根据角平分线定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等，推出等角，进而判定等腰三角形得到线段相等，最后通过线段和差关系计算EF的长度。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC。
∵EO//BC，
∴∠EOB=∠OBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠EBO=∠EOB，
∴EB=EO=5（等角对等边）。
同理，
∵CO平分∠ACD，
∴∠FCO=∠OCD。
∵FO//BC，
∴∠FOC=∠OCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠FOC=∠FCO，
∴FC=FO=3（等角对等边）。
∴EF=EO - FO=5 - 3=2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线性质、平行线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线”构造等腰三角形的典型题型，需熟练掌握“角平分线+平行线→等腰三角形”的模型，通过等角对等边转化线段，属于几何基础应用题型。
【难度系数】
0.5
4 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$E$ 是 $BC$ 上一点,$BE=CD$,过点 $E$ 作 $EF// AD$,交 $AB$ 于点 $F$,交 $CA$ 的延长线于点 $P$,$CH// AB$ 交 $AD$ 的延长线于点 $H$.
(1) 求证:$△ APF$ 是等腰三角形.
(2) 猜想 $AB$ 与 $PC$ 之间有什么数量关系? 证明你的猜想.
(1) 求证:$△ APF$ 是等腰三角形.
(2) 猜想 $AB$ 与 $PC$ 之间有什么数量关系? 证明你的猜想.
答案
(1) 如图,$\because EF// AD,\therefore ∠ 1=∠ 4,∠ 2=∠ P. \because AD$ 平分 $∠ BAC,\therefore ∠ 1=∠ 2. \therefore ∠ 4=∠ P. \therefore AF=AP$,即$△ APF$ 是等腰三角形
(2) $AB=PC$
$\because CH// AB,\therefore ∠ 5=∠ B$, $∠ H=∠ 1. \because EF// AD,\therefore ∠ 1=∠ 3. \therefore ∠ H=∠ 3.$ 在$△ BEF$ 和$△ CDH$ 中,$\begin{cases}∠ B=∠ 5,\\∠ 3=∠ H,\\BE=CD,\end{cases}\therefore △ BEF≌△ CDH. \therefore BF=CH.$
$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ 1=∠ 2. \therefore ∠ 2=∠ H. \therefore AC=CH.$
$\therefore AC=BF. \because AB=AF+BF,PC=AP+AC,AF=AP,$
$\therefore AB=PC$
解析
【分析】
要证明△APF是等腰三角形，需通过平行线性质和角平分线定义进行角的等量代换，得到相等的角，进而推出相等的边；要证明AB与PC的数量关系，可将两条线段拆分为线段和，结合全等三角形性质和角的等量代换，将拆分后的线段转化为相等关系。
【解析】
(1) 证明△APF是等腰三角形：
∵ EF//AD，根据平行线的内错角相等，得∠1=∠4，∠2=∠P；
又
∵ AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得∠1=∠2；
∴ ∠4=∠P，根据“等角对等边”，得AF=AP，因此△APF是等腰三角形。
(2) 猜想AB=PC，证明如下：
① 由CH//AB，根据平行线的性质，得∠5=∠B，∠H=∠1；
∵ EF//AD，
∴ ∠1=∠3，因此∠H=∠3；
在△BEF和△CDH中，
$\begin{cases}∠B=∠5 \\∠3=∠H \\BE=CD\end{cases}$
根据AAS全等判定，得△BEF≌△CDH，因此BF=CH；
②
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠1=∠2，结合∠H=∠1，得∠2=∠H，根据“等角对等边”，得AC=CH；
∴ AC=BF；
③ 由线段和的关系：AB=AF+BF，PC=AP+AC，又由(1)知AF=AP，因此AB=PC。
【答案】
(1) △APF是等腰三角形；(2) AB=PC
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了平行线、角平分线、全等三角形及等腰三角形的性质，需运用角的等量代换和线段转化思想，逻辑推理要求较高，是典型的中等难度几何证明题。
【难度系数】
0.5
要证明△APF是等腰三角形，需通过平行线性质和角平分线定义进行角的等量代换，得到相等的角，进而推出相等的边；要证明AB与PC的数量关系，可将两条线段拆分为线段和，结合全等三角形性质和角的等量代换，将拆分后的线段转化为相等关系。
【解析】
(1) 证明△APF是等腰三角形：
∵ EF//AD，根据平行线的内错角相等，得∠1=∠4，∠2=∠P；
又
∵ AD平分∠BAC，根据角平分线的定义，得∠1=∠2；
∴ ∠4=∠P，根据“等角对等边”，得AF=AP，因此△APF是等腰三角形。
(2) 猜想AB=PC，证明如下：
① 由CH//AB，根据平行线的性质，得∠5=∠B，∠H=∠1；
∵ EF//AD，
∴ ∠1=∠3，因此∠H=∠3；
在△BEF和△CDH中，
$\begin{cases}∠B=∠5 \\∠3=∠H \\BE=CD\end{cases}$
根据AAS全等判定，得△BEF≌△CDH，因此BF=CH；
②
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠1=∠2，结合∠H=∠1，得∠2=∠H，根据“等角对等边”，得AC=CH；
∴ AC=BF；
③ 由线段和的关系：AB=AF+BF，PC=AP+AC，又由(1)知AF=AP，因此AB=PC。
【答案】
(1) △APF是等腰三角形；(2) AB=PC
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了平行线、角平分线、全等三角形及等腰三角形的性质，需运用角的等量代换和线段转化思想，逻辑推理要求较高，是典型的中等难度几何证明题。
【难度系数】
0.5
5 如图,AD 是$∠ BAC$的平分线,$∠ B = ∠ EAC$,$ED ⊥ AD$于点D.求证:$ED$平分$∠ AEB$.
答案
延长 AD 交 BC 于点 F. $\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD. \because ∠ DFE=∠ B+∠ BAD,∠ DAE=∠ EAC+∠ CAD,∠ B=∠ EAC,\therefore ∠ DFE=∠ DAE. \therefore AE=FE. \because ED⊥ AD,\therefore ED$ 平分$∠ AEB$
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD. \because ∠ DFE=∠ B+∠ BAD,∠ DAE=∠ EAC+∠ CAD,∠ B=∠ EAC,\therefore ∠ DFE=∠ DAE. \therefore AE=FE. \because ED⊥ AD,\therefore ED$ 平分$∠ AEB$
解析
【分析】要证明ED平分∠AEB，可利用等腰三角形三线合一的性质，需构造辅助线将相关三角形转化为等腰三角形。先延长AD交BC于点F，结合AD是∠BAC的平分线，利用三角形外角的性质，结合已知∠B=∠EAC推导得出∠DFE=∠DAE，进而得到AE=FE，再根据ED⊥AD，即可利用等腰三角形三线合一的结论完成证明。
【解析】证明：延长AD交BC于点F。
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
根据三角形外角的性质，∠DFE是△ABF的外角，故∠DFE = ∠B + ∠BAD；
又∠DAE = ∠EAC + ∠CAD。
已知∠B = ∠EAC，
∴ ∠DFE = ∠DAE，
∴ AE = FE，即△AEF为等腰三角形。
∵ ED⊥AD，
∴ ED是等腰△AEF底边AF上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，ED平分∠AEB。
【答案】证明：延长AD交BC于点F。
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD。
∵ ∠DFE=∠B+∠BAD，∠DAE=∠EAC+∠CAD，∠B=∠EAC，
∴ ∠DFE=∠DAE，
∴ AE=FE。
∵ ED⊥AD，
∴ ED平分∠AEB。
【知识点】角平分线定义、三角形外角性质、等腰三角形三线合一
【点评】本题通过构造辅助线，结合三角形外角性质和等腰三角形的判定与性质，完成角平分线的证明，重点考查几何定理的综合应用和辅助线的构造思路。
【难度系数】0.5
【解析】证明：延长AD交BC于点F。
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
根据三角形外角的性质，∠DFE是△ABF的外角，故∠DFE = ∠B + ∠BAD；
又∠DAE = ∠EAC + ∠CAD。
已知∠B = ∠EAC，
∴ ∠DFE = ∠DAE，
∴ AE = FE，即△AEF为等腰三角形。
∵ ED⊥AD，
∴ ED是等腰△AEF底边AF上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，ED平分∠AEB。
【答案】证明：延长AD交BC于点F。
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD。
∵ ∠DFE=∠B+∠BAD，∠DAE=∠EAC+∠CAD，∠B=∠EAC，
∴ ∠DFE=∠DAE，
∴ AE=FE。
∵ ED⊥AD，
∴ ED平分∠AEB。
【知识点】角平分线定义、三角形外角性质、等腰三角形三线合一
【点评】本题通过构造辅助线，结合三角形外角性质和等腰三角形的判定与性质，完成角平分线的证明，重点考查几何定理的综合应用和辅助线的构造思路。
【难度系数】0.5
